Como Provar Que Um Triangulo É Retangulo?

O triângulo retângulo recebe esse nome porque um de seus ângulos possui a medida de 90º, ou seja, é um ângulo reto. Sendo um dos polígonos mais estudados na geometria plana, foi possível perceber algumas relações entre os ângulos e também entre os lados dessa figura.

O teorema de Pitágoras, por exemplo, foi desenvolvido depois da percepção de que existe uma relação entre as medidas dos lados do triângulo. Assim, conhecendo as medidas de dois lados do triângulo, é possível calcular o valor do terceiro lado. O teorema de Pitágoras diz que a soma do quadrado dos catetos é sempre igual ao quadrado da hipotenusa.

Além do teorema de Pitágoras, outra área importante desenvolvida por meio dos estudos desse triângulo foi a trigonometria, em que são desenvolvidas as razões entre os lados do triângulo, conhecidas como seno, cosseno e tangente. Por intermédio dessas razões, percebeu-se que existe uma proporção entre as medidas dos lados de triângulos retângulos que possuem ângulos iguais.

Leia também: Quais são os pontos notáveis de um triângulo?

Características do triângulo retângulo

Como Provar Que Um Triangulo É Retangulo? Objeto com formato de um triângulo retângulo

O triângulo retângulo é um polígono que possui três lados e três ângulos, e um desses ângulos é reto, ou seja, possui 90º. Os outros dois ângulos são agudos, ou seja, menores que 90º. O maior lado, que fica sempre oposto ao ângulo de 90º, é conhecido como hipotenusa, e os outros dois são chamados de catetos.

O triângulo retângulo preserva todas as propriedades já conhecidas do triângulo comum, como o fato de a soma dos ângulos internos ser igual a 180º. Como a soma é sempre 180º e um dos seus ângulos já possui 90º, podemos afirmar que os outros dois ângulos são sempre complementares, ou seja, a soma deles também é igual a 90º.

a e b → catetos

c →  hipotenusa

Perímetro do triângulo retângulo

O perímetro de um polígono qualquer é o comprimento da soma de todos os seus lados. Então, para calcular o perímetro do triângulo retângulo, bastar somar os seus lados.

P = a + b + c

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Área do triângulo retângulo

A área do triângulo retângulo, assim como de um triângulo qualquer, é a metade do produto entre a base e a altura. O que o triângulo retângulo tem de especial é que um de seus catetos coincide com a sua altura, já que eles são perpendiculares entre si, então, para calcular a área, multiplicamos os catetos e dividimos o resultado por dois.

  • Exemplo:
  • Calcule o perímetro e área do triângulo retângulo a seguir sabendo que seus lados foram dados em centímetros.

Como Provar Que Um Triangulo É Retangulo?

  1. P = 8 + 15 + 17
  2. P = 40 cm
  3. Agora vamos calcular a área:

Como Provar Que Um Triangulo É Retangulo?

Veja também: Calculando a área de um triângulo utilizando os ângulos

Teorema de Pitágoras

O teorema mais conhecido na Matemática é, sem dúvidas, o teorema de Pitágoras. A partir desse teorema, foi possível perceber que os lados de um triângulo retângulo se relacionam da seguinte maneira: dado um triângulo retângulo qualquer, a soma do quadrado dos catetos é igual à hipotenusa ao quadrado.

  • a² + b² = c²
  • a e b → catetos
  • c → hipotenusa
  • A partir desse teorema, é possível descobrir o valor de qualquer um dos lados de um triângulo retângulo, desde que se conheçam os outros dois.
  • Exemplo:
  • Qual o valor da hipotenusa do triângulo retângulo abaixo sabendo que suas medidas são dadas em centímetro?

Como Provar Que Um Triangulo É Retangulo?

  1. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos que:
  2. 6² + 8² = x ²
  3. 36 + 64 = x²
  4. 100 = x²
  5. x² = 100
  6. x= √100
  7. x = 10 cm
  8. Para saber mais sobre essa importante relação, leia o texto: Teorema de Pitágoras.

Trigonometria no triângulo retângulo

O nome trigonometria já remete ao seu objeto de estudo:

  • tri → três;
  • gono → ângulo;
  •  metria → métrica ou medida.

Sendo assim, a trigonometria é a área da Matemática que estuda a relação entre as medidas dos ângulos do triângulo e aqui vamos nos ater ao triângulo retângulo.

A trigonometria estuda a razão entre os lados do triângulo de acordo com o seu ângulo. Com isso, foi possível desenvolver conceitos importantes, que são as razões seno, cosseno e tangente.

Vale dizer que outras razões trigonométricas foram desenvolvidas com o aprofundamento do estudo da trigonometria no círculo trigonométrico.

Antes de compreender o que é cada uma dessas razões, é importante entender o que é um cateto oposto e o que é um cateto adjacente a um ângulo de um triângulo.

Como Provar Que Um Triangulo É Retangulo?

Como vimos, a hipotenusa é o lado representado pelo segmento AB, pois ela é sempre o maior lado do triângulo e também o lado que fica de frente ao ângulo de 90º. Os outros lados são conhecidos como catetos. Dependendo do ângulo que tomamos como referência, o cateto pode ser oposto ou adjacente.

O cateto é conhecido como oposto quando ele fica de frente ao ângulo. O cateto que está oposto ao ângulo ꞵ, por exemplo, é o lado AC; por outro lado, o cateto que está oposto ao ângulo ɑ é o lado BC.

O cateto é conhecido como adjacente quando ele forma o ângulo junto à hipotenusa. Note que o ângulo ꞵ está entre o lado BC e AB. Como AB é hipotenusa do triângulo retângulo, então o AB é um cateto adjacente ao ângulo ꞵ. Empregando o mesmo raciocínio, é possível perceber que o lado AC é o cateto adjacente do ângulo ɑ.

Entendendo cada um dos lados do triângulo, é possível compreender as razões trigonométricas.

Como Provar Que Um Triangulo É Retangulo?

Para aplicar as razões trigonométricas, devemos conhecer os ângulos notáveis, isto é, os ângulos de 30º, 45º e 60º. A maioria dos problemas de provas e vestibulares está ligada a esses ângulos, sendo necessário, portanto, conhecer os valores das razões de cada um deles.

Veja a tabela com o valor do seno, cosseno e tangente para os ângulos notáveis:

Como Provar Que Um Triangulo É Retangulo?

  • Sabendo o valor das razões trigonométricas do triângulo, por meio de um lado e um ângulo, é possível encontrar todos os lados de um triângulo retângulo a partir da trigonometria.
  • Exemplo:
  • Encontre o valor de x.

Como Provar Que Um Triangulo É Retangulo?

Para encontrar o valor de x, vamos analisar o ângulo que foi dado. Note que ele é adjacente ao lado de que conhecemos a medida, ou seja, AC é cateto adjacente ao ângulo de 30º. Então, aplicaremos a razão tangente, que relaciona o cateto adjacente e a hipotenusa. Além disso, ao conferir a tabela, sabemos que cosseno de 30º é igual a √3/2.

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Como Provar Que Um Triangulo É Retangulo?

Acesse também: 4 erros mais cometidos na trigonometria básica

Exercícios resolvidos

Questão 1 – (IFG) Teodolito é um instrumento de precisão para medir ângulos horizontais e ângulos verticais, utilizado em trabalhos de construção. Uma empresa foi contratada para pintar um edifício de quatro andares.

Para descobrir a área total a ser pintada, ela precisa descobrir a altura do edifício. Uma pessoa posiciona o instrumento a 1,65 metros de altura, encontrando um ângulo de 30°, conforme mostra a figura.

Supondo que o teodolito esteja distante13√3 metros do edifício, qual a altura, em metros, do prédio a ser pintado?

Como Provar Que Um Triangulo É Retangulo?

  1. A) 11,65
  2. B) 12,65
  3. C) 13,65
  4. D) 14,65
  5. E) 15,65
  6. Resolução
  7. Alternativa D.
  8. Como queremos encontrar o cateto oposto ao ângulo de 30º, sabendo que a distância 13√3, que é a distância do teodolito até o prédio, é o cateto adjacente ao ângulo de 30°, então usaremos a tangente:
  9. Agora somaremos 13 + 1,65 = 14,65 metros de altura.

Questão 2 – Para realizar um plantio em sua propriedade, um fazendeiro dividiu seu terreno cultivável no formato retangular ao meio, em sua diagonal, formando dois triângulos retângulos.

Nessa divisão, metade do terreno será cercado com arame, sendo utilizados 4 fios.

Sabendo que as dimensões do terreno é de 20 metros de largura e 21 metros de comprimento, qual será a metragem gasta em fio?

  • A) 29 metros
  • B) 70 metros
  • C) 140 metros
  • D) 210 metros
  • E) 280 metros
  • Resolução
  • Alternativa E.
  • Primeiro vamos encontrar a diagonal do terreno, que é a hipotenusa do triângulo retângulo. Para facilitar, faremos a imagem da situação:
  • Então, temos que:
  • d² = 20² + 21²
  • d² = 400 + 441
  • d² = 841
  • d = √841
  • d=29
  • Para dar uma volta, temos que 29 + 20 + 21 = 70 metros, como serão 4 voltas, 70 · 4 = 280 metros.
  • Por Raul Rodrigues de Oliveira Professor de Matemática

Triângulo retângulo e as suas relações trigonométricas

Em primeiro lugar você precisa saber o que significa um triângulo retângulo. Além disso, você vai estudar aqui a área do triângulo retângulo, as relações métricas e trigonometria. Então vamos lá:

Já o lado oposto ao ângulo reto é denominado hipotenusa.

Da mesma forma, você podes constatar isso na imagem, onde A-C e B-C são os dois catetos, enquanto A-B é a hipotenusa:Como Provar Que Um Triangulo É Retangulo?Esquema representando os nomes dos lados de um triângulo retângulo. O que fica “de frente” para o ângulo reto se chama hipotenusa. Os outros dois são os catetos.

O triângulo retângulo no universo da matemática é uma das figuras geométricas mais utilizadas para solucionar problemas que envolvem cálculos de ângulos, lados, área e etc.

  • Apesar dessa aula ser focada no triângulo retângulo, devemos lembrar que existem outros tipos de triângulos.
  • É o caso dos isósceles, escaleno e equilátero.
  • Também pode existir um triângulo retângulo isósceles.
  • Nesse sentido, esse triângulo retângulo isósceles apresenta os catetos de mesma medida.

Relações métricas no triângulo retângulo

As relações métricas do triângulo retângulo relacionam as medidas dos seus lados e suas projeções. Para entender,  vamos representar esse triângulo apoiado, por exemplo, sobre a hipotenusa:Como Provar Que Um Triangulo É Retangulo?Imagem de um triângulo dividido em dois triângulos menores internamente. Os dois triângulos menores possuem um ângulo de noventa graus.

Nessa representação temos:

  •  Hipotenusa = a
  •  Catetos = b e c
  •  Altura relativa à hipotenusa = h
  •  Projeções dos catetos sobre a hipotenusa = m e n

Antes de tudo, você já deve ter escutado a famosa fórmula do Teorema de Pitágoras, certo? Pois bem, ele está relacionado às relações métricas no triângulo retângulo.

  • 1) Teorema de Pitágoras: hip 2 = cat 1 + cat 2  
  • Em outras palavras a representação da fórmula: a soma do quadrado dos catetos é igual ao cateto da hipotenusa. Agora, observe a representação do Teorema de Pitágoras atuando nos cálculos:Como Provar Que Um Triangulo É Retangulo?fórmula do teorema de Pitágoras expressa em um triângulo retângulo
  • Observe na demonstração gráfica do Teorema de Pitágoras na imagem abaixo que se você ‘somar as áreas geradas pelos quadrados dos catetos’ vai encontrar exatamente a mesma ‘área gerada pelo quadrado da hipotenusa’.

Como Provar Que Um Triangulo É Retangulo?

Observe a quantidade de quadradinhos dentro da área quadrada que se forma com o lado de cada um dos catetos (quadrado amarelo + quadrado azul). Somando esses dois quadrados coloridos, temos 25 quadradinhos, certo?

Assim, você percebe rapidamente que a quantidade dessa soma é igual ao número de quadradinhos do quadrado rosa. Portanto, temos aí o Teorema de Pitágoras.

Como falamos, esse triângulo conta com um ângulo reto (90º) e dois ângulos menores (conhecidos como agudos). Assim, das 3 alturas encontradas nesse tipo de triângulo, duas coincidem com os lados desse triângulo.

Veja no esquema abaixo como ficaria a fórmula da área do triângulo retângulo:Como Provar Que Um Triangulo É Retangulo?Fórmula usada para calcular a área do triângulo retângulo.

Trigonometria

Na solução de alguns problemas, aplicamos fórmulas denominadas de razões trigonométricas no triângulo retângulo. Elas são aquelas conhecidas como seno, cosseno e tangente. Frequentemente aparecem no vestibular e no Enem, ou seja, é muito importante que você as tenha na cabeça.

A fórmula do seno é expressa por cateto oposto dividido pela hipotenusa.

Já o cosseno é o cateto adjacente dividido pela hipotenusa.

Por fim, a tangente é o cateto oposto dividido pelo cateto adjacente.Como Provar Que Um Triangulo É Retangulo?Tabela de razões trigonométricas dos ângulos mais utilizados.

Na tabela, você pode ver os valores da trigonometria no triângulo retângulo com os ângulos mais utilizados em exercícios. Essas fórmulas também são frequentemente chamadas de relações trigonométricas no triângulo retângulo.

  • a) Cateto x Cateto = Hipotenusa x Altura (b x = a x h)
  • b) Cateto 2 = Hipotenusa x Projeção
  •  (b2 = a x n) ou (c2 = a x m)
  • c) Altura 2 = Projeção x Projeção
  • (h 2 = m x n)

Como Provar Que Um Triangulo É Retangulo?

  • a) BC2 =AB2+ AC 2 62 + 82 = 36 + 64 = 100BC = √100 = 10
  • b) AB x AC = BC x AH 6 x 8 = 10 x AH AH = 4,8
  • c) AB2 = BH x BC 62 = BH x 10 BH = 3,6
  • d) AC2 = CH x BC 82 = CH x 10 CH = 6,4

Logo depois de finalizar o exercício, confira suas respostas e veja se você as marcou corretamente. Dessa forma, você garante o sucesso na prova e não erra questões bobas. Frequentemente alunos trocam o sinal, por exemplo e acabam deslizando na prova.

Veja como o conteúdo de triângulo retângulo costuma cair no Enem. Resolva os exercícios abaixo e prepare-se para as provas.

Questão 01 – (ENEM/2019)

A unidade de medida utilizada para anunciar o tamanho das telas de televisores no Brasil é a polegada, que corresponde a 2,54 cm. Diferentemente do que muitos imaginam, dizer que a tela de uma TV tem X polegadas significa que a diagonal do retângulo que representa sua tela mede X polegadas, conforme ilustração.

  1. O administrador de um museu recebeu uma TV convencional de 20 polegadas, que tem como razão do comprimento (C) pela altura (A) a proporção 4 : 3, e precisa calcular o comprimento (C) dessa TV a fim de colocá-la em uma estante para exposição.
  2. Portanto, a tela dessa TV tem medida do comprimento C, em centímetro, igual a
  3. a) 12,00.
  4. b) 16,00.
  5. c) 30,48.
  6. d) 40,64.
  7. e) 50,80.
  8. Gab: D
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Questão 02 – (ENEM/2018)

  • Um quebra-cabeça consiste em recobrir um quadrado com triângulos retângulos isósceles, como ilustra a figura.
  • Uma artesã confecciona um quebra-cabeça como o descrito, de tal modo que a menor das peças é um triângulo retângulo isósceles cujos catetos medem 2 cm.
  • O quebra-cabeça, quando montado, resultará em um quadrado cuja medida do lado, em centímetro, é quadrado cuja medida do lado, em centímetro, é
  • a) 14
  • b) 12
  • c) 7√2
  • d) 6 + 4√2
  • e) 6 + 2√2
  • Gab: A

Questão 03 – (ENEM/2017)

Uma família possui um terreno retangular com 18 metros de largura e 24 metros de comprimento. Foi necessário demarcar nesse terreno dois outros iguais, na forma de triângulos isósceles, sendo que um deles será para o filho e o outro para os pais. Além disso, foi demarcada uma área de passeio entre os dois novos terrenos para o livre acesso das pessoas.

  1. Os terrenos e a área de passeio são representados na figura.
  2. A área de passeio calculada pela família, em metro quadrado, é de
  3. a) 108.
  4. b) 216.
  5. c) 270.
  6. d) 288.
  7. e) 324.
  8. Gab: A

Questão 04)

A figura mostra um edifício que tem 15 m de altura, com uma escada colocada a 8 m de sua base ligada ao topo do edifício. Portanto, o comprimento dessa escada é de:

a) 12;  b) 30;  c) 15;  d) 17;  e) 20

Questão 05)

A prefeitura de uma cidade deseja construir um Posto de Saúde e uma Escola em um terreno retangular de lados AB = 150 m e BC = 80 m, de acordo com a figura abaixo:

O Posto de Saúde deve ficar sobre o lado AB à uma distância de 120m do vértice B e a Escola sobre o lado CD à uma distância de 70 m do vértice D. A prefeitura planeja a construção de um acesso passando por dentro desse terreno no sentido de diminuir a distância entre a Escola e o Posto de Saúde.

Assim, o valor mais próximo da extensão desse acesso é de:

a) 100 m;  b) 90 m;  c) 70 m;  d) 60 m;  e) 110 m

Prova do Teorema de Pitágoras a partir de um quadrado formado por 4 triângulos retângulos

Como Provar Que Um Triangulo É Retangulo?

  • O Teorema de Pitágoras é uma relação matemática que envolve os lados de um triângulo retângulo qualquer.
  • Por dedfinição, a hipotenusa é o lado do triângulo oposto ao ângulo reto do triangulo e os catetos são os lados adjacentes.
  • Na geometria euclidiana, o teorema afirma que o quadrado sobre a hipotenusa é igual à soma dos quadrados sobre os outros dois catetos. Matematicamente, podemos escrever:

$$
c^2 = a^2 + b^2
$$
Como Provar Que Um Triangulo É Retangulo?

Esta demonstração do Teorema de Pitágoras não inicia a partir de um triângulo retângulo dado, mas sim de quatro triângulos retângulos, cuja hipotenusa vale $c$ e catetos iguais a $a$ e $b$.

Iniciamos construindo quatro triângulos congruentes cujas hipotenusas valem $c$ e catetos iguais a $a$ e $b$ e dispomo-os em ângulos iguais a $0º$, $90º$, $180º$ e $270º$:

Como Provar Que Um Triangulo É Retangulo?

Em seguida, fazemos um arranjo entre estes estes triângulos de modo a formar um quadrado, cujos lados iguais a $c$, são as hipotenusas dos triângulos:

Como Provar Que Um Triangulo É Retangulo?

  1. Construímos um quadrado de lado igual a $c$ e internamente temos outro quadrado de lado igual a $a-b$.
  2. Até o momento temos as seguintes áreas:
  • Área de cada triângulo retângulo: $displaystyle A=frac{ab}{2}$;
  • Área de dos quatro triângulos: $displaystyle A = frac{4ab}{2}={2ab}$;
  • Área do quadrado interno: $displaystyle (a-b)^2$;
  • Área do quadrado externo: $c^2$.

Voltamos À área do quadrado externo. Temos então que sua área é igual à área dos quatro triângulos mais a área do quadrado interno. Então:

$$
c^2 = 2ab + (a-b)^2\
\
c^2 = 2ab + a^2 – 2ab + b^2\
\
c^2 = a^2 + b^2
$$

Como $c^2$ é a área de um quadrado sobre a hipotenusa de lado $c$, $b^2$ é a área de um quadrado sobre o lado $b$ e $a^2$ é a área de um quadrado sobre o lado $a$, podemos esboçar a figura:

Como Provar Que Um Triangulo É Retangulo?

  • Veja este belo papel de parede com o Teorema de Pitágoras no blog do Professor Edigley Alexandre.

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considere A(-2,-5), B(-4,-1) e C(4,3) vértices do triângulo ABC. Explique como você faria para

Bom, você tem que provar que o quadrado da maior distância (hipotenusa), é igual a soma dos quadrados das outras duas distancias, vamos lá:

Distância de A até B =  = 

  • agora temos os três lados do triângulo, 10,  e .
  • como  está entre 4 e 5, e  está entre 8 e 9, já sabemos que o lado AC é o maior, é a hipotenusa, e mede 10.
  • 10² = 
  • 100 = 100, ou seja, o triângulo é um triângulo retângulo !

Pela fórmula de Pitágoras, temos:100 = 20 + 80

  • a distância entre dois pontos é A RAIZ DE (DELTA X )² + (DELTA Y)².

5. Construa em seu caderno um retângulocuja medida de uma de suas dimensões é12 cm e pinte1dele.3cena​

1- escreva a representação decimal das frações a seguir.
a-35/10
b-28/100
c- -70/100
d- 321/-10.000
e-542/100
f-12/1.000
2-Represente cada fração na f

orma decimal
a-2/5
b-5/6
c-11/3
d- -45/8
e- -11/90
f-52/25​
Socorroo me ajudem!!

3- Os números x, y, 2 e z são inversamente proporcionais aos números 6,10, 15 e 60. Quais são os números x, y e z?​

26. Quantos números de sete algarismos formados apartir dos algarismos do número 7845 747:a) são pares?b) são ímpares?c) são divisíveis por 5?d) possu

em os algarismos 8 e 5 juntos?​

pfvr tropa eh pra hoje ​

Em relação ao nível do mar, a altitude de um gavião é +6 metros, e a profundidade de um tubarão é –3 metros. A diferença entre as altitudes do gavião

e do tubarão é:
2 metros
6 metros
8 metros
9 metros
Salvar resposta

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Agora, escreva o sucessor e o antecessor dos números inteiros——0————+9———– -1 ————- -4 ———- -15——– -19—-​

ALGUÉM PFVR?? ³√27 .³√8=​

3 As medidas dos lados AB, BC CAde um triangulo ABC formam, nessaordem, uma progressão aritméticaQual é a medida do perimetro dessetriângulo?a.5b. 6e

. 7d.8e.9​

complete o quadropor favor gente me ajudem​

Como Provar o Teorema de Pitágoras

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O teorema de Pitágoras permite a você calcular o comprimento do terceiro lado de um triângulo retângulo conhecendo apenas o valor dos outros dois. Ele recebeu o nome de Pitágoras, matemático da Grécia Antiga.

[1]
O teorema afirma que a soma dos quadrados dos dois lados de um triângulo retângulo é igual ao quadrado da hipotenusa: a2+b2=c2{displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}.[2]
É possível prová-lo de diversas formas usando quadrados, triângulos e conceitos geométricos. No presente artigo, são apresentadas duas provas comuns.

  1. 1

    Desenhe quatro triângulos retângulos congruentes. Triângulos congruentes são aqueles com três lados idênticos. Dê aos dois catetos e à hipotenusa, respectivamente, os comprimentos a{displaystyle a}, b{displaystyle b} e c{displaystyle c}. O teorema de Pitágoras afirma que a soma dos quadrados dos dois catetos de um triângulo retângulo é igual ao quadrado da hipotenusa, sendo necessário apenas provar a2+b2=c2{displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}.

    • Lembre-se de que o teorema de Pitágoras se aplica apenas a triângulos retângulos.[3]
  2. 2

    Organize os triângulos de modo que formem um quadrado de lados a+b{displaystyle a+b}. Posicionados dessa forma, eles formarão um quadrado menor (em verde) dentro do quadrado maior com lados iguais de comprimento c{displaystyle c} — a hipotenusa de cada triângulo.[4]
    O maior, por sua vez, tem lados de comprimento a+b{displaystyle a+b}.

    • É possível girar todo o arranjo em 90o{displaystyle 90^{ ext{o}}} e chegar em um resultado inteiramente igual. Você pode repeti-lo quantas vezes quiser, mas isso só acontece porque os quatro ângulos nos cantos são idênticos.
  3. 3

    Reorganize os quatro triângulos formando dois retângulos iguais dentro de um quadrado melhor. Uma vez mais, o quadrado maior terá lados de comprimento a+b{displaystyle a+b}, mas nessa configuração estarão dois retângulos (em cinza) de igual tamanho e dois quadrados menores dentro do quadrado maior. O maior dos quadrados menores (em vermelho) terá lados de comprimento a{displaystyle a}, enquanto o quadrado menor (em azul) terá lados de comprimento b{displaystyle b}.[5]

    • A hipotenusa dos triângulos originais é agora a diagonal dos dois retângulos formados pelos triângulos.
  4. 4

    Reconheça que a área não formada por triângulos é igual em ambos os arranjos. Nos dois casos, você terá um grande quadrado com lados de comprimento a+b{displaystyle a+b}.

    Desse modo, as áreas dos dois quadrados grandes serão idênticas entre si.

    Observando ambos os arranjos, você entenderá que a área total do quadrado verde deve ser igual às áreas totais dos quadrados vermelho e azul somadas na segunda disposição.

    • Nos dois arranjos, a superfície foi parcialmente coberta pela mesma quantia: quatro triângulos cinzas que não se sobrepõem entre si. Em outras palavras, mesmo a área deixada de fora dos triângulos deve ser igual em ambos os casos.
    • Logo, a área dos quadrados azul e vermelho somadas deverão ser iguais à área do quadrado verde.
  5. 5

    Iguale as áreas de cada arranjo entre si. A área azul é igual a a2{displaystyle a^{2}}, a área vermelha é igual a b2{displaystyle b^{2}} e a área verde é igual a c2{displaystyle c^{2}}.

    Os quadrados vermelho e azul devem ser somados entre si para se igualarem à área do quadrado verde — por isso, área azul +{displaystyle +} área vermelha ={displaystyle =} área verde: a2+b2=c2{displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}.[6]

  1. 1

    Desenhe um trapezoide com base a+b{displaystyle a+b} e lados a{displaystyle a} e b{displaystyle b}. Esboce um trapezoide comas seguintes medidas: lado esquerdo de altura b{displaystyle b}, lado direito de altura a{displaystyle a} e base de comprimento a+b{displaystyle a+b}. Basta conectar os pontos superiores para completar a forma.

  2. 2

    Divida o trapezoide em três triângulos retângulos, dois dos quais são congruentes entre si.

    Divida a base do triângulo nos lados a{displaystyle a} e b{displaystyle b} para que dois triângulos retângulos de lados a{displaystyle a}, b{displaystyle b} e c{displaystyle c} sejam formados.

    O terceiro deles terá dois lados c{displaystyle c} e uma hipotenusa de comprimento d{displaystyle d}.[7]

    • Os dois triângulos menores são congruentes (idênticos entre si).
  3. 3

    Calcule a área do trapezoide usando a fórmula da área.

    A área de um trapezoide é calculada com a equação A=12(b1+b2)h{displaystyle A={frac {1}{2}}left(b_{1}+b_{2}
    ight)h}, onde b1{displaystyle b_{1}} representa um lado reto do trapezoide, b2{displaystyle b_{2}} representa o outro lado reto e h{displaystyle h} representa sua altura.[8]
    Nesse caso, b1{displaystyle b_{1}} é a{displaystyle a}, b2{displaystyle b_{2}} é b{displaystyle b} e h{displaystyle h} é a+b{displaystyle a+b}.

    • A área desse trapezoide será: A=12(a+b)(a+b){displaystyle A={frac {1}{2}}left(a+b
      ight)left(a+b
      ight)}.
    • Ao expandir o binômio, tem-se que: A=12(a2+2ab+b2){displaystyle A={frac {1}{2}}left(a^{2}+2ab+b^{2}
      ight)}.
  4. 4

    Calcule a área total somando as áreas dos três triângulos.

    A área de um triângulo retângulo é dada por A=12bh{displaystyle A={frac {1}{2}}bh}, onde b{displaystyle b} representa a base do triângulo e h{displaystyle h}, sua altura.

    Esse trapezoide foi dividido em três triângulos diferentes e, por isso, suas áreas precisam ser somadas. Em primeiro lugar, calcule a área de cada um deles e some-os entre si.

    • Como dois dos triângulos são idênticos, basta dobrar a área do primeiro triângulo: 2A1=2(12bh)=2(12ab)=ab{displaystyle 2A_{1}=2left({frac {1}{2}}bh
      ight)=2left({frac {1}{2}}ab
      ight)=ab}.
    • A área do terceiro triângulo é A2=12bh=12c×c=12c2{displaystyle A_{2}={frac {1}{2}}bh={frac {1}{2}}c imes c={frac {1}{2}}c^{2}}.
    • A área total do trapezoide será igual a A1+A2=ab+12c2{displaystyle A_{1}+A_{2}=ab+{frac {1}{2}}c^{2}}.
  5. 5

    Iguale os diferentes cálculos de áreas entre si. Como ambos trazem resultados iguais concernindo à área total do trapezoide, é possível igualá-los entre si. Nesse momento, você reduzirá a equação a sua forma mais simples.[9]

    • 12(a2+2ab+b2)=ab+12c2{displaystyle {frac {1}{2}}left(a^{2}+2ab+b^{2}
      ight)=ab+{frac {1}{2}}c^{2}}.
    • Dobre ambos os lados para eliminar a fração: (a2+2ab+b2)=2ab+c2{displaystyle left(a^{2}+2ab+b^{2}
      ight)=2ab+c^{2}}.
    • Subtraia os termos iguais: a2+b2=c2{displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}.
    • Resta apenas a prova: a2+b2=c2{displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}.

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Categorias: Matemática

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