Como Provar Que Um Triangulo É Isosceles?

Rosimar Gouveia

Professora de Matemática e Física

Triângulo isósceles é um polígono que apresenta três lados, sendo dois deles congruentes (mesma medida).

O lado com medida diferente é chamado de base do triângulo isósceles. O ângulo formado pelos dois lados congruentes é chamado de ângulo do vértice.

No triângulo isósceles ABC, representado abaixo, os lados possuem mesma medida. O lado é a base do triângulo. O ponto A é o vértice, enquanto o ângulo é o ângulo do vértice.

Como Provar Que Um Triangulo É Isosceles?

Propriedades dos Triângulos Isósceles

Todo triângulo isósceles apresenta as seguintes propriedades:

  • Os ângulos das bases são congruentes;
  • A bissetriz do ângulo do vértice coincide com a altura relativa à base e com a mediana.

Para provar essas propriedades, iremos utilizar um triângulo isósceles ABC. Traçando a bissetriz do ângulo do vértice, formamos os triângulos ABM e ACM, conforme figura abaixo:

Como Provar Que Um Triangulo É Isosceles?

Note que o lado é comum aos dois triângulos e a bissetriz dividiu o ângulo em dois ângulos de mesma medida. Além disso, os lados são congruentes (lados iguais do triângulo isósceles ABC).

Desta forma, temos o caso de congruência de triângulos LAL (lado, ângulo, lado). Concluímos então que os ângulos , da base do triângulo, possuem a mesma medida.

Podemos ainda concluir que, como os triângulos ABM e ACM são congruentes, as medidas de são iguais.

Portanto, também é a mediana relativa à base. Além disso, também é a altura relativa à base, pois forma com a base dois ângulos iguais a 90º.

Área dos Triângulos

  • Para encontrar a área de um triângulo isósceles usamos a fórmula da área de uma triângulo qualquer:
  • Onde:
  • A: área
    b: medida da base
  • h: medida da altura relativa à base
  • Exemplo:
  • Qual o valor da área de um triângulo isósceles que apresenta lados com medidas iguais a 10 cm, 10 cm e 12 cm?

A base do triângulo mede 12 cm, contudo, não temos a medida da altura. Entretanto, sabemos que ela coincide com a mediana. Desta forma a altura irá dividir a base em dois segmentos iguais, ou seja 12:2 = 6.

Como Provar Que Um Triangulo É Isosceles?

  1. Para encontrar a altura iremos usar o teorema de Pitágoras:
  2. 102 = 62 + h2
    h2 = 100 – 36
    h2 = 64
    h = 8 cm
  3. Agora, podemos calcular a área:

Eixo de Simetria

O eixo de simetria de uma figura é uma reta que a divide em duas outras figuras idênticas e que quando dobramos pelo eixo de simetria, essas figuras se sobrepõem perfeitamente.

Os triângulos isósceles apresentam apenas 1 eixo de simetria, que é a reta que divide o ângulo do vértice em dois ângulos iguais (bissetriz).

Como Provar Que Um Triangulo É Isosceles?

Classificação dos Triângulos

Além dos triângulos isósceles, temos ainda os triângulos equiláteros e escalenos. Essa classificação leva em consideração os lados que formam o triângulo.

Assim, o triângulo equilátero é aquele que possui três lados com mesma medida e o escaleno todos os lados apresentam medidas diferentes.

Como Provar Que Um Triangulo É Isosceles?

Podemos ainda classificar os triângulos em relação aos ângulos internos. O triângulo será acutângulo quando a medida dos ângulos internos for menor que 90º.

Quando o triângulo apresentar um ângulo reto (igual a 90º) será classificado como triângulo retângulo e obtusângulo quanto tiver um ângulo maior que 90º.

Como Provar Que Um Triangulo É Isosceles?

Para estudar mais sobre esse conteúdo, leia também:

Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.

Triângulo Isósceles: Definição, Área e Propriedades – Matemática Básica

O triângulo isósceles é um tipo de triângulo que possui dois lados com as mesmas medidas. O lado com medida diferente dos demais lados é a base do triângulo. Além disso, os lados que têm as mesmas medidas formam um ângulo oposto a base do triângulo, esse ângulo é chamado de ângulo do vértice.

Definição

Chamamos um triângulo de isósceles, se e somente se, ele possui dois lados congruentes.

Na matemática, a notação que representa a congruência entre dois lados é dado da seguinte forma:

Como Provar Que Um Triangulo É Isosceles?

Exemplo:

Considere o triângulo ABC a seguir:

Como Provar Que Um Triangulo É Isosceles?

É um triângulo isósceles e os lados AB e AC possuem as mesmas medidas. A reta que parte do vértice A, dividindo o ângulo Â, é chamado de bissetriz. A bissetriz divide o triângulo em dois, formando dois triângulos retângulos, além de dividir o ângulo  em dois, também com a mesma medida.

A base do triângulo, formada pelo lado BC, é dividida ao meio pela bissetriz, assim as medidas de BD e CD são iguais.

Propriedades

Para o triângulo isósceles valem as seguintes propriedades:

  • No triângulo isósceles os ângulos da base tem medidas iguais;
  • A altura do triângulo isósceles tem a mesma medida da bissetriz do ângulo oposto a base.

Área dos Triângulos

Para calcular a área de um triângulo isósceles basta utilizarmos a fórmula geral para calcular a área de um triângulo.

Como Provar Que Um Triangulo É Isosceles?

Onde:

  • A: representa a área do para o triângulo em questão;
  • b: representa a base do triângulo;
  • h: é a altura para o triângulo.

Exemplo:

Considere o triângulo a seguir, com medidas dos lados iguais a 10 cm, 10 cm e 12 cm.

Como Provar Que Um Triangulo É Isosceles?

Primeiramente, devemos encontrar a medida para a altura do triângulo, para isso devemos utilizar o Teorema de Pitágoras. Assim:

Como Provar Que Um Triangulo É Isosceles?

No triângulo isósceles, a medida da altura é a bissetriz que divide a base do triângulo na metade. Após encontrar o valor referente a altura, utilizamos a fórmula geral para qualquer triângulo e encontramos o valor referente a área para o triângulo apresentado.

Eixo Simetria

Como temos um triângulo isósceles, em que dois lados tem medidas iguais, se traçarmos uma reta a partir do ângulo Â, essa reta divide o triângulo ao meio formando dois triângulos com áreas idênticas. Essa reta é chamada de Eixo de Simetria.

Como Provar Que Um Triangulo É Isosceles?

Se esse triângulo estivesse desenhado em um papel e recortássemos a figura do triângulo em relação ao seu lado, depois dobrássemos ele ao meio em relação ao Eixo de Simetria, as duas partes do triângulo se coincidiriam.

Exercícios

Veja os exercícios acessando o link a seguir:

Bons estudos!

Exercícios sobre triângulos isósceles – Mundo Educação

Resposta Questão 1

Sabendo que os ângulos a e b são iguais, podemos considerá-los como ângulos da base, sendo assim, a base desse triângulo é o lado AB. Para mostrar que ABC é isósceles, devemos mostrar que os lados AC e BC são iguais.

Para tanto, basta construir a altura CD relativa à base BC.

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Como Provar Que Um Triangulo É Isosceles?

Essa altura parte do vértice C e encontra a base AB, formando com ela ângulos de 90 graus. Essa altura divide o triângulo inicial em outros dois triângulos, CBD e ACD.

Agora, basta observar que o lado CD é comum aos dois triângulos, os ângulos “a” e “b” são iguais, assim como os ângulos de 90 graus provenientes da construção da altura. Isso configura o caso LAAo de congruência de triângulos, dessa forma, os lados correspondentes AC e BC são também congruentes. Portanto, o triângulo ABC é isósceles.

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Resposta Questão 2

Triângulos equiláteros são aqueles que possuem 3 lados iguais. Uma consequência disso é que os três ângulos do triângulo equilátero também são iguais.

Primeiramente, construa a mediana do triângulo equilátero, que o divide nos triângulos ACD e BCD.

Uma vez feito isso, o lado AB do triângulo equilátero deve ser dividido em duas partes iguais: AD e DB

Como Provar Que Um Triangulo É Isosceles?

  • Observe que:
  • i- Os lados CB e AC são iguais, pois o triângulo é equilátero
  • ii- O lado CD é comum aos dois triângulos ACD e BCD
  • iii- Os lados AD e DB são congruentes por serem resultado da construção da mediana do triângulo equilátero.

Essas informações configuram o caso LLL de congruência de triângulos. Portanto, os triângulos ACD e BCD são congruentes.

  1. Conclusões provenientes da congruência entre os triângulos ACD e BCD:
  2. a) Os ângulos “a” e “b” são iguais, portanto CD é bissetriz;
  3. b) Os segmentos AD e BD são iguais, o que implica que CD também é mediana.

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Resposta Questão 3

Como se trata de um triângulo isósceles, podemos afirmar:

CA = CB, a = b e altura, mediana e bissetriz são o mesmo segmento.

Pode-se concluir, então, que os segmentos AD e DB são congruentes, já que CD é mediana. Logo, DB = 5 cm.

  • Utilizando o teorema de Pitágoras, teremos:
  • 5² + 12² = x²
  • 25 + 144 = x²
  • 169 = x²
  • x = √169
  • x = 13 cm.
  • Lembrando que x = CB e que CB é hipotenusa, pois CD é altura e assim descreve um ângulo de 90 graus.
  • CB portanto é 13 cm, que é a mesma medida de CA, pois o triângulo é isósceles.

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Resposta Questão 4

Note que os lados CB e AB desse triângulo são iguais, portanto ele é isósceles. Sabendo que os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais, a = b.

Note também que o segmento CD é bissetriz desse triângulo, portanto é também altura. Dessa forma, o ângulo que o segmento CD forma com a base AB é de 90 graus. Ora, a soma dos ângulos internos de um triângulo é de 180 graus.

Então, podemos descobrir o valor do ângulo a com a seguinte soma:

  1. a + 30 + 90 = 180
  2. a = 180 – 90 – 30
  3. a = 60
  4. Como a = b, então b também é 60 graus.

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Propriedades do triângulo isósceles – Mundo Educação

Os triângulos são figuras geométricas planas constituídas por três lados, três ângulos e três vértices. Eles podem ser classificados com relação aos seus ângulos ou com relação aos seus lados.

Apelidar um triângulo de isósceles sugere que esse triângulo foi classificado utilizando seus lados como parâmetro. Um triângulo que possui dois lados com medidas iguais recebe o nome de triângulo isósceles.

O lado restante, que não foi observado ou que é diferente, é comumente chamado de base.

De posse dessas informações, observemos o triângulo abaixo, cujos lados AC e BC têm a mesma medida. AC = BC = 5,2 e a base é o lado AB. Acompanhe o passo a passo a seguir:

Como Provar Que Um Triangulo É Isosceles?

Desenhamos a mediana CD do triângulo ABC. Os segmentos AD e DB formados por essa mediana são congruentes e ela (a mediana) divide ABC em dois novos triângulos: ACD e BCD.

  • Observe que esses dois triângulos possuem certas semelhanças entre si:
  • 1- Os lados CB do triângulo BCD e AC do triângulo ACD são iguais;
  • 2- Os lados CD do triângulo ACD e CD do triângulo BCD são iguais
  • 3- E os lados AD e DB dos respectivos triângulos também são iguais.

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  1. Isto configura o caso Lado Lado Lado (LLL) de congruência de triângulos e, por este motivo, os triângulos ACD e BCD são congruentes.
  2. As consequências desse estudo são as duas propriedades seguintes:
  3. 1- Em um triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes
  4. Para verificar essa propriedade basta lembrar que os triângulos ACD e BCD são congruentes e os ângulos da base, “f” e “g”, são também congruentes por serem correspondentes.
  5. 2- A altura de um triângulo isósceles, relativa à base, é também mediana e bissetriz
  6. Desenhe a altura do triângulo isósceles ABC. Repare que:
  7. 1- O lado CD é comum aos dois triângulos;
  8. 2- O ângulo formado pela altura é de 90 graus tanto para ACD quanto para BCD e
  9. 3- Os ângulos “f” e “g” são iguais pela propriedade anterior.

Estas três informações configuram o caso Lado Ângulo Ângulo oposto (LAAo), por isso, os triângulos ACD e BCD são congruentes. Logo, CD é bissetriz além de altura, pois os ângulos “c” e “d” são iguais e CD é mediana pois os segmentos AD e BD são iguais.

Publicado por: Luiz Paulo Moreira Silva

Provar que é isósceles o triângulo cujos vértices são os pontos A(2, – 2), B(- 3, -1) e C(1, 6)

Como Provar Que Um Triangulo É Isosceles?

Vamos provar pela relação de distância entre os três pontos dados, determinando as distâncias entre os segmentos AB, BC e CA:Distância de AB:__________Distância de BC:__________Distância de CA:

Concluímos que BC e AC possuem a mesma medida, logo o triângulo é isósceles.

Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos ;D

Em uma PA de razão positiva, a soma dos três primeiros termos é 27 e o produto, 648. Então, o quarto termo é: ​

Calcule o valor do seguimento AC para os triangulos abaixo: ​

Observando a reta numérica abaixo podemos afirmar que:
A= (-35), B =(-21), C=(14) e D=(35)
A= (-35), B =(-21), C=(07) e D=(21)
A= (-28), B =(-7), C=(

07) e D=(21)
A= (-35), B =(-10), C=(07) e D=(35)
ME AJUDEM PORFAVOR GENTE!!!!!

Um prédio tem 5.000 metros quadrados de terreno, com apenas 2.000 metros quadrados de área construída.
A)qual a razão da área construída em relação a

área total??
b) Qual a razão da área total em relação a área construída??

Leia também:  Como É Que O Primeiro Rei De Portugal Morreu?

Paulo decidiu investir toda a sua economia em uma aplicação de rendimento a juro simples, por 3 anos. Após esse tempo o montante retirado por Paulo, f

oi de R$ 47.600 sabendo que o capital foi de R$ 17000, qual foi a taxa de juros ao mês, empregada nessa aplicação ? *

Eu estava montando um quebra cabeças complicado. Em 25 tentativas, consegui montar em apenas 5 vezes sendo que errei nas outras 25 tentativas .
a) qu

al a razão dos meus acertos?
b))qual a razão dos meus erros

1) Classifique como conjunto vazio ou conjunto unitário considerando o universo dos números naturais:
h) H = {x/x² – x – 42}:

qual o remédio infantil negativo da fotografia na sua opinião?​

suponha que o desenho da pirâmide possa ser obtido por meio de figuras homoteticas cuja razão de homotetia seja k=0,3. assum, se a base maior é quadra

da e seu lado mede 210 m, o lado da base menor, em metros será A) 63B) 70C) 147D) 630​

Questão 2 – Dado a expressão algébrica 2x+2, calcule o valor da expressão para x = 3:​

Exercícios

1)Teorema: Em qualquer triângulo Isósceles, as bissetrizes dos ângulos da base são congruentes.

Hipótese:  Triângulo Isósceles. Bissetrizes do ângulo da base.

Tese: Bissetrizes são congruentes.

Prova: Dado um triangulo isósceles ABC, com base BC e bissetrizes DC e EB, relativas aos lados AC e AB respectivamente. Queremos mostrar que as bissetrizes dos ângulos da base são congruentes.

  • Consideremos os triângulos BCD e BCE, temos que:
  • BC≡CB
  • ECB≡DBC ( teorema)
  • DBC≡ECB ( Bissetriz)
  • Logos, os triângulos DBC e ECB são congruentes, pelo caso ALA.
  • Portanto, DC≡EB.
  • 2) Dois segmentos AB e CD se interceptam em um ponto M, o qual é ponto médio dos dois segmentos. Prove que AC≡BD

Prova: Seja os segmentos AB e CD que se interceptam em um ponto M, na qual esse ponto é o ponto médio dos segmentos. Provemos que AC≡BD.

  1. Consideremos o modelo para nomenclatura. Temos que: AM+MB=AB (Ponto Médio) , CM+MD=CD
  2. Utilizando M como vértice dos ângulos temos BMD≡CMA, pelos ângulos opostos pelo vértice e utilizando os segmentos AC e DB, temos os triângulos AMC e DMB, temos que:
  3. MB≡MA
  4. CMA≡DMA
  5. MC≡MD
  6. Portanto, AMC≡DMB, pelo caso LAL, então AC≡DB.
  7. 3) Dois triângulos retângulos são semelhantes, quando um deles têm a hipotenusa e um dos catetos proporcionais aos elementos correspondentes, do outro.
  8. Hipótese: Hipotenusa e um dos catetos proporcionais
  9. Tese: Dois triângulos são semelhantes.

Prova:Dados dois triângulos ABC e XYZ retângulo em  e X(ângulo) respectivamente. Por hipótese temos que a hipotenusa e um dos catetos são proporcionais aos elementos correspondentes.

  • Assim temos que :
  • Â≈^X
  • AB≈BC
  • XY≈ZY
  • Como os triângulos são semelhantes e essa proporcionalidade acontece, temos que AC/XZ=AB/XY=BC/ZY.
  • Portanto pelo Segundo caso de semelhança, os triângulos ABC e XYZ são semelhantes.
  • 4) Em qualquer triângulo isósceles, as Alturas relativas aos lados congruentes são congruentes.
  • Hipótese: Triangulo isósceles.
  • Tese: Alturas aos lados congruentes são congruentes.

Prova: Seja um triângulos isósceles ABC com base BC, com Alturas CW e BX respectivamente aos lados AB e AC. Queremos provar que CW e BX são congruentes.

  1. Consideremos os triângulos BWC e CXB, temos que:
  2. BC
  3. BXC≡CWB (altura)
  4. CBW≡BCX (teorema)
  5. Logo, os triângulos BWC≡CXB, pelo caso LAA.
  6. Portanto, temos que CW≡BX.
  7. 5) Em qualquer triangulo isósceles, a mediana relativa à base é também altura e bissetriz.

Hipótese: Triangulo isósceles. Existência da mediana.

Tese: Mediana é altura. Mediana é bissetriz.

Prova: Seja o triangulo ABC isósceles com base, seja AD a mediana relativa a base. Queremos provar que a mediana também é altura da bissetriz.

  • Consideremos os triângulos ADB e ACD, temos que:
  • AB≡AC(triag. Isos)
  • ABD≡ACD(teorema)
  • BD≡DC(mediana)
  • Sendo assim os triângulos ABD≡ACD, portanto temos que CAD≡BAD, sendo assim, provamos que a mediana também é bissetriz.
  • Temos que o suplemento de um ângulo é 180, sendo assim as somas dos ângulos são formados de 90 sendo que 90+90=180, provamos que a mediana tbm é altura e bissetriz.
  • 6) Mostre que em um paralelogramo os ângulos opostos são congruentes.

Prova: Seja ABCD um paralelogramo. Queremos provar que os ângulos opostos B e D, A e C são congruentes. Consideremos AC e BD como diagonais desse paralelogramo o M ponto médio. Tonemos os triângulos ACB e ACD, temos que:

  1. AC≡AC (base)
  2. CB≡AD
  3. C≡C.
  4. Logo, os triângulos ACB e ACD são congruentes pelo caso LAL.
  5. Sabendo que as retas passando por A e B, D e C são distintas e não se interceptam, o mesmo ocorre com as retas A e D, B e C, com isso temos que os ângulos B e D são alternos internos.
  6. Logo, sendo alternos internos, os ângulos B e D são congruentes e análogo aos ângulos A e C.
  7. 7) Mostre que no triangulo retângulo tem dois ângulos externos obtusos.
  8. Hipótese: Triângulo retângulo.
  9. Tese: Tem dois ângulos externos obtusos.

Prova: Consideremos um triangulo retângulo ABC, onde A é o ângulo reto. Queremos provar que os ângulos internos B e C são obtusos.

  • Por teorema sabemos que A+B+C=180, como A=90 temos que 90+B+C=180, onde:
  • B+C=180-90
  • B+C=90
  • B=90-C

Logo B é agudo. Como H+B=180, temos que H>90.

  1. 8) Mostre que os triângulos que tem dois ângulos externos congruentes são isósceles.
  2. Hipótese: triangulo que tem dois ângulos externos congruentes.
  3. Tese: Triângulo isósceles.

Prova: Seja um triângulo ABC dado com ângulos externos internos C e B. Queremos provar que os ângulos internos B e C são congruentes.

  • Por hipótese temos que D≡E.
  • Sabemos que D+C=180 e E+B=180, onde D=E temos que E+C=180→E=180-C.
  • Portanto, E+B=180, temos 180-C+B=180, logo B=C.
  • 9) Mostre que se as diagonais de uma paralelogramo são congruentes, então o paralelogramo é um retângulo.
  • Hipótese: paralelogramo
  • Diagonais congruentes.
  • Tese: paralelogramo é retângulo.
  • Prova: Seja ABCD paralelogramo dado com AC e BD diagonais que por hipótese, são congruentes, ou seja, AC≡BD
  • Queremos mostrar que ABCD é um retângulo, ou seja, que ABCD é quadrilátero com os quatros ângulos retos.
  • Consideremos os triângulos ABC e BDA. Temos que:
  • AB≡BA
  • BC≡AD(paralelogramo)
  • AC≡BD(hip diag cong)

Logo, os triângulos ABC≡BAD, pelo caso LLL. Portanto, CBA≡DAB.

  1. Como DCB≡DAB e CBA≡ADC e CBA≡DAB temos DCB≡DAB≡CBA≡ADC.
  2. Por resultado DCB+DAB+CBA+ADC=360, então DCB=DAB=CBA=ADC=90.
  3. Assim, ABCD é retângulo.
  4. 10) Mostre que todo losango é um paralelogramo.
  5. Hip: Losango
  6. Tese: é um paralelogramo
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Prova: Seja ABCD um losango dado. Assim AB≡BC≡CD≡DA. Queremos provar que ABCD é paralelogramo, ou seja, que AB é paralelo à CD e que AD é paralelo à BC.

  • Consideremos a diagonal AC e tomemos os triângulos ABC e CDA, temos que:
  • AB≡CD (hipótese)
  • BC≡DA
  • AC≡CA

Logo, os triângulos ABC≡CDA caso LLL e, portanto, BAC≡DCA. Como BAC e DCA são ângulos alternos internos se considerarmos as retas que passa por A e B; e C e D, com reta que passa por A e D como transversal, temos por teorema que AB é paralelo a CD.

  1. Analogamente, considerando a diagonal BD, considerando a diagonal BD, concluímos que AD é paralelo à BC.
  2. Logo, ABCD é paralelogramo.
  3. 11) Mostre que, num losango as diagonais são perpendiculares entre si e cada uma e bissetriz do ângulo correspondentes.
  4. Hipótese: Losango
  5. Tese: As diagonais perpendiculares entre si e cada uma e bissetriz do ângulo correspondentes.

Considere um losango ABCD. Assim AB≡BC≡CD≡DA. Queremos mostrar que as diagonais AC e BD são perpendiculares entre si e cada uma e bissetriz do ângulo correspondentes.

  • Consideremos os triângulos ABM e ADM, temos que:
  • AB≡AD
  • BM≡DM
  • AM≡AM

Logo, os triângulos ABM≡ADM pelo caso LLL. Portanto temos AMB≡ADM. Como AMB+AMD=180

Assim,M=M=90. Logo as diagonais são perpendiculares MAD≡MAB,Logo AC e bissetriz do ângulo A.

  1. De forma análoga AC e bissetriz de AC e BD é bissetriz dos ângulos B e D.
  2. 12) Prove que as bissetrizes de um ângulo e de seu suplemento são perpendiculares.
  3. Hipótese: → Bissetrizes de um ângulo.
  4. →Bissetrizes do suplemento.
  5. Tese: São perpendiculares.

Prova: Consideremos o ângulo CBA que tem como bissetriz do segmento BE. O suplemento do ângulo CBA é o ângulo CBD que tem como bissetriz o segmento BF. Queremos provar que as bissetrizes de um ângulo de seus suplementos são perpendiculares a saber: CBE+CBF=90.

Temos que CBA=CBE+EBA=2CBE e CBD=CVF+FBD=2CBF ao somarmos, ficamos com CBA+CBD=2CBE+2CBF.

Por definição temos que o suplemento é a soma de 2 ângulos igual a 180. Assim temos CBA+CBD=180, desenvolvendo, ficamos com CBE+CBF=90, logo as bissetrizes de um ângulos e de seu suplemento são perpendiculares.

  • 13) Prove que em qualquer triângulo isósceles as alturas relativas aos lados congruentes são congruentes.
  • Hipótese: triângulos isósceles
  • Tese: altura aos lados congruentes são congruentes.

Prova: Seja um triãngulo ABC isósceles, com base BC com alturas CW e BX respectivamente relativas aos lados AB e AC. Queremos provar que CW e BX são congruentes.

  1. Consideremos os triângulos BWC e CXB temos que:
  2. BC≡BC
  3. BXC≡CWB(ALTURA)
  4. CBW≡BCX (POR TEOREMA)
  5. Logo, os triângulos BWC≡CXB pelo caso LAA.
  6. Portanto, temos que CW≡BX são alturas relativas aos lados congruentes.
  7. 14) Prove que um triângulo equilátero tem três alturas congruentes.
  8. Hipótese: Triângulo equilátero
  9. Tese: tem as três alturas congruentes.

Prova: Seja um triangulo ABC equilátero com alturas CY e BX e AZ, respectivamente aos lados AB, AC, BC. Queremos provar que as alturas CY, BX e AZ são congruentes.

  • Consideremos os triângulos BXC e CYB temos que:
  • BXC≡CYB(ALTURA)
  • XCB≡YBC(HIPÓTESE)
  • BC≡CB

Logo, temos que os triângulos BXC≡CYB pelo caso LAA’. Portanto BX≡CY.

  1. De modo análogo, podemos concluir que BX≡CY≡AZ.
  2. 15) Prove que um triângulo que possui duas alturas congruentes é isósceles.
  3. Hipótese: Um triângulo que possui duas alturas congruentes.
  4. Tese: Triângulo isósceles.
  5. Prova: Dado um triângulo ABC qualquer com CQ e BP alturas respectivamente relativa aos lados AB e AC são congruentes.
  6. Consideremos os triângulos BPA e CQA temos que:
  7. BP≡CQ (POR HIP)
  8. APB≡AQC (ALTURA)
  9. A≡A
  10. Logo, temos que os triângulos APB≡AQC pelo caso LAA’
  11. Portanto, os lados AB e AC são congruentes, o que significa que o triângulo é isósceles.
  12. 16) Se as diagonais de um quadrilátero são congruentes e se interceptam num ponto que e ponto médio de ambas, e ainda são perpendiculares, então o quadrilátero e quadrado.
  13. Hipótese: diagonais de um quadrilátero são congruentes e se interceptam num ponto que e ponto médio de ambas, e ainda são perpendiculares
  14. Tese:  o quadrilátero e quadrado.

Prova: Seja ABCD um quadril. Qlqr com AC e BD diagonais congruentes M ponto médio de ambas e ainda perpendiculares. Queremos provar que o quadril ABCD e um quadrado, ou seja, AB≡BC≡CD≡DA, lados congruentes e os ângulos A,B,C,D retos,

  • Consideremos o triangulo DMC, temos que:
  • DM≡CM(hip)
  • C≡D≡M(angulos retos)
  • Logo o triângulo e isósceles, pois tem dois lados congruentes e os ângulos da base tbm.

Por teorema tem-se: M+D+C=180→D+C=180-90→D+C=90 pelo fato dos ângulos D e C serem congruentes temos que cada um vale 45. Portanto, os triângulos MCB,MBA e MAD tem ângulos , pois são formados por dois ângulos de 45.

  1. Tomemos os triângulos MDC e MBC temos que MC≡CM (hip); M≡M(pnt médio),C≡C, logo os triângulos MDC e MBC são congruentes pelo caso ALA.
  2. Assim, segue que análago os demais triângulo a saber MBA e  MAD.
  3. Portanto, o quadril ABCD, possui todos os lados congruentes e os ângulos retos AB≡BC≡CD≡DA e A≡B≡C≡D e portanto e um quadrado.
  4. 17) Em todo triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos desse triângulo.
  5. Hipótese: Triângulo retângulo
  6. Tese:   o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos desse triângulo.

Prova: Dado um triângulo ABC, vamos mostrar que a² = b² + c². Assim temos que os triângulos ADB e CAB são semelhantes.

  • De ADB≈CAB, segue que c/a≈m/c, logo a.m  = c²
  • De CDA≈CAB, segue que b/a≈n/b, logo a.n= b²
  • Assim temos que:
  • a(m+n)= b² + c², como a≈ m+n resulta em a² = b² + c².
  • a.m  = c²                          am+an= b² + c²
  • a.n= b²                              a(m+n)=c² +  b²
  • a² = b² + c².   #
  • 18) Reciproca do teorema de Pitágoras: Se um triângulo possui lados medindo a,b,c e se a² = b² + c², então esse triangulo e retângulo e a hipotenusa e o lado medindo a.
  • Hipótese: Triângulo retângulo

Tese: Um triângulo a,b,c e se a² = b² + c².Sua hipotenusa é o lado com medida a.

  1. Prova: Seja um triângulo ABC, com lados que medem a,b,c e são tais que  a² = b² + c².
  2. Consideremos um triângulo retângulo com catetos medindo b e c temos que:
  3. Sua hipotenusa mede , que é igual a A ( por hipótese).

Assim o novo triângulo que é retângulo tem lados medindo a,b,c. Pelo 3 terceiro caso de congruência de triângulos segue que  ele é congruente ao triângulo ABC. Logo ABC é retângulo com hipotenusa medindo a.

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