Como Provar Que É Uma Progressao Aritmetica?

O termo “progressão aritmética” remete a um desenvolvimento gradual de um processo ou uma sucessão. Em matemática, dizemos que esta sucessão é uma sequência. Podemos exemplificar algumas sequências conhecidas:

  • Sequência das eleições para o Executivo a partir de 1994: (1994, 1998, 2002, 2006, 2010, 2014);
  • Sequência das edições da Copa do Mundo a partir de 1990: (1990, 1994, …, 2014, 2018);
  • Sequência dos números naturais: (0, 1, 2, 3, 4, 5, …)

Note que em todos os exemplos acima, as sequências são definidas por uma ordem em seus elementos (também chamados de termos). Definimos o tamanho de uma sequência pelo número de termos que ela possui, o que nos traz a possibilidade de que ela seja infinita ou finita.

Em uma sequência, finita ou infinita, nomeamos os termos em função de sua posição, ou seja, nos exemplos acima temos que o 1º termo de cada um são: 1994, 1990 e 0. O segundo termo: 1998, 1994 e 1.

Assim, determinamos que um termo de uma sequência em função de sua posição pode ser chamado de , onde n representa a sua posição (1ª, 2ª, 3ª, …, nª).

Dizemos também que o primeiro e o último termo de uma sequência finita ( e ) são chamados de extremos de uma sequência. Podemos então representa-la de uma forma genérica:

(a1, a2, a3, a4, … an)

Definição formal de Sequência Numérica

“Uma sequência numérica é uma função f, definida no conjunto dos números naturais, ou inteiros positivos tal que: Como Provar Que É Uma Progressao Aritmetica?. Onde o n é chamado de índice e o n-ésimo elemento da sequência, ou termo geral.”

Termo Geral de uma Progressão Aritmética

Perceba que, nos exemplos acima, todos os termos das sequências, a partir do 2º, são obtidos com a soma de um número fixo. Vejamos a sequência dos números naturais: Cada termo, iniciando com 0 (a1) é obtido somando 1 ao seu anterior. Ou seja:

  • a2 = a1 + 1 = 1
  • a3 = a2 + 1 = (a1+1)+1 = 2
  • a4 = a3 + 1 = (a2+1)+1 = [(a1+1)+1]+1 = 3

No caso da sequência dos números naturais, o número 1 que é somado a cada termo é chamado de razão da progressão (r). Em uma progressão aritmética (P.A.), cada termo de uma sequência é a soma do elemento anterior com sua razão. Se analisarmos os outros exemplos, vemos que elas possuem uma razão igual a 4. Vamos agora reescrever os termos da sequência em função de r (razão).

  1. a2 = a1 + r
  2. a3 = a2 + r = (a1+r)+r  = a1+2r
  3. a4 = a3 + r = (a2+r)+r = [(a1+r)+r]+r = a1+3r

Ora, se continuarmos realizando esta operação para os próximos termos, encontramos então uma fórmula para determinar o termo geral de uma progressão aritmética, que será dado por:

an = a1 + (n-1)r

E supondo um caso em que não sabemos qual é o seu primeiro termo, podemos usar uma forma generalizada do termo geral da P.A. Sejam m e n posições quaisquer dos termos, temos:

  • an = am + (n-m)r
  • Imagine que nosso desejo seja obter o 500º termo da sequência dos números naturais. Como a1 = 0, r = 1 e buscamos o termo a500, pela fórmula teremos:
  • a500 = a1+(500-1)r
  • a500 = 0+(500-1) . 1
  • a500 = 499
  • O termo da 500ª posição dos números naturais é o número 499.

Propriedade importante!

Qualquer termo de uma P.A., a partir do segundo termo (a2), é sempre igual à média aritmética entre os termos anterior e posterior a ele. Então para n ≥ 2, temos que:

  1. Como Provar Que É Uma Progressao Aritmetica?
  2. Exemplo: Seja a sequência em progressão aritmética definida por (-7, -2, 3, 8, 13, 18), note que:
  3. Como Provar Que É Uma Progressao Aritmetica?
  4. Como Provar Que É Uma Progressao Aritmetica?

Soma dos termos de uma progressão aritmética finita

Tomemos a sequência dos números naturais de 1 a 10: (1, 2, 3, 4, …, 8, 9, 10) e representaremos a soma de 10 termos da P.A. por S10. Então escrevemos:

S10 = 1 + 2 + 3 + … + 8 + 9 + 10

O matemático Carl Friedrich Gauss (1777-1855) notou que em toda PA finita existe uma relação em que ao escolhermos um termo qualquer em uma sequência e somarmos ao seu extremo simétrico (ou o seu termo equidistante) obtemos sempre o mesmo valor, veja abaixo:

Como Provar Que É Uma Progressao Aritmetica?

Gauss utilizou este procedimento para obter a fórmula da soma dos termos da PA. No exemplo acima, notem que teremos, no total, n/2 parcelas de valor (n+1), ou seja (5 x 11 = 55). Esta relação vale para a soma dos termos de uma P.A. Gauss constatou então que:

Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + … + an-2 + an-1 + an

Sn = (a1+an) + (a1+an) + … + (a1+an)

  • Como existem n/2 parcelas iguais a (a1+an), então a fórmula é dada por:
  • Como Provar Que É Uma Progressao Aritmetica?
  • Esta fórmula serve para qualquer PA de qualquer razão, pois independente do valor dos seus termos as propriedades das somas de suas parcelas também são válidas.
  • Referências Bibliográficas:

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contextos & Aplicações – Volume 1. São Paulo: Editora Ática, 2011.

ÁVILA, Geraldo. Introdução à Análise Matemática. São Paulo: Blucher, 1999.

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/progressao-aritmetica/

Temos uma progressão aritmética de 20 termos onde o 1o termo é igual a 5. A soma de todos os termos dessa progressão aritmética é 480. O décimo termo é igual a:

Exercícios de progressão aritmética resolvidos e comentados

Rafael Asth

Professor de Matemática

A progressão aritmética (PA) é toda sequência de números na qual a diferença entre cada termo (a partir do segundo) e o termo anterior é uma constante.

Esse é um conteúdo muito cobrado em concursos e vestibulares, podendo inclusive aparecer associado a outros conteúdos de Matemática.

Portanto, aproveite as resoluções dos exercícios para tirar todas as suas dúvidas. Não deixe também de verificar seus conhecimentos nas questões resolvidas de vestibulares.

Exercícios Resolvidos

Exercício 1

O preço de uma máquina nova é R$ 150 000,00. Com o uso, seu valor sofre uma redução de R$ 2 500,00 por ano. Sendo assim, por qual valor o proprietário da máquina poderá vendê-la daqui a 10 anos?

Solução

O problema indica que a cada ano o valor da máquina sofre uma redução de R$ 2500,00. Logo, no primeiro ano de uso, seu valor cairá para R$ 147 500,00. No ano seguinte será R$ 145 000,00, e assim por diante.

Percebemos então, que essa sequência forma uma PA de razão igual a – 2 500. Usando a fórmula do termo geral da PA, podemos encontrar o valor pedido.

  • an = a1 + (n – 1) . r
  • Substituindo os valores, temos:
  • a10 = 150 000 + (10 – 1) . (- 2 500)
    a10 = 150 000 – 22 500
    a10 = 127 500
  • Portanto, ao final de 10 anos o valor da máquina será de R$ 127 500,00.

Exercício 2

O triângulo retângulo representado na figura abaixo, apresenta um perímetro igual a 48 cm e área igual a 96 cm2. Quais são as medidas de x, y e z, se, nesta ordem, formam uma PA?

Como Provar Que É Uma Progressao Aritmetica?

Solução

Conhecendo os valores do perímetro e da área da figura, podemos escrever o seguinte sistema de equações:

  1. Mas, como os lados formam uma PA, então:
  2. x = y – r
    z = y + r
  3. Onde r é a razão da PA. Substituindo o x e o z no sistema, temos:
  • Agora que conhecemos o valor do y e da razão, basta substituir esses valores nas expressões de x e z:
  • x = 16 – 4 = 12
    z = 16 + 4 = 20
  • Os valores dos lados do triângulo retângulo são 12 cm, 16 cm e 20 cm.

Exercício 3

Um ciclista percorre 15 km na primeira hora de uma corrida. Na segunda hora de corrida, seu rendimento cai e ele só consegue percorrer 13 km, e na hora seguinte 11 km. Continuando nesta sequência, quantos quilômetros ele conseguirá percorrer nas 6 horas de prova?

Como Provar Que É Uma Progressao Aritmetica?

  1. Solução
  2. Para calcular o total de quilômetros percorridos em 6 horas, precisamos somar os quilômetros percorridos em cada hora.
  3. A partir dos valores informados, é possível notar que a sequência indicada é uma PA, pois a cada hora ocorre uma redução de 2 quilômetros (13-15 = – 2).
  4. Portanto, podemos usar a fórmula da soma de uma PA para encontrar o valor pedido, ou seja:

Sabemos que o primeiro termo da PA é 15, que sua razão é igual a – 2 e que o número de termos é igual a 6. Assim, para calcular a soma de todos os termos, falta apenas encontrar o valor de a6 que encontramos fazendo:

a6 = a1+(n – 1).r = 15 + (6 – 1) . (- 2) = 15 + (-10) = 5

Agora que conhecemos o valor de a6, basta substituir todos os valores na fórmula da soma para encontrar o seu valor:

Assim, ao final de 6 horas, o ciclista percorreu 60 km.

Questões de Vestibulares

Questão 1

Enem – 2016

Sob a orientação de um mestre de obras, João e Pedro trabalharam na reforma de um edifício. João efetuou reparos na parte hidráulica nos andares 1, 3, 5, 7, e assim sucessivamente, de dois em dois andares. Pedro trabalhou na parte elétrica nos andares 1, 4, 7, 10, e assim sucessivamente, de três em três andares.

Coincidentemente, terminaram seus trabalhos no último andar. Na conclusão da reforma, o mestre de obras informou, em seu relatório, o número de andares do edifício. Sabe-se que, ao longo da execução da obra, em exatamente 20 andares, foram realizados reparos nas partes hidráulica e elétrica por João e Pedro.

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Qual é o número de andares desse edifício?

  • a) 40
    b) 60
    c) 100
    d) 115
  • e) 120

Ver Resposta

Os andares trabalhados por João formam uma PA, cuja a razão é igual a 2. Já os andares que Pedro trabalhou formam uma PA de razão igual a 3.

Contudo, temos a informação que em exatamente 20 andares tanto João quanto Pedro trabalharam juntos. Desta maneira, vamos tentar encontrar alguma relação entre esses andares.

Para isso, vamos analisar as duas progressões dadas. No esquema abaixo, marcamos com círculos vermelhos os andares em que ambos trabalharam.

Como Provar Que É Uma Progressao Aritmetica?

Note que esses andares formam uma nova PA (1, 7, 13, …), cuja razão é igual a 6 e que possui 20 termos, conforme indicado no enunciado do problema.

Sabemos ainda, que o último andar do prédio faz parte dessa PA, pois o problema informa que eles trabalharam juntos também no último andar. Assim, podemos escrever:

an = a1 + (n – 1) . r
a20 = 1 + (20 – 1) . 6 = 1 + 19 . 6 = 1 + 114 =115

Alternativa: d) 115

Uerj – 2014

Admita a realização de um campeonato de futebol no qual as advertências recebidas pelos atletas são representadas apenas por cartões amarelos. Esses cartões são convertidos em multas, de acordo com os seguintes critérios:

  • os dois primeiros cartões recebidos não geram multas;
  • o terceiro cartão gera multa de R$ 500,00;
  • os cartões seguintes geram multas cujos valores são sempre acrescidos de R$ 500,00 em relação ao valor da multa anterior.

Na tabela, indicam-se as multas relacionadas aos cinco primeiros cartões aplicados a um atleta.

Como Provar Que É Uma Progressao Aritmetica?

Considere um atleta que tenha recebido 13 cartões amarelos durante o campeonato. O valor total, em reais, das multas geradas por todos esses cartões equivale a:

a) 30.000
b) 33.000
c) 36.000

d) 39.000

Ver Resposta

Observando a tabela, notamos que a sequência forma uma PA, cujo primeiro termo é igual a 500 e a razão é igual a 500.

Como o jogador recebeu 13 cartões e que só a partir do 3º cartão é que passa a pagar, então, a PA terá 11 termos (13 -2 = 11). Vamos então calcular o valor do último termo dessa PA:

an = a1 + (n – 1) . r
a11 = 500 + (11 – 1) . 500 = 500 + 10 . 500 = 500 + 5000 = 5500

Agora que já sabemos o valor do último termo, podemos encontrar a soma de todos os termos da PA:

Alternativa: b) 33.000

Questão 3

Enem – 2013

As projeções para a produção de arroz no período de 2012 – 2021, em uma determinada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produção anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos primeiros anos desse período, de acordo com essa projeção.

Como Provar Que É Uma Progressao Aritmetica?

A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 2012 a 2021 será de

a) 497,25.
b) 500,85.
c) 502,87.
d) 558,75.

e) 563,25.

Ver Resposta

Com os dados da tabela, identificamos que a sequência forma uma PA, com o primeiro termo igual a 50,25 e a razão igual a 1,25. No período de 2012 a 2021 temos 10 anos, portanto, a PA terá 10 termos.

an = a1 + (n – 1) . r
a10= 50,25 + (10 – 1) . 1,25
a10= 50,25 + 11,25
a10=61,50

  1. Para encontrar a quantidade total de arroz, vamos calcular a soma dessa PA:
  2. Alternativa: d) 558,75.

Unicamp – 2015

Se (a1, a2,…, a13) é uma progressão aritmética (PA) cuja soma dos termos é igual a 78, então a7 é igual a

  • a) 6
    b) 7
    c) 8
  • d) 9

Ver Resposta

  1. As únicas informações que temos é que a PA apresenta 13 termos e que a soma dos termos é igual a 78, ou seja:
  2. Como não conhecemos o valor de a1, de a13, nem o valor da razão, não conseguimos, a princípio, encontrar esses valores.
  3. Entretanto, observamos que o valor que queremos calcular (a7) é o termo central da PA.
  4. Com isso, podemos usar a propriedade que diz que o termo central é igual a média aritmética dos extremos, então:
  5. Substituindo essa relação na fórmula da soma:
  6. Alternativa: a) 6

Questão 5

  • Fuvest – 2012
  • Considere uma progressão aritmética cujos três primeiros termos são dados por a1 = 1 + x, a2 = 6x, a3 = 2×2 + 4, em que x é um número real.
  • a) Determine os possíveis valores de x.
    b) Calcule a soma dos 100 primeiros termos da progressão aritmética correspondente ao menor valor de x encontrado no item a)

Ver Resposta

  1. a) Sendo a2 o termo central da PA, então ele é igual a média aritmética de a1 e a3, ou seja:
  2. Portanto x = 5 ou x = 1/2
  3. b) Para calcular a soma dos 100 primeiros termos da PA, usaremos x = 1/2, pois o problema determina que devemos usar o menor valor de x.
  4. Considerando que a soma dos 100 primeiros termos é encontrada através da fórmula:
  5. Percebemos que antes precisamos calcular os valores de a1 e a100. Calculando esses valores, temos:
  6. Agora que já conhecemos todos os valores que necessitávamos, podemos encontrar o valor da soma:
  7. Assim, a soma dos 100 primeiros termos da PA será igual a 7575.

BB – Cesgranrio

Segundo dados do Instituto Internacional de Pesquisa da Paz de Estocolmo (Simpri), os gastos militares dos Estados Unidos vêm crescendo nos últimos anos, passando de 528,7 bilhões de dólares, em 2006, para 606,4 bilhões de dólares, em 2009. Considerando que este aumento anual venha acontecendo de forma linear, formando uma progressão aritmética, qual será, em bilhões de dólares, o gasto militar dos Estados Unidos em 2010?

  • (A) 612,5
  • (B) 621,3
  • (C) 632,3
  • (D) 658,5
  • (E) 684,1

Ver Resposta

  1. Como o aumento foi de 2006 para 2009, podemos considerar o valor em 2006, que era de 528,7 bilhões como sendo o a1 (primeiro termo da PA) e, a4 igual a 606,4 bilhões em 2009.
  2. Usando a fórmula do termo geral para encontrar a razão.
  3. a4 = a1 + (4-1)r
  4. a4 – a1 = 3r
  5. 606,4 – 528,7 = 3r
  6. 77,7 = 3r
  7. r = 77,7/3
  8. r = 25,9
  9. Sendo assim, o quinto termo dessa PA é a4 + r = 632,3 bilhões.
  10. A resposta é a letra c.

Questão 7

AFA

Em um pentágono, os ângulos internos estão em Progressão Aritmética. Qual o terceiro termo, em graus, dessa progressão?

  • a) 54
  • b) 108
  • c) 162
  • d) 216

Ver Resposta

A soma dos ângulos internos de um pentágono é igual a 540°. Nessa progressão há 5 termos, assim, o enésimo (último) termo é o a5.

  1. Utilizando a fórmula da soma dos termos de uma PA finita:
  2. Nesta PA, temos: a1, a2, a3, a4, a5
  3. Como a3 é o termo do meio, ele é a média aritmética dos seus extremos.
  4. a3 = 108°
  5. alternativa b

Para saber mais, veja também:

Se graduou em Engenharia Mecânica pela Universidade Estadual do Rio de Janeiro e Licenciatura em Matemática pela Universidade Cruzeiro do Sul. É pós-graduado em Ensino da Matemática e Física pela Universidade Cândido Mendes.

Descreva como comprovar que a progressão geométrica, ao ter uma razão menor do que 1, converge

Como Provar Que É Uma Progressao Aritmetica?

Resposta:

Para relacionar a série geométrica com a progressão geométrica, precisamos usar a soma dos termos dentro de um intervalo da progressão geométrica, separar o numerador, deixando um termo por divisão, e pensar no caso extremo de infinito. Assim, um dos termos desaparece e resulta na série geométrica.

  • Explicação:
  • RESPOSTA CORRETA
  • Essa demonstração é bem conhecida e pode ser achada facilmente em materiais de apoio matemático ou em livros de cálculo.

'Eu tenho dado a CRISTO incontáveis razões para não meu amar. Nenhuma delas têm sido forte o suficiente para mudá-lo.'
– Paul Washer
Do que vale ganh

ar esse mundo e perder a Cristo ?
Do que vale viver com quer por 60, 70 anos sendo que tem um além disso : a eternidade com Cristo ?
Nada nessa Terra compensa ser acumulado.
Cristo vive!

Posso ir para mais de uma realidade desejada?

presiso de uma resposta de colecionadores de cubos
quais sao as opnioes de vcs sobre os cubos magicos?
falem um pouco sobre so cubos magicos

Sobre as técnicas de previsão de demanda avalie:
( )
Os dados numéricos obtidos sobre a demanda auxiliam nas previsões qualitativas.
( )
O método de D

elphi é uma técnica muito usada para prever a demanda quando não se tem dados quantitativos concretos e consistentes.

( )
A previsão de demanda pode ser realizada através de técnicas quantitativas causais ou temporais, sendo as causais realizadas por análise de regressão e verificada sua necessidade quando há relações causais entre a variável dependente (demanda) e a variável independente.
LOGO A RESPOSTA É F V V.

RESPOSTA DO GABARITO

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alguem usa meu codigo do Kwai por favor você vai ta me ajudado e tambem ganhara 20 reais e so me chamar​

No decorrer dos anos, as organizações não-governamentais (ONGs) sem fins lucrativos que alcançaram uma posição consolidada, prestígio e reconhecimento

social passaram a criar negócios de impacto social com o objetivo de ajudar a financiar suas ações.

Dessa forma, ao utilizar essa inovação organizacional, essas ONGs conseguem realizar uma dupla função na medida em que atacam não apenas o problema original que motivou primeiramente suas atividades, mas também agregam para suas atividades a resolução de uma outra questão socioambiental com a utilização de estratégias diferenciadas, que normalmente envolvem a oferta de produtos e serviços a populações vulneráveis e de baixa renda.A partir da leitura acima, selecione a alternativa que se alinha corretamente com a relação que ela estabelece entre ONGs e negócios de impacto:
Escolha uma:
a.
Em casos como o que o texto traz, a criação do negócio de impacto confere a ONG mais autonomia financeira, logo, maior liberdade na condução de suas atividades. Além disso, permite a ampliação do número de beneficiados por meio de diferentes estratégias e o acesso a novos potenciais parceiros.
b.
As ONGs sem fins lucrativos criam negócios de impacto social para fazer proveito de uma determinada condição jurídica privilegiada para obter isenções tributárias. Sendo esse o principal foco dessas iniciativas, o propósito das ONGs costuma ser desviado quando um negócio de impacto é criado.
c.
Os negócios de impacto implicam um problema para as ONGs, pois passam a contribuir indiretamente para o aumento de seus custos fixos por meio, por exemplo, de equipamentos de custo mais alto, venda de tecnologias e acesso a crédito produtivo.
d.
Os negócios de impacto social engendrados por ONGs sem fins lucrativos focalizam em fortalecer a pressão ativista sobre a sociedade civil organizada para que ela, por sua vez, passe a cobrar dos governos medidas que mitiguem ou eliminem os problemas socioambientais contemporâneos.
e.
A criação de negócio de impacto social é uma alternativa viável para todas as ONGs sem fins lucrativos que almejam melhorar seus rendimentos e se tornarem mais autônomas, pois são formas organizacionais aplicáveis em todos as localidades por conta de sua estrutura mais mercadológica.

imagine que voce esteja em um veleiro,em alto mar.para preucurar terra firme,você sobe no mastro e ultiliza uma luneta. conforme a embarcação se aprox

ima de uma ilha,qual das imagens abaixo você veria primeiro?explique sua resposta​

Pq temos que aprender mais com a lua ?
EXPLICAÇÃO
Pq ela sempre está sozinha mas nunca para de brilhar

ei quarteto ve se se toca
senta na terra para sentir a minhoca

ei loirinho mas que coisa belaé o Paulo Nunes da favelaque bom seria armar uma barracamas fica dificil olhando essas bruaca

Progressão Aritmética no Enem

Olá, pessoal! As últimas provas de “Matemática e suas Tecnologias” do Exame Nacional do Ensino Médio (Enem) têm cobrado, com frequência, o conhecimento sobre Progressões Aritméticas (PA). Vamos relembrar alguns conceitos importantes para que não restem dúvidas na resolução de questões que envolvam progressão aritmética no Enem.

Primeiramente, podemos classificar uma progressão aritmética em crescente, decrescente ou constante. Uma PA é dita crescente se a sua razão é positiva, decrescente, se a sua razão é negativa; e constante, se a razão é igual a zero.

Mas como identificar a razão de uma PA? Ela pode ser obtida pela diferença entre qualquer termo da progressão e seu antecessor. Normalmente, a razão é chamada de r.

Seja a seguinte progressão aritmética:A = (a1, a2, a3, …, an-1, an), representamos a razão como r = anan-1.

Em geral, para resolver questões sobre PA no Enem, não podemos esquecer duas fórmulas muito importantes:

an = a1 + (n – 1).r

  • Soma dos termos de uma PA finita
  • Sn = (a1 + an).n
          
    2
  • Nessas fórmulas, an é o n-ésimo termo da PA, a1é o primeiro termo, r é a razão e Sn é o valor da soma de todos os termos da progressão.
  • Agora que já nos recordamos de todos os pontos importantes no estudo de progressões aritméticas, vamos praticar as progressões, vendo como apareceram questões sobre PA no Enem nas provas anteriores.
  • Questão com progressão aritmética no Enem de 2010

Uma professora realizou uma atividade com seus alunos utilizando canudos de refrigerante para montar figuras, onde cada lado foi representado por um canudo. A quantidade de canudos (C) de cada figura depende da quantidade de quadrados (Q) que formam cada figura. A estrutura de formação das figuras está representada a seguir:

  1. Como Provar Que É Uma Progressao Aritmetica?
    1ª questão com progressão aritmética – Enem 2010
  2. Que expressão fornece a quantidade de canudos em função da quantidade de quadrados de cada figura?
  3. a) C = 4Q.
  4. b) C = 3Q + 1.
  5. c) C = 4Q – 1
  6. d) C = Q + 3.
  7. e) C = 4Q – 2.
  8. Resolução:

Para formar um quadrado, é necessário utilizar quatro canudos. Para formar dois quadrados, sete canudos e, para formar três quadrados, 10 canudos. Vejamos na tabela a seguir a distribuição dos canudos em relação à quantidade de quadrados:

N° de quadrados (Q) Quantidade de Canudos (C)Não pare agora… Tem mais depois da publicidade 😉
1 4
2 7
3 10

Os números que identificam a quantidade de canudos descrevem uma progressão aritmética de razão 3. Utilizaremos aqui a fórmula do termo geral, que nos ajudará a caminhar para a solução. Vamos identificar o n-ésimo termo da PA (4, 7, 10):

  • an = a1 + (n – 1).r
  • an = 4 + (n – 1).3
  • Mas de acordo com o problema, podemos reescrever essa fórmula. Considerando que Q representa as posições n da progressão e C representa cada termo anda PA, temos:
  • C = 4 + (Q – 1).3
  • C = 4 + 3Q – 3
  • C = 3Q + 1
  • A alternativa correta é a letra b.
  • Questão com progressão aritmética no Enem de 2013

As projeções para a produção de arroz no período de 2012-2021, em uma determinada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produção anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos primeiros anos desse período, de acordo com essa projeção.

Ano Projeto da Produção (t)
2012 50,25
2013 51,50
2014 52,75
2015 54,00
  1. A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 2012 a 2021 será de
  2. a) 497,25.
  3. b) 500,85.
  4. c) 502,87.
  5. d) 558,75.
  6. e) 563,25.
  7. Resolução:

Através do quadro, podemos identificar uma progressão aritmética formada pelos números que compõem a coluna “Projeto da Produção (t)”.

O a1 = 50,25 e o a2 = 51,50, sendo que o a1 refere-se ao ano de 2012, o a2, ao ano de 2013 e assim por diante.

Precisamos identificar o 10° termo, aquele que se refere ao ano de 2021. Vamos procurar a razão (r) dessa PA:

  • r = a2 – a1
  • r = 51,50 – 50,25
  • r = 1,25
  • Agora que conhecemos a razão, vamos identificar o termo a10através da fórmula do termo geral:
  • an = a1 + (n – 1).r
  • a10 = 50,25 + (10 – 1).1,25
  • a10 = 50,25 + 9.1,25
  • a10 = 50,25 + 11,25
  • a10 = 61,50
  • Identificado que o a10é 61,50, podemos utilizar a fórmula da soma dos termos de uma PA finita para saber a produção total do período 2012 – 2021:
  • Sn = (a1 + an).n
         
    2
  • S10 = (50,25 + 61,50).10
             
    2
  • S10 = 111,75.10
            
    2
  • S10 = 1117,5
             
    2
  • S10 = 558,75
  • Portanto, a alternativa correta é a letra d.
  • Bons estudos!

Termo geral da PA – Brasil Escola

  • O termo geral de uma progressão aritmética (PA) é uma fórmula usada para encontrar um termo qualquer de uma PA, indicado por an, quando seu primeiro termo (a1), a razão (r) e o número de termos (n) que essa PA possui são conhecidos.
  • A fórmula do termo geral da progressão aritmética é a seguinte:
  • an = a1 + (n – 1)r  

Essa fórmula pode ser obtida a partir de uma análise dos termos da PA.

Para isso, é preciso conhecer bem alguns elementos e características das progressões aritméticas, os quais serão discutidos brevemente a seguir.

Veja também: Soma dos termos de uma progressão aritmética  

O que é uma PA?

Uma progressão aritmética é uma sequência de números em que cada termo (número) é resultado da soma de seu antecessor com uma constante, chamada razão. Os termos de uma PA são indicados por índices, de modo que cada índice determina a posição de cada elemento da progressão. Veja um exemplo:  

  1. A = (a1, a2, a3, … an)  
  2. Se an – an – 1 = k para todo n, então, a sequência acima é uma progressão aritmética.
  3. Veja também: Progressão Geométrica  

Encontrando a fórmula do termo geral da PA

  • Sabendo que cada termo de uma PA é igual ao seu anterior somado a uma constante, podemos escrever os termos da PA em função do primeiro termo. Na progressão A = (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, … an), por exemplo, teremos:
  • a1 = 1
  • a2 = 1 + 2
  • a3 = 1 + 2·2
  • a4 = 1 + 2·3
  • a5 = 1 + 2·4
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  1. a6 = 1 + 2·5
  2. a7 = 1 + 2·6
  3. an = 1 + 2·(n – 1)
  4. Essa é a fórmula usada para encontrar qualquer termo, ou seja, o termo geral da PA dada como exemplo.

Sabendo que an representa um termo qualquer de uma PA, podemos tentar encontrar o termo geral de uma progressão aritmética cujos termos são desconhecidos. Para isso, considere uma PA que possui n termos. Saiba que a1 é o primeiro, an é o último e a razão é r.

  • Podemos escrever os termos dessa PA em função do primeiro da seguinte maneira:  
  • a1 = a1
  • a2 = a1 + r
  • a3 = a1 + r + r = a1 + 2r
  • a4 = a1 + r + r + r = a1 + 3r
  • an = a1 + r + r + r … + r = a1 + r(n – 1)  
  • Assim, reescrevendo a última igualdade e reorganizando os termos do último membro, teremos:  
  • an = a1 + (n – 1)r  
  • Essa é a fórmula do termo geral da progressão aritmética.

Exemplo

Qual é o centésimo termo da progressão aritmética a seguir:  

(2, 4, 6, 8, …)  

Trata-se da progressão aritmética formada por todos os números pares a partir de 2. Assim, o primeiro termo é 2, a razão é 2 e o número de termos é 100, pois queremos descobrir o centésimo termo. Veja:  

  1. an = a1 + (n – 1)r
  2. a100 = 2 + (100 – 1)2
  3. a100 = 2 + (99)2
  4. a100 = 2 + 198
  5. a100 = 200  
  6. Por Luis Paulo Silva
  7. Graduado em Matemática

Progressão aritmética: veja o que é e como estudar!

Estudar o assunto de Progressão Aritmética é algo muito importante para o vestibular, sabia? Ainda que normalmente essa matéria seja vista lá no ensino fundamental, ela retorna para a pauta do ensino médio e sempre dá as caras em uma ou mais questões na prova de Matemática.

Além do Enem, outros vestibulares frequentemente cobram conceitos desse conteúdo, sejam eles para instituições públicas ou privadas. E os concursos públicos também não ficam de fora! E então, você não quer dar mole e perder uma questão por bobeira, não é mesmo?

Pensando nisso, preparamos um artigo bastante breve e objetivo para ajudá-lo a relembrar esses conceitos ou guiar os seus estudos, caso essa seja a primeira vez que você se depara com esse assunto. Chega de dúvidas! Vamos esclarecer todas elas agora? Então, boa leitura!

O que são progressões aritméticas?

Quer ir bem na prova de Matemática no Enem? Então, você precisa entender bastante sobre a teoria dos conteúdos cobrados nesse exame.

Conhecida como PA, a Progressão Aritmética é um tipo de sequência que aparece, muitas vezes, em números que estudamos.

Nela, a sequência é crescente (ou seja, aumenta) ou decrescente (diminui) de forma constante. Uma progressão é aritmética quando pegamos um número e, ao subtrair dele o que vem antes, o resultado é sempre o mesmo (o que chamamos de razão).

Não entendeu? Então, veja um exemplo prático para que isso fique mais claro:

PA = (3, 6, 9, 12, 15, 18…)

Se pegarmos o número 12 e subtrairmos 9, teremos como resultado 3. O mesmo acontece se fizermos 18 – 15. Faça o teste com os outros elementos do conjunto e tire a teima!

Para essa matéria, temos duas fórmulas importantes. Vamos conhecê-las?

Termo Geral da PA

É a fórmula usada para encontrarmos o valor de um elemento qualquer na progressão. Esse tipo de exercício é muito pedido nas provas. Exemplo: encontre o termo de número 102 na PA a seguir.

  • A fórmula é:
  • An = A1 + (n-1).r
  • Legenda:
  • An: elemento que queremos descobrir
  • A1: primeiro elemento da PA
  • r: razão, ou seja, a soma de um número com o seguinte (ou a subtração de um número pelo anterior)

Soma dos termos da PA

A segunda fórmula que devemos saber é a de Soma dos Termos, utilizada quando queremos descobrir o resultado da soma de alguns elementos da progressão. Exemplo: descubra a soma dos 100 primeiros elementos da PA a seguir.

  1. Nesse caso, a fórmula é:
  2. Sn = n.(A1 + An)/2
  3. Legenda:
  4. Sn: Soma dos termos
  5. A1: primeiro elemento entre os solicitados
  6. An: último elemento entre os solicitados

Qual é a diferença entre Progressões Aritméticas e Geométricas?

Na Matemática há um outro tipo de progressão: a Geométrica. A diferença entre esta e a Progressão Aritmética está na razão.

  • Enquanto na PA a relação entre um termo e seu anterior é a subtração (ou a soma, se pegarmos um elemento e o relacionarmos com o seguinte), na Progressão Geométrica temos uma divisão.
  • Para entender melhor esses conceitos — e de quebra aprender um pouco mais sobre Geometria Plana —, confira esta videoaula imperdível do professor Procópio, do Trilha do Enem!
  • INSERIR VÍDEO: https://youtu.be/ziiieOvHQWI

Quais são os erros cometidos pelos estudantes com as Progressões?

Progressões aritméticas, funções matemáticas, equações… São muitos conteúdos e, por isso, acabamos cometendo alguns erros. Isso é perfeitamente normal.

No entanto, quando sabemos em que estamos errando, fica muito mais fácil consertar, não é? Por isso, confira agora mesmo alguns equívocos muito comumente cometidos pelos estudantes nessa matéria.

Falta de atenção

A falta de atenção é um problema recorrente quando falamos sobre estudar matemática. Isso, é claro, não é sua culpa: muitos estudantes apresentam dificuldades nessa matéria, e esse medo é meio que “inserido” em nossas mentes desde o comecinho da vida escolar.

No entanto, essa disciplina não é nenhum bicho de sete cabeças. Ela é, na verdade, muito interessante! Tente mudar o seu modo de encará-la e você verá que esse desafio pode ser até mesmo divertido. Com isso, é provável que a atenção para os estudos melhore bastante.

Mas, se você precisar de uma forcinha, é só conferir as técnicas de estudo para quem tem TDAH.

Branco na hora de usar as fórmulas

O uso de fórmulas é outro obstáculo enfrentado por aqueles que precisam estudar matérias de Exatas. A memorização é um problema para muitas pessoas, especialmente quando não entendemos muito bem o que está acontecendo.

A dica aqui é: não apenas decore, mas tente entender a lógica por trás de todas as fórmulas. Isso facilitará a memorização. Você também pode utilizar recursos visuais e fazer muitas revisões para refrescar o conteúdo na mente!

Ausência da interpretação na hora de ler os exercícios

Quem disse que para ser bom em Matemática não é preciso, também, mandar bem em Português? Dominar a interpretação de texto o colocará na frente de muitos concorrentes, já que esse é outro erro muito frequente dos alunos nessa matéria.

Saber interpretar o enunciado da questão é essencial para que os problemas sejam devidamente desvendados. Isso facilita muito na hora de sabermos qual fórmula usar, e muito mais!

Como estudar o tema na prática?

Não há um segredo específico para obter sucesso na prova de Matemática e suas Tecnologias no Enem. No entanto, algumas dicas podem nos ajudar a evitar os erros acima e melhorar o aprendizado.

Vamos conhecer algumas delas?

Entenda a teoria por trás da Progressão Aritmética

Compreender os conceitos é indispensável quando falamos de Matemática. O estudo dessa matéria é a soma perfeita entre teoria e prática!

Faça questões práticas

Fazer exercícios de Matemática é essencial para quem aprender. Afinal, precisamos aliar a teoria à prática, como recém mencionamos. Por isso, dedique um tempo apenas para a resolução de questões em seu cronograma!

Trabalhe a sua interpretação de texto

A rotina de estudos para Matemática também deve envolver um tempinho extra para estudar macetes de interpretação de texto. Eles farão toda a diferença na hora de entender o que aquele enunciado complicado quer de você.

Estude as fórmulas

O estudo das fórmulas matemáticas também não pode ficar de fora. Busque entender o que elas significam e não deixe de escrevê-las todas as vezes que for resolver os exercícios. A repetição constante fará com que você as memorize, e a compreensão da teoria evitará brancos na hora da prova!

Use mapas mentais

Você sabe o que é um mapa mental? É uma estratégia muito interessante para quem quer facilitar as revisões e fixar o conteúdo de maneira mais dinâmica. E eles também são superválidos para estudarmos Progressões Aritméticas e Geométricas!

Aperfeiçoe seus estudos!

Chegamos ao fim de nosso bate-papo! Esperamos que as nossas dicas e informações tenham sido úteis. Agora, é com você: é hora de sentar e mandar ver nos estudos de Progressão Aritmética para conquistar a sua tão sonhada vaga na faculdade!

Aliás, temos uma última dica para passar. Conheça os melhores aplicativos de estudo para o vestibular e otimize a sua preparação para as provas!

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