Como Provar Que Uma Função É Injetora?

Olá, pessoal! Tudo bem?

Vocês sabiam que as funções matemáticas podem ser classificadas de diversas maneiras? Pois então, aqui no blog, nós já estudamos que existem funções pares e ímpares, e hoje, chegou o momento de aprendermos a identificar quando uma função pode ser dita como injetora ou não.

E o mais legal desse assunto, é que essa identificação pode ser feita de 3 formas diferentes: através da característica algébrica da função, da representação do seu domínio e do seu contradomínio em forma de diagrama, e também graficamente! Isso permite que vocês escolham, com tranquilidade, a opção que mais lhes agrada para resolver as famosas questões dos vestibulares que envolvem esse conceito!

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Beleza, pessoal? Então já podemos começar! Abaixo, segue o conceito que vai guiar o nosso texto de hoje.

Uma função f: A ⟶ B é injetora ou injetiva, quando elementos diferentes de A são transformados por f em elementos diferentes de B, ou seja x1 ≠ x2 em A ⟹ f (x1) ≠ f (x2) em B.

Calma, eu vou explicar direitinho o que essa bela frase quer nos dizer. Tudo começa, quando entendemos o que significa a seguinte definição de função:

Como Provar Que Uma Função É Injetora?

Quando uma função é dita como f de A em B, significa que A é o seu conjunto de partida ou o seu domínio, e que B é o seu conjunto de chegada ou o seu contradomínio. Assim, para que uma função seja injetora, elementos diferentes de seu domínio devem resultar em elementos também diferentes de seu contradomínio.

Como Provar Que Uma Função É Injetora?

Na imagem acima, nós podemos observar duas funções diferentes, representadas na forma de diagrama.

O primeiro detalhe em que devemos reparar, é que de fato ambas são funções, afinal, cada um dos elementos do domínio A, está ligado a um único elemento do contradomínio B, e essa é a condição primordial para que uma função exista. Agora, será mesmo que essas duas funções são injetoras?

Como Provar Que Uma Função É Injetora?

Na função representada acima, todos os elementos do domínio A são diferentes, e estão ligados a elementos também diferentes do contradomínio B. Isso significa, que quando aplicamos cada elemento do domínio A na função f, as imagens resultantes são diferentes umas das outras. Temos a nossa frente uma função injetora!

Como Provar Que Uma Função É Injetora?

Já nesta segunda função, embora todos os elementos do domínio A sejam diferentes, nem todos eles estão sendo ligados a elementos também diferentes do contradomínio B. Vejam que quando os elementos x2 e x3 são aplicados na função f, a mesma imagem y2 é gerada. Sempre que isso acontecer, a função não poderá ser considerada injetora!

Como Provar Que Uma Função É Injetora?

Pessoal, quando uma função é representada na forma de diagrama, fica fácil de determinar se ela é injetora ou não. Basta que vocês fiquem atentos a quantidade de setas que apontam para cada elemento do contradomínio dessa função. Uma função é injetora, apenas quando uma única seta aponta para cada elemento do seu contradomínio.

E agora, para que tudo o que acabamos de ver fique bem claro, vamos a alguns exemplos numéricos. Vem comigo aqui!

Como Provar Que Uma Função É Injetora?

E aí, o que acharam desta nova função? Se nós lembrarmos da dica que acabamos de ver, logo percebemos que existem duas setas apontando para um mesmo elemento do contradomínio B. Isso significa que dois elementos do domínio A, 2 e 3, quando aplicados na função f, geram exatamente a mesma imagem, de valor 8. Portanto, essa função não é injetora!

Como Provar Que Uma Função É Injetora?

Mas que função mais interessante! Vejam que nesse caso, temos uma única seta chegando em cada elemento do contradomínio B. Isso significa, que cada elemento do domínio A, quando aplicado a função f, gera uma imagem diferente! Portanto, essa função é injetora, ou injetiva.

Como Provar Que Uma Função É Injetora?

E para quem ficou pensativo a respeito daquele elemento que restou no contradomínio B da função que acabamos de analisar, é importante lembrarmos o seguinte: para que uma função f de A em B exista, não devem restar elementos sem ligação no domínio da função. Não há problema algum quanto há elementos sem ligação no contradomínio da função. Para saber tudo sobre esse assunto, vocês podem dar uma olhada no texto Noções de função por meio de conjuntos!

Como Provar Que Uma Função É Injetora?

Tudo entendido, pessoal? E se eu perguntasse a vocês quais das funções acima são injetoras, o que vocês me diriam? Pois é, vejam que nesse caso, nos foram apresentadas algumas funções na sua forma algébrica, e não na forma de diagrama.

Em casos como esse, para averiguarmos se as funções são injetoras ou não, nós devemos substituir a variável x por alguns valores numéricos, e averiguar se os valores de f(x) ou de y resultantes são todos diferentes uns dos outros.

Se isso acontecer, a função é injetora, e pronto!

f (x) = x + 1

Como Provar Que Uma Função É Injetora?

Observem que nós substituímos a variável x dessa função por alguns valores positivos e negativos. Como a lei de correspondência da função é dada por f(x) = x + 1, sempre iremos acrescentar uma unidade a cada valor que assume o lugar de x, de forma que toda e qualquer imagem obtida será sempre diferente das demais. Isso significa que essa função é injetora!

f (x) = x2 + 1

E aí, encontraram alguma diferença dessa função em relação a anterior? Pois então, quando elevamos qualquer número positivo ou negativo a uma potência par, o resultado será sempre positivo! Por isso, valores diferentes de x, como –2 e 2, e –1 e 1, quando aplicados a função f(x), geram exatamente a mesma imagem. Isso nos mostra que essa função não é injetora!

f (x) = 3x

Novamente, quando substituímos a variável x da função por alguns valores positivos e negativos, as imagens obtidas foram sempre diferentes. Segundo a lei de correspondência da função, f(x) = 3x, a imagem de cada elemento do domínio será sempre o triplo do seu valor, de forma que podemos garantir que a função é injetora!

f (x) = 2×4

Ops, lá vem uma potência positiva de novo! Nesse caso, quando valores de mesmo módulo mas de sinais contrários substituem o lugar de x, as imagens obtidas são exatamente iguais, por isso, essa função não é injetora! Mas tomem cuidado para não generalizar: não deixem de realizar a substituição da variável x por alguns valores numéricos para comprovar a existência ou não de uma função injetora, mesmo que vocês já tenham uma ideia prévia do que poderá acontecer.

Beleza, pessoal? Então vamos concluir esse texto falando um pouco sobre o comportamento das funções injetoras graficamente. Uma função é injetora, quando valores diferentes de x resultam em valores também diferentes de y. Mas como é possível identificar essa ideia em gráficos como esses que se encontram aqui abaixo?

Nós precisamos garantir que não existam valores repetidos em y, não é mesmo? Assim, se desenharmos retas horizontais paralelas ao eixo x cortando o gráfico em diversos pontos, e alguma dessas retas cortar o gráfico mais do que uma vez, nós saberemos que valores de x diferentes, quando aplicados a função que gerou o gráfico, fazem com que ela resulte no mesmo valor numérico, ou seja, geram a mesma imagem. Aí vocês já sabem que uma função como essa jamais poderá ser injetora.

Para que uma função seja injetora, linhas imaginárias horizontais só podem cruzar o seu gráfico uma única vez.

Olhem só que interessante: uma das linhas imaginárias que traçamos acima cortou o gráfico em 4 pontos diferentes. Isso significa que 4 valores de x diferentes, quando aplicados a função que o gráfico representa, geram exatamente a mesma imagem, ou o mesmo valor em y. Assim, podemos concluir que esse gráfico não caracteriza uma função injetora.

Já nesse segundo caso, nós temos um contexto um pouquinho diferente. Traçamos diversas retas paralelas ao eixo x, mas nenhuma delas cortou o gráfico em mais de ponto. Portanto, esse gráfico com certeza caracteriza uma função injetora!

O gráfico acima representa uma função que nós já vimos por aqui: a f(x) = 3x.

Uma função como essa, é conhecida como função do 1º grau, ou função afim, e sempre será representada através de uma reta.

Em casos como esse, vejam, não importa quantas linhas horizontais traçarmos: todas elas cruzam o gráfico uma única vez. Por isso podemos dizer mais uma vez que a função f(x) = 3x é sim injetora!

Enquanto isso, o último gráfico que apresentamos neste texto corresponde a uma função do 2º grau, também conhecida como função quadrática, a  f(x) = x2 + 1, que também já estudamos por aqui.

Leia também:  Como Recuperar Dvd Que Não Le?

O formato do gráfico que vemos acima é conhecido como parábola, e olhem só que interessante: praticamente todas as retas horizontais que traçamos cruzam esse gráfico em dois pontos.

Ou seja, não há como negar que a função f(x) = x2 + 1 não é, nem de longe, injetiva!

Gostaram desse macete? Tenho certeza que aliando todos os conhecimentos que vimos hoje, e treinando bastante, logo logo vai ficar extremamente óbvio para vocês quando uma função é injetora ou não.

Assim, posso encerrar o texto por aqui! Espero que ele tenha sido proveitoso para os seus estudos, e que os motive a se dedicar e estudar bastante a matemática! Em anexo, é claro que fica um vídeo em que complemento todos os conceitos que vimos por aqui. Não custa nada dar uma olhadinha nele, não é?

Um abração! Nos vemos em breve!

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Função injetora: definição, gráficos, exemplos e exercícios resolvidos

Uma função pode ser definida de várias formas, dependendo de como o seu conjunto domínio se relaciona com o conjunto do contradomínio. Assim, podemos identificar se uma função é injetora, sobrejetora ou bijetora.

Dessa forma, estudaremos alguns conceitos sobre a função injetora. Conheceremos o domínio e o contra domínio dessa função, além de observamos o gráfico, alguns exemplos e resolver exercícios.

O que é uma função injetora

Antes de mais nada, vamos entender um pouco mais sobre o que é um domínio e um contradomínio de uma função. O domínio de uma função é o conjunto de “entrada”, ou seja, é o conjunto que define a função. Por outro lado, o contradomínio é o conjunto de “chegada”, assim, é o conjunto que contém todas as possíveis imagens da função.

  • .
  • Quando os elementos de um conjunto domínio de uma função qualquer se relacionam com elementos distintos do contradomínio dessa função, ela pode ser chamada de função injetora ou função injetiva.
  • Isso pode ser observado na figura a seguir:

Como Provar Que Uma Função É Injetora?

  1. Nas duas primeiras imagens podemos observar que existem elementos distintos do conjunto A (domínio) que se relacionam com elementos distintos do conjunto B (contradomínio), caracterizando assim uma função injetora.
  2. Porém, na ultima representação observamos que dois elementos do domínio se relacionam com um mesmo elemento do contradomínio, nesse caso essa função não é injetora.
  3. De uma maneira mais formal, podemos definir uma função injetora da seguinte maneira:

Sejam A e B o domínio e contradomínio, respectivamente, de uma função f. Então f é injetora quando: x1 ≠ x2 em A ⇒ f(x1) ≠ f(x2) em B.

Gráfico de uma função injetora

Em certas situações, principalmente em exercícios que envolvam uma função injetora, existem gráficos a respeito dessas funções. Dessa forma, podemos identificar esse tipo de função a partir do gráfico com um simples “macete”.

Pela definição de uma função injetora, não existe elementos do contradomínio que se relacionam com dois elementos do domínio ao mesmo tempo. Logo, se traçarmos linhas horizontais cortando o gráfico e elas cruzarem o gráfico em apenas um ponto, então a função é injetora.

Assim, conforme o gráfico a seguir, podemos entender um pouco mais esse “macete”.

Como Provar Que Uma Função É Injetora?

  • Na imagem acima, podemos observar que o gráfico da esquerda é de uma função não injetora, pois as retas horizontais traçadas no gráfico tocam mais de um ponto.
  • Por outro lado, o gráfico da direita é de uma função injetora, já que as retas horizontais tocam em apenas um ponto do gráfico.
  • Esse “macete” facilita a resolução de determinados exercícios, pois nos economizam tempo.

Exemplos de função injetora

Com a definição em mente, precisamos nos perguntar: “como eu sei se uma função é ou não injetora?”. A partir de alguns exemplos, que serão apresentados a seguir, conseguiremos obter a resposta para tal pergunta.

Função quadrática qualquer

Seja f definida como f:|R ⇒ |R e dada por f(x) = x2 – 1. Ela não é injetiva, pois:

  • para x = 1, temos que f(1) = 0;
  • e para x = -1 temos que f(-1) = 0.

Dessa forma, temos um mesmo elemento do domínio que corresponde a uma mesma imagem no contradomínio.

Como Provar Que Uma Função É Injetora?

Função “dobro”

Quando queremos saber o dobro de um número, precisamos apenas multiplicar esse número por 2. Assim, podemos definir uma função dobro da seguinte forma: Seja f definida como f:|R ⇒ |R e dada por f(x) = 2x.

Essa função é injetora, pois a cada número real x essa função corresponde ao seu dobro 2x. Não existe dois números reais com o mesmo dobro. Simbolicamente, temos que: Para quaisquer x1,x2∈R, x1 ≠ x2 ⇒ 2×1 ≠ 2×2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2).

Existem muitas outras funções injetoras e não injetoras, mas apenas com a prática conseguiremos saber diferenciar essas funções.

Entenda mais sobre função injetora

Por fim, podemos entender um pouco mais sobre essa função a partir de vídeos explicativos sobre o assunto. A seguir apresentamos alguns:

Definição de função injetora e seu gráfico

  1. Neste vídeo são apresentados o conceito e definição de uma função inversa, além de apresentar também sobre o “macete” dos gráficos dessa função.

Assunto do vídeo

  • Para o caso desse vídeo, podemos entender um pouco mais como são aplicadas as definições de função injetora e sobrejetora em um exercício.

As funções injetoras são de extrema importância para o entendimento de um outro tipo de função, que seria a função bijetora. Porém, esse assunto será tratado em um outro momento.

Referências

Matemática: ciência e aplicações – Gelson Iezzi;

Matemática: contexto & aplicações – Luiz Roberto Dante.

Exercícios resolvidos

1.

Verifique que f(x) = 2x + 1 é uma função injetora no conjunto dos números reais.

Suponha que x1 = 1 e x2 = 3. Assim, teremos a seguinte situação

f(1) = 2.1 + 1 = 3 f(3) = 2.3 + 1 = 7

Portanto, como a função relaciona apenas um elemento do contradomínio com seu domínio, então a função é injetora.

2. [Unifesp]

Há funções y = f(x) que possuem a seguinte propriedade: “a valores distintos de x correspondem valores distintos de y”. Tais funções são chamadas injetoras. Qual, dentre as funções cujos gráficos aparecem abaixo, é injetora?

Como Provar Que Uma Função É Injetora?

Traçando retas horizontais em todos os gráficos, apenas o gráfico da alternativa e) não toca em dois pontos ao mesmo tempo. Isso quer dizer que o contradomínio da função do gráfico corresponde a elementos distintos do domínio.

RESPOSTA: e)

Definições da função sobrejetiva

Vejamos três diagramas que representam funções quaisquer, que transformam elementos do conjunto A em elementos do conjunto B.

Dessas três representações das funções por meio de diagramas, as duas primeiras são funções sobrejetivas, enquanto que a última  não possui as características desse tipo de função.

Portanto, ao analisar esses gráficos poderemos extrair as características que definem a função sobrejetiva.

Como Provar Que Uma Função É Injetora?

Podemos notar três fatos importantes analisando as funções sobrejetivas e as não sobrejetivas.  

• Nas funções sobrejetivas, todos os elementos de B são extremidades de pelo menos uma das flechas.

• Pela observação anterior podemos afirmar que nos casos das funções sobrejetivas temos que: Im (f) = B = CD(f). Veja que no caso da função que não é sobrejetiva temos um elemento do conjunto B que não é correspondente de nenhum elemento do conjunto A.

• Não existe a necessidade de que os elementos de B sejam extremidades de um elemento distinto, ou seja, os elementos da imagem podem ter origem em mais de um elemento do conjunto A.

Portanto, dizemos que uma função é sobrejetiva apenas quando para qualquer elemento y ∈ B, podemos encontrar um elemento x ∈ A de modo que f(x)  =y.

Em outras palavras, dizemos que a função é sobrejetiva quando todo elemento do Contradomínio (conjunto B) é imagem de pelo menos um elemento do domínio (conjunto A), ou seja, Im(f)= B,  ou ainda, Im(f) = CD(f). Vejamos um exemplo:

Não pare agora… Tem mais depois da publicidade 😉

1) Verifique se a função f(x)=x2+2 é sobrejetiva, sendo que a função leva os elementos do conjunto A = {–1, 0, 1} nos elementos do conjunto B = {2, 3}.

Para averiguar se a função é sobrejetiva, devemos verificar se Im(f)=CD(f). O Contradomínio é o conjunto B, devemos então determinar quais são as imagens da função f.

Como Provar Que Uma Função É Injetora?

Veja que de fato o conjunto Im(f) é igual ao conjunto B (contradomínio da função), sendo assim podemos afirmar que a função é sobrejetiva. Façamos a representação gráfica para uma melhor compreensão:

Leia também:  Como Evitar Que O Cão Urine?

Como Provar Que Uma Função É Injetora?

Aproveite para conferir nossa videoaula relacionada ao assunto:

Matemática Essencial :: Superior >> Álgebra :: Funcoes Reais

  • Superior >> Álgebra
  • Funcoes Reais
  • Ulysses Sodré
  • Material desta página

Dentre todas as relações em um certo produto cartesiano, existe um tipo de subconjunto que é muito exigente mas que produz resultados de grande valor na Matemática. Este conceito é denominado função.

Se (A) e (B) são dois conjuntos não vazios, uma aplicação (f) no produto cartesiano (A{ imes}B) é uma relação em (A{ imes}B), que, para cada (xin A), existe (yin B) tal que ((x,y)in f),

e, além disso, se ((x,y_1)in f) e ((x,y_2)in f), então (y_1=y_2).

  1. Uma notação bastante comum para uma aplicação (f) definida no produto cartesiano (A{ imes}B) é (f:A o B).
  2. Nota: O primeiro ítem da definição acima declara que todos os elementos de (A) devem estar relacionados com elementos de (B) e o segundo ítem garante que um elemento de A deve estar associado com apenas um elemento em (B).
  3. Exemplo: Nem toda relação no produto cartesiano (R^2) é uma aplicação em (R^2), como o conjunto (K={(x,y)in R^2: x^2+y^2=1}).

Em textos antigos, a palavra função era usada de uma forma bastante livre no lugar de aplicação, mas na literatura atual a palavra aplicação passou a ter outros nomes como: operador, transformação, funcional,etc e houve a necessidade de restringir a palavra função exclusivamente às situações em que o conjunto (B) é um subconjunto do conjunto (R) dos números reais.

2 Elementos de uma aplicação

Seja (f) uma aplicação em (A{ imes}B), denotada por (f:A o B). O gráfico de (f), às vezes usado como a definição de função, é definido por:

[ ext{graf}(f) = {(x,y)in A{ imes}B: xin A, yin B, y=f(x)}]

O conjunto (A) recebe o nome de domínio de (f), denotado por ( ext{Dom}(f)). O conjunto (B) recebe o nome de contradomínio de (f), denotado por ( ext{Codom}(f)). A imagem de (f), denotada por texto ( ext{Im}(f)) é o conjunto:

  • [ ext{Im}(f)={yin B: ext{existe } xin A ext{ tal que } y=f(x)}]
  • Exemplo: A função quadrática (f:R o [0,infty)) pode ser escrita na forma:
  • [f={(x,y)in R{ imes}[0,infty): xin R, yin R, y=x^2}]
  • ou na forma (f:R o[0,infty)) definida por (f(x)=x^2) onde ( ext{Dom}(f)=R), ( ext{Codom}(f)=Im(f)=[0,infty)).
  • Exercícios:
  1. Sejam (A={1,2,3,4,5}) e (B={0,3,8,15,20}). Verificar se a relação (f) em (A{ imes}B), definida por ((a,b)in f) tal que (b=a^2-1), é uma aplicação.
  2. Verificar se a relação (f:Q o Q) definida por (f(m/n)=mn) é uma aplicação. (Dica: Lembrar que 1/2=3/6 mas,etc)
  3. Para (A={1,2,3}) e (B={a,b,c,d}), seja a relação (g:A{ imes}B o B{ imes}A), definida por (g(x,y)=(y,x)). Mostrar que (g) é uma aplicação.

3 Restrição de uma aplicação

  1. Podemos restringir o domínio de uma função (f:A o B) a um subconjunto (S) de (A) de modo que a função restrita ao conjunto (S), denotada por (f|S:S o B) seja coincidente com a função original sobre o conjunto
  2. (S), isto é, para cada (xin S) tem-se que: (f|S(x)=f(x)).

  3. Exemplo: Podemos definir a restrição da função (f:R o R) definida por (f(x)=x^2) ao conjunto ([0,infty)) de modo que:
  4. [f|_{[0,infty)}: [0,infty) o R, f(x)=x^2]
  5. Graficamente, temos:

4 Extensão de uma aplicação

Podemos estender uma função (f:A o B) a um conjunto (M) contendo o conjunto (A) de modo que a função estendida ao conjunto (M), denotada por (F:M o B) deva ser coincidente com a função original sobre o conjunto (A), isto é, para cada, (xin A) tem-se que (F(x)=f(x)).

Exemplo: Seja a função (f:R-{0} o R) definida por (f(x)= ext{sen}(x)/x). Esta função não tem sentido para (x)=0, mas podemos estender esta função a uma forma bastante natural a todo o conjunto (R) dos números reais, tomando (f(0)=1). Esta forma é comumente utilizada em Análise Matemática.

Dada uma aplicação (f:A o B) que associa a cada elemento de (A) um único elemento de (B), esta definição não obriga que todos os elementos de (A) tenham imagens distintas ou mesmo que todos os elementos de (B) sejam imagens de elementos de (A).

5 Aplicação injetiva

Mesmo que (a
eq b) pode ocorrer que (f(a)=f(b)). Quando elementos distintos de (A) possuem imagens distintas, dizemos que a aplicação é injetora. A definição seguinte estabelece este fato.

Uma aplicação (f:A o B) é injetiva, injetora ou unívoca, se: (a
eq b) implica que (f(a)
eq f(b)). Algumas vezes este tipo de aplicação é denominada 1-1 (lê-se: um-a-um).

Exemplo: A função (f:R o R), definida por (f(x)=x^2) não é injetiva, pois (f(-2)=)f(2), mas a função (f:[0,infty) o[0,infty)) definida por (f(x)=x^2) é injetiva.

Teorema: Seja (f: A o B) uma aplicação. (f) é injetora se, e somente se, (f(a)=f(b)) implica que (a=b).

Demonstração: São equivalentes as proposições lógicas

  1. (a
    eq b) implica que (f(a)
    eq f(b))
  2. (f(a)=f(b)) implica que (a=b).

pois a proposição lógica (p o q) equivale à proposição lógica (q' o p').

6 Aplicação sobrejetora

Pode ocorrer que algum elemento de (B) não esteja na imagem de um elemento de (A). Temos uma outra definição.

Dizemos que a aplicação (f: A o B) é sobrejetiva, sobrejetora ou sobre, se todos os elementos de (B) são imagens de elementos de (A), ou seja, para todo (bin B) existe (ain A) tal que (f(a)=b), o que significa que (f(A)=B).

Exemplo: A função (f: R o R), definida por (f(x)=x^2) não é sobrejetiva, pois não existe (xin R) tal que (f(x)=-2), mas (f:[0,infty) o [0,infty)) definida por (f(x)=x^2) é sobrejetiva.

Teorema: Seja (f:A o B) uma aplicação. (f) é sobrejetora se, e somente se, para todo (bin B), a equação (f(x)=b) tem pelo menos uma solução em (A).

A demonstração é imediata, pois com o teorema, temos duas maneiras para garantir que (f) é sobrejetiva.

7 Aplicação bijetora

Uma aplicação (f:A o B) é bijetiva, bijetora ou uma correspondência biunívoca, se (f) é injetiva e sobrejetiva

Exemplo: A função (f: R o R), definida por (f(x)=x^2) não é bijetiva, mas a função (f:[0,infty) o[0,infty)) definida por (f(x)=x^2) é bijetiva.

Exemplo: A aplicação (f:R-{2} o R-{3}) definida por (f(x)=(3x-1)/(x-2)) é injetora pois, se (f(a)=f(b)) então ((3a-1)/(a-2)=(3b-1)/(b-2)) e daí segue que (a=b). (f) também é sobre pois se (f(x)=b), então ((3x-1)/(x-2)=b), de onde segue que se (b
eq 3) então (x=(2b-1)/(b-3)). Finalmente, segue que (f) é bijetora pois é injetora e sobrejetora

Nota sobre a palavra sobre: Afirmar que (f:A o B) é uma aplicação injetiva sobre o conjunto (B), é o mesmo que afirmar que (f) é bijetiva

Exercícios: Mostrar que

  1. (f:R o R), definida por (f(x))=3(x)+2 é bijetora.
  2. é bijetora a aplicação afim (f:R o R) tal que (f(x)=ax+b, (a
    eq 0)).
  3. (f:R o R) definida por (f(x)=2x^2+4x-1) não é sobrejetora, pois não existe (xin R) tal que (f(x)=-4).
  4. funções reais de segundo grau da forma (f(x)=ax^2+bx+c) não são injetoras e nem mesmo sobrejetoras, dependendo do domínio e do contradomínio destas.

Dicas

  1. Para mostrar que (f(x)=ax^2+bx+c) com (a
    eq 0), não é injetora, basta calcular (f(-b/(2a)+r)) e (f(-b/(2a)-r)).
  2. Para mostrar que (f) não é sobrejetiva, vamos supor que (a > 0) e tentar obter o número real cuja imagem é ((-b^2+4ac)/(4a)-1). Se (a > 0), calcule uma pré-imagem de (y=(-b^2+4ac)/(4a)+1).

8 Composição de aplicações

Sejam as aplicações (f:A o B) e (g:B o C). Definimos a aplicação composta (gof: A o C) entre (g) e (f), nesta ordem, por ((gcirc f)(x)=g(f(x))).

Uma outra forma geométrica para a composta das aplicações (f) e (g), está ilustrada na figura:

Exemplo: Sejam (f:R o R) definida por (f(x)=2x) e (g:R o R) definida por (g(y)=y^2). Definimos a composta (gcirc f: R o R) por:

[(gcirc f)(x) = g(f(x)) = g(2x) = (2x)^2 = 4x^2]

A identidade (I:A o A) é uma das mais importantes aplicações da Matemática, definida para todo (ain A), por (I(a)=a). Quando é importante indicar o conjunto (X) onde a identidade atua, a aplicação identidade (I:X o X) é denotada por (I_X).

Propriedades das aplicações compostas

  1. A composta de aplicações não é comutativa, isto é, em geral: (fcirc g
    eq gcirc f).
  2. A composta de aplicações é associativa, isto é, ((fcirc g)circ h=fcirc (gcirc h)).
  3. A composta de aplicações possui elemento neutro, isto é: (fcirc I=Icirc f=f).
  4. Se (f) e (g) são aplicações injetivas, a composta (gcirc f) é injetiva.
  5. Se (f) e (g) são aplicações sobrejetivas, a composta (gcirc f) é sobrejetiva.
  6. Se (f) e (g) são aplicações bijetivas, a composta (gcirc f) é bijetiva.

10 Aplicações inversas

  • Inversa à esquerda: Sejam as aplicações (f:A o B) e (g:B o A). Diz-se que (g) é uma inversa à esquerda para (f) se (gof=I_A), isto é, para todo (ain A):
  • [(gcirc f)(a)=a]
  • Inversa à direita: Sejam as aplicações (g:B o A) e (f:A o B). Diz-se que (g) é uma inversa à direita para (f) se (fog=I_B), isto é, para todo (bin B):
  • [(fcirc g)(b)=b]
  • Inversa: Uma aplicação (f:A o B) possui inversa (g:B o A) se, (g) é uma inversa à esquerda e também à direita para (f). Isto significa que, para todo (ain A) e para todo (bin B):
  • [(fcirc g)(a)=I_A(a), qquad (gcirc f)(b)=I_B(b)]
  • Notação: A inversa de (f) é denotada por (g=f^{-1}). Demonstra-se que, se a inversa (g=f^{-1}) existe, ela é única e a inversa da inversa de (f) é a própria aplicação (f), isto é:
  • [(f^{-1})^{-1}=f]
  • A imagem (direta) de um conjunto (A subset X) pela aplicação (f:X o Y), é definida como o conjunto:
  • [f(A) = {f(a): ain A }]
  • Propriedades da imagem direta: Sejam (f:X o Y) uma aplicação, (Asubset X) e (Bsubset X). Então:
  1. Se (A
    eq emptyset) então (f(A)
    eq emptyset).
  2. (f({x})={f(x)}) para todo (xin X).
  3. Se (Asubset B), então (f(A) subset f(B)).
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Demonstração: Se (yin f(A)), então existe (xin A) tal que (y=f(x)in f(A)). Por hipótese, (Asubset B), então (xin B), logo (y=f(x)in f(B)).

  1. (f(A cup B)=f(A) cup f(B)) Demonstração: (win f(A cup B)), se, e somente se, existe (xin A cup B) tal que (w=f(x)), se, e somente se, (xin A) ou (xin B) tal que (f(x)in f(A)) ou (f(x)in f(B)), se, e somente se, (w=f(x)in f(A) cup f(B)).
  2. (f(A cap B) subset f(A) cap f(B)) Demonstração: Se (zin f(A cap B)), então existe (xin(A cap B)) tal que (f(x)=z). Assim (xin A) e (xin B) e temos que (f(x)in f(A)) e (f(x)in f(B)), logo (zin f(A)) e (zin f(B)), assim (zin f(A)cap f(B)).

Nota: Existem aplicações para as quais (f(A cap B)
eq f(A) cap f(B)). Você saberia definir uma delas?

12 Imagem inversa por uma aplicação

  1. A imagem inversa de um conjunto (W subset Y) pela aplicação (f:X o Y), é definida por
  2. [f^{-1}(W) = { xin X: f(x)in W }]
  3. Propriedades da imagem inversa: Sejam (f:X o Y) uma aplicação, (Usubset Y) e (Vsubset Y).

    Então:

  1. (f^{-1}(emptyset) = emptyset).
  2. Se (U subset V) então (f^{-1}(U) subset f^{-1}(V)).

Demonstração: Se (xin f^{-1}(U)), então (f(x)in U). Como (Usubset V), então (f(x)in V).

Desse modo (xin f^{-1}(V)).

  1. (f^{-1}(U cap V) = f^{-1}(U) cap f^{-1}(V)) Demonstração: (xin f^{-1}(U cap V)), equivale a, (f(x)in(Ucap V)), que equivale a, (f(x)in U) e (f(x)in V), que equivale a, (xin f^{-1}(U)) e (xin f^{-1}(V)), se, e somente se, (xin f^{-1}(U) cap f^{-1}(V)).

  2. (f^{-1}(U cup V) = f^{-1}(U) cup f^{-1}(V)). Demonstração: (xin f^{-1}(U cup V)), se, e somente se, (f(x)in(U cup V)), se, (f(x)in U) ou (f(x)in V), se, e somente se, (xin f^{-1}(U)) ou (xin f^{-1}(V)), se, e somente se, (xin f^{-1}(U) cup f^{-1}(V)).

  3. (f^{-1}(V^c)=[f^{-1}(V)]^c) Demonstração: (xin f^{-1}(V^c)), equivale a (f(x)in V^c), que equivale a (f(x)) não pertence a (V), que equivale a (x) não pertence a (f^{-1}(V)), que é equivalente a (xin [f^{-1}(V)]^c).

  4. Se (U subset V) então (f^{-1}(V-U)=f^{-1}(V)-f^{-1}(U)). Demonstração: Como (V-U=V cap U^c), pelo item 4, segue que

    [f^{-1}(V-U) = f^{-1}(Vcap U^c) = f^{-1}(V)cap f^{-1}(U^c)]

  • Pelo ítem (4), segue que:
  • [f^{-1}(V-U)=f^{-1}(V)cap[f^{-1}(U)]^c=f^{-1}(V)-f^{-1}(U)]
  • Propriedades mistas: Sejam (f: X o Y) uma aplicação. Assim:
  1. Se (A subset X), então (A subset f^{-1}(f(A))).
  2. Se (V subset Y), então (f(f^{-1}(V)) subset V).
  3. Se (f) é injetiva, então para todo (Asubset X), vale (f^{-1}(f(A))=A).
  4. Se (f) é sobrejetiva, então para todo (Vsubset Y), vale (f(f^{-1}(V))=V).
  5. Se (f) é bijetiva, então para todo (Asubset X) e para todo (Vsubset Y), tem-se que: (f^{-1}(f(A))=A) e (f(f^{-1}(V))=V).

Transformações injetoras, sobrejetoras e invertíveis

Como de costume, dada uma função f : A → B,
diz-se que A é o
domínio de f enquanto
B é o contradomínio. A
imagem de f é o subconjunto
de B que consiste de todos
os elementos y ∈ B tais que
f(x) = y ou, intuitivamente, que consiste
de “todos os elementos de B que
são atingidos pela função f”.

Na hora de decidir se uma função é invertível ou não, duas propriedades são essenciais:

1) cada elemento de B ser a imagem de no máximo um elemento de A, caso em que f é dita injetora ou injetiva;
2) a imagem de f ser igual ao contradomínio, caso em que f diz-se sobrejetora ou sobrejetiva.

Quando estas duas propriedades são satisfeitas, isto é, quando a função
f é injetora e sobrejetora, vale
que f é invertível: podemos
encontrar uma função f−1 : B → A
que satisfaz

f−1f(x) = x,para todo x ∈ Aeff−1(y) = y,para todo y ∈ B. (3.35)

Ao tentarmos encontrar uma função inversa
f−1, as
propriedades de ser injetora e sobrejetora, aparecem naturalmente.

Estas definições são usuais para funções quaisquer. A partir de agora, vamos analisar quando que
transformações lineares são injetoras, sobrejetoras e/ou invertíveis. Vamos ver, em particular, que é bem
mais fácil estudar tais propriedades para transformações lineares.

  • A transformação linear T : ℝn → ℝm
    é injetora quando, para b→ ∈ ℝm,
    a equação
  • possuir uma única solução ou nenhuma (no máximo uma – comparar com a definição acima). Como vimos, existe
    uma matriz A de
    ordem m × n associada à
    transformação linear T,
    de modo que temos que analisar as soluções de
  • Recaimos novamente em um sistema linear!

No caso particular em que b→ = 0→,
o sistema homogêneo Ax→ = 0→ sempre
possui a solução trivial x→ = 0→.
Neste caso, para que a transformação linear seja injetora devemos verificar que esta é a única solução de
Ax→ = 0→. Na
verdade, é possível verificar o seguinte.

Afirmação. T
é injetora se, e somente se, Ax→ = 0→
possui apenas a solução trivial.

Demonstração.[Justificativa da afirmação] Vamos provar matematicamente que, se soubermos que
Ax→ = 0→ possui apenas a solução
trivial, então vale que Ax→ = b→
possui no máximo uma solução, para qualquer escolha de vetor
b→. Isto, por sua
vez, implica que T
é injetora. Caso não existam soluções ou caso exista apenas uma, nada há para provar. Suponhamos que
então que existem infinitas soluções (esta seria a única outra possibilidade). Em particular, existiriam duas distintas:

x→1≠x→2 tais que Ax→1 = b→ e também Ax→2 = b→. (3.38)

Por linearidade, temos então que A(x→1 −x→2) = b→ −b→ = 0→.
No entanto, nossa hipótese garante que somente existe a solução trivial para a equação
Ax→ = 0→, de modo que
deveríamos ter x→1 = x→2. Em
outras palavras, se Ax→ = 0→
possuir apenas a solução trivial, então não existe mais do que uma solução para
Ax→ = b→. Portanto,
T é
injetora.

Notem que a afirmação acima é também equivalente a seguinte afirmação.

Afirmação.
T
é injetora se, e somente se, as colunas de
A
são linearmente independentes.

  1. Vamos deixar exemplos de injetividade para a subseção seguinte (ver Exemplos 21 e 22).
  2. A transformação linear T : ℝn → ℝm é
    sobrejetora quando, para todo b→ ∈ ℝn,
    a equação

possui alguma solução (comparar com a definição no início desta seção). Seja
A a matriz de ordem
m × n associada a
T. Assim, para verificar que
T é sobrejetora, devemos
verificar que, para qualquer b→ ∈ ℝm,
o sistema linear

possui ao menos uma solução (uma ou infinitas). Isto é equivalente a:

T é sobrejetora se, e somente se, as colunas de A geram todo o espaço ℝm.

(3.41)

Em particular, este caso somente é possível se
n ≥ m
(veremos mais adiante no curso – a imagem da transformação
T : ℝn → ℝm será de dimensão
no máximo igual a n).

Exemplo 21. Considere a transformação linear
T cuja
matriz associada é

A = 5 31 1 0 − 1 1 − 1
0 00 3 .
(3.42)

Como são quatro colunas de ℝ3, vemos
que as colunas são LD e, portanto, T
não é injetora.

Por outro lado, a matriz já está em forma escalonada. Vamos analisar se o sistema

Ax→ = b→⇔ 5 31 1b1
0 − 11 − 1b2
0 00 3b3

(3.43)

possui solução para todo b→ ∈ ℝ3.
De fato, o sistema possui solução (já que nenhuma linha da sua forma
escalonada é inconsistente). Em verdade, o sistema possui uma variável livre. Logo,
T é
sobrejetora.

Exemplo 22. Considere a transformação linear
T cuja
matriz associada é

A = 3 1 5 7
0 − 4 .

(3.44)

Como são somente duas colunas, é fácil ver que uma não é múltipla da outra: por causa das primeiras componentes,
podemos pensar que a primeira coluna é três vezes a primeira, mas verificando a segunda linha já não dá certo
3 ⋅ 7≠5. Logo, as colunas são
LI e a transformação T
é injetora.

Por outro lado, as colunas de A
geram um espaço de dimensão no máximo 2; logo, não geram
ℝ3. Portanto,
T não é
sobrejetora.

Pelas observações das últimas subseções, só é possível da transformação linear
T : ℝn → ℝm ser invertível
quando m = n, pois
T deverá ser
ao mesmo tempo injetora e sobrejetora. Veremos na semana seguinte um método para calcular a transformação
inversa T−1,
que será também uma transformação linear.

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