Como Provar Que Duas Retas Sao Paralelas?

Duas retas quaisquer no plano ou não se interceptam, ou são coincidentes, ou se interceptam em um único ponto.

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Quando duas retas se interceptam, dizemos que são concorrentes. Neste caso, suas declividades são, necessariamente, diferentes.Veja exemplo ao lado. Como Provar Que Duas Retas Sao Paralelas?

Determinar o ponto de interseção destas retas equivale a encontrar a solução (única) do sistema simultâneo de equações e . Resolvendo este sistema obtemos o par ( ) que fornece as coordenadas do ponto de interseção das duas retas. Na se��o Praticando voc� poder� explorar um pouco mais essas id�ias.

Duas retas com a mesma declividade são paralelas ou coincidentes. Se duas retas têm a mesma declividade e algum ponto em comum então necessariamente, elas são coincidentes. Caso contr�rio, as retas ser�o paralelas, isto �, retas paralelas s�o aquelas que t�m a mesma declividade e nenhum ponto em comum.

A anima��o ao lado ilustra estas afirma��es. Repare que estas retas ou n�o t�m ponto comum ou coincidem. Como Provar Que Duas Retas Sao Paralelas?
As retas Como Provar Que Duas Retas Sao Paralelas? e Como Provar Que Duas Retas Sao Paralelas? , que têm a mesma declividade , s�o coincidentes (repare que estas retas passam pelo ponto ( )). Como Provar Que Duas Retas Sao Paralelas?

Neste caso, as equa��es Como Provar Que Duas Retas Sao Paralelas? e Como Provar Que Duas Retas Sao Paralelas? s�o ditas equivalentes, pois definem a mesma reta. (Repare que qualquer ponto (x,y) que seja satisfa�a a primeira equa��o tamb�m satisfaz a segunda.)

Retas paralelas têm a mesma declividade e nenhum ponto em comum. Como Provar Que Duas Retas Sao Paralelas?

Duas retas que se interceptam formando um ângulo reto são ditas perpendiculares.

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Usando semelhança de triângulos, é fácil provar que duas retas com declividades

e

são perpendiculares se e somente se
Como Provar Que Duas Retas Sao Paralelas?
.

Suponhamos que as retas sejam perpendiculares como mostra a figura abaixo. Desenhamos um segmento de comprimento unitário à direita do ponto de interseção e traçamos, a partir de sua extremidade direita, um segmento vertical que intercepta as duas retas.

Os dois triângulos retângulos formados dessa maneira são semelhantes e têm lados com os comprimentos indicados. A semelhança implica que Como Provar Que Duas Retas Sao Paralelas? , o que prova a relação que queremos. Este raciocínio pode ser facilmente invertido e portanto se , então as retas são perpendiculares.

Ache a equação da reta que passa pelo ponto (5,2) e é paralela à reta

.

A equação da reta dada pode ser escrita como

. Logo,

. Como retas paralelas têm a mesma declividade, a equação da reta procurada é

ou

.

Mostre que as retas

e

são perpendiculares.

As equações dadas podem ser escritas como

e

. Assim, seus coeficientes angulares são

e

, respectivamente. Como

, as retas são perpendiculares.

Se��o Anterior

Posições relativas de duas retas

Duas retas podem ser representadas em um plano cartesiano de forma paralela ou concorrente. Mas cada uma dessas formas possui características e elementos que ajudam na identificação da forma que estão dispostas no plano, sem ser preciso construir o gráfico.

Retas paralelas Duas retas são paralelas se não tiverem nenhum ponto em comum ou todos em comum e seus coeficientes angulares forem iguais ou não existirem. Como Provar Que Duas Retas Sao Paralelas? As retas u e t são paralelas e distintas. E por serem perpendiculares ao eixo Ox os seus coeficientes angulares não irão existir. Como Provar Que Duas Retas Sao Paralelas? As retas u e t são paralelas e coincidentes, pois possuem todos os pontos em comum. E por serem perpendiculares ao eixo Ox os seus coeficientes angulares não irão existir. Como Provar Que Duas Retas Sao Paralelas? As retas u e t são paralelas e distintas. E os seus coeficientes angulares serão iguais. Como Provar Que Duas Retas Sao Paralelas? As retas u e t são paralelas e coincidentes, pois possuem todos os pontos em comum. E os seus coeficientes angulares serão iguais. Retas concorrentes

Duas retas são concorrentes se possuírem apenas um ponto em comum. E seus coeficientes angulares poderão ser diferentes ou um existir e o outro não.

Como Provar Que Duas Retas Sao Paralelas? As retas u e t são coincidentes e as inclinações das retas são diferentes de 90°. Assim, seus coeficientes angulares serão diferentes. Como Provar Que Duas Retas Sao Paralelas? As retas u e t são concorrentes e a inclinação da reta t é de 90°, sendo assim seu coeficiente angular não irá existir, mas o coeficiente da reta u existe, pois não é perpendicular ao eixo Ox.

Publicado por: Danielle de Miranda

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Retas Concorrentes: o que é, exemplos e exercícios

  • Duas retas distintas que estão em um mesmo plano são concorrentes quando possuem um único ponto em comum.
  • As retas concorrentes formam entre si 4 ângulos e de acordo com as medidas desses ângulos, elas podem ser perpendiculares ou oblíquas.
  • Quando os 4 ângulos formados por elas são iguais a 90º, elas são chamadas de perpendiculares.
  • Na figura abaixo as retas r e s são perpendiculares.

Como Provar Que Duas Retas Sao Paralelas?Retas perpendiculares

Já se os ângulos formados forem diferentes de 90º, elas são chamadas de concorrentes oblíquas. Na figura abaixo representamos as retas u e v oblíquas.

Como Provar Que Duas Retas Sao Paralelas?Retas Oblíquas

Retas Concorrentes, Coincidentes e Paralelas

Duas retas que pertençam a um mesmo plano podem ser concorrentes, coincidentes ou paralelas.

Enquanto as retas concorrentes apresentam um único ponto de intersecção, as retas coincidentes possuem pelo menos dois pontos em comum e as retas paralelas não possuem pontos em comum.

Como Provar Que Duas Retas Sao Paralelas?

Posição Relativa de Duas Retas

Conhecendo as equações de duas retas podemos verificar suas posições relativas. Para isso devemos resolver o sistema formado pelas equações das duas retas. Assim temos:

  • Retas concorrentes: o sistema é possível e determinado (um único ponto em comum).
  • Retas coincidentes: o sistema é possível e determinado (infinitos ponto em comum).
  • Retas paralelas: o sistema é impossível (nenhum ponto em comum).
  1. Exemplo:
  2. Determine a posição relativa entre a reta r: x – 2y – 5 = 0 e a reta s: 2x – 4y – 2 = 0.
  3. Solução:
  4. Para encontrar a posição relativa entre as retas dadas, devemos calcular o sistema de equações formado por suas retas, assim temos:

Ao resolver o sistema por adição encontramos a seguinte equação 0y = – 8, como não existe solução para essa equação, ele é impossível. Desta forma, as duas retas são paralelas.

Ângulos Opostos pelo Vértice

Duas retas concorrentes formam dois pares de ângulos. Estes ângulos possuem um ponto em comum que é chamado de vértice.

Os pares de ângulos que são opostos pelo vértice são congruentes, ou seja, possuem a mesma medida.

Na figura abaixo, representamos os ângulos AÔB e CÔD que são opostos pelo vértice, assim como os ângulos AÔC e BÔD.

Como Provar Que Duas Retas Sao Paralelas?

Ponto de Intersecção entre Duas Retas Concorrentes

O ponto de intersecção entre duas retas concorrentes pertence às equações das duas retas. Desta forma, podemos encontrar as coordenadas desse ponto em comum, resolvendo o sistema formado pelas equações dessas retas.

  • Exemplo:
  • Determine as coordenadas de um ponto P comum as retas r e s, cujas equações são x + 3y + 4 = 0 e 2x – 5y – 2 = 0, respectivamente.
  • Solução:
  • Para encontrar as coordenadas do ponto, devemos resolver o sistema com as equações dadas. Assim temos:

Resolvendo o sistema, temos:

Substituindo esse valor na primeira equação encontramos:

Logo, as coordenadas do ponto de intersecção são , ou seja .

Saiba mais, lendo também:

  • Retas Perpendiculares
  • Retas
  • Cônicas

Exercícios Resolvidos

1) Em um sistema de eixo ortogonais, – 2x + y + 5 = 0 e 2x + 5y – 11 = 0 são, respectivamente, as equações das retas r e s. Determine as coordenadas do ponto de intersecção de r com s.

2) Quais as coordenadas dos vértices de um triângulo, sabendo que as equações das retas-suporte de seus lados são – x + 4y – 3 = 0, – 2x + y + 8 = 0 e 3x + 2y – 5 = 0 ?

3) Determine a posição relativa das retas r: 3x – y -10 = 0 e 2x + 5y – 1 = 0.

Leia também:  Como Os Pombos Correios Sabiam Onde Ir?

RETAS PARALELAS

  • Dando continuidade ao estudo da reta na geometria analítica, vamos falar um pouco sobre as retas paralelas.
  • Não deixe de ver também nossos conteúdos sobre os outros tópicos da geometria analítica.
  • Bom estudo!

Dizemos que duas retas são paralelas quando ocupam o mesmo plano e não possuem nenhum ponto em comum.

A linguagem matemática utilizada para informar que as retas r e s são paralelas é r ⁄ ⁄ s.

Como Provar Que Duas Retas Sao Paralelas?

  1. Na figura é possível observar que as retas são paralelas porque possuem a mesma inclinação, ou seja, possuem os mesmos coeficientes angulares.
  2. Utilizando a linguagem matemática, temos que:
  3. r ⁄ ⁄ s ⇔ α1 = α2

Como Provar Que Duas Retas Sao Paralelas?

Conclusão: A maneira mais rápida de identificarmos duas retas paralelas é comparando o coeficiente angular. Caso sejam iguais, as retas serão paralelas, caso contrário, serão concorrentes.

Obs: Devemos descartar os casos onde os coeficientes angulares são iguais assim como as equações reduzidas das retas, pois neste caso as retas serão coincidentes.

Exemplo 1. Verificar se as retas r: x + 5y + 1 = 0 e s: 2x – y + 4 = 0 são paralelas.

  • Calculando o coeficiente angular de cada uma das retas:
  • Reta r
  • x + 5y + 1 = 0
  • 5y = -x – 1
  • y = -x/5 – 1/5
  • m = -1/5
  • Reta s
  • 2x – y + 4 = 0
  • y = 2x + 4
  • m = 2
  • Conclusão: Os coeficientes angulares das retas r e s são diferentes, ou seja, as retas NÃO são paralelas.

Exemplo 2. Verificar se as retas r: 3x – 2y + 6 = 0 e s: -6x + 4y + 10 = 0 são paralelas.

  1. Calculando o coeficiente angular de cada uma das retas:
  2. Reta r
  3. 3x – 2y + 6 = 0
  4. 2y = 3x + 6
  5. y = (3x + 6) / 2
  6. y = (3/2)x + 3
  7. m = 3/2
  8. Reta s
  9. -6x + 4y + 10 = 0
  10. 4y = 6x – 10
  11. y = (6x – 10) / 4
  12. y = (6/4)x – 10/4
  13. y = (3/2)x – 5/2
  14. m = 3/2
  15. Conclusão: As retas r e s possuem o mesmo coeficiente angular e são paralelas.

Exemplo 3. Determinar a equação geral da reta r que passa pelo ponto P(1, 1) e é paralela à reta s: 3x – y + 5  = 0.

Podemos determinar a equação da reta apenas conhecendo um de seus pontos e a inclinação. A questão nos informou que a reta r passa pelo ponto (1 ,1) e que deve ser paralela a reta s, ou seja, deve possuir a mesma inclinação. Nosso primeiro objetivo será calcular a inclinação (coeficiente angular) da reta s.

  • 3x – y + 5 = 0
  • y = 3x + 5
  • m = 3
  • Como a reta s possui coeficiente angular igual a 3, este também deve ser o coeficiente angular da reta r.
  • Determinando a equação da reta r, sabendo que m = 3 e que (1, 1) ∈ r:
  • y – y0 = m(x – x0)
  • y – 1 = 3.(x – 1)
  • y – 1 = 3x – 3
  • 3x – y – 3 + 1 = 0
  • 3x – y – 2 = 0
  • Daí, a equação da reta que passa pelo ponto (1, 1) e que é paralela à reta 3x – y + 5 = 0 é 3x – y – 2 = 0.

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Como Descobrir Se Duas Retas São Paralelas

  1. 1

    Defina a fórmula do declive. O declive de uma linha é definido como (Y2 – Y1)/(X2 – X1), onde X e Y representam as coordenadas horizontais e verticais de pontos nela existentes. Para calcular essa fórmula, você deve definir dois pontos. O que estiver mais próximo da base da linha será (X1, X1) e o mais alto será (X2, X2).[4]

    • Essa fórmula pode ser chamada também de inclinação da linha. Ela representa a diferença vertical sobre a horizontal, ou sua inclinação.
    • Se uma linha está voltada para cima e para a direita, ela tem uma inclinação positiva.
    • Se a linha estiver voltada para baixo e para a direita, ela tem uma inclinação negativa.
  2. 2

    Identifique as coordenadas X e Y de dois pontos presentes em cada linha. Um ponto em uma linha está dado pelas coordenadas (X, Y), onde X representa o local no eixo horizontal e Y, o local no eixo vertical. Para calcular a inclinação, você deve identificar dois pontos em cada uma das linhas em estudo.[5]

    • Esses pontos podem ser facilmente determinados se a linha estiver desenhada em um papel quadriculado.
    • Para determinar um ponto, desenhe uma linha pontilhada a partir do eixo horizontal até cruzar a linha original. A posição de início no eixo horizontal representa a coordenada X enquanto a Y, será o ponto em que a linha pontilhada se cruza com o eixo vertical.
    • Por exemplo: a linha l tem os pontos (1, 5) e (-2, 4), enquanto a linha r tem os pontos (3, 3) e (1, -4).
  3. 3

    Insira os pontos de cada linha na fórmula do declive. Para calcular a inclinação, basta inserir os números e realizar a subtração e a divisão respectivas. Coloque as coordenadas determinadas nos valores X e Y da fórmula.

    • Para calcular a inclinação da linha l: declive = (5 – (-4))/(1 – (-2))
    • Subtração: declive = 9/3
    • Divisão: declive = 3
    • A inclinação da linha r é: declive = (3 – (-4))/(3 – 1) = 7/2
  4. 4

    Compare os declives de cada linha. Lembre-se de que duas linhas só são paralelas se possuírem declives idênticos. Elas podem parecer paralelas no papel e até estarem bastante próximas — no entanto, se não tiverem declives exatamente iguais, não são paralelas.[6]

    • Nesse exemplo, 3 não é igual a 7/2 e, por isso, essas linhas não são paralelas.
  1. 1

    Determine a equação da reta de uma linha. A equação da reta tem como fórmula básica y = mx + b, onde m representa o declive, b representa o eixo y e x e y são variáveis representando coordenadas na linha — geralmente, elas permanecem como x e y na equação. Nesse formato, você pode determinar facilmente o declive da linha como a variável “m”.[7]

    • Por exemplo, reescreva 4y – 12x = 20 e y = 3x – 1. A equação 4y – 12x = 20 deve ser reescrita algebricamente, enquanto y = 3x – 1 já se encontra na fórmula básica da equação da reta e não precisa ser reordenada.
  2. 2

    Reescreva a fórmula como equação da reta. Às vezes, a fórmula da linha não está ainda ordenada como equação da reta. Basta um pouco de matemática e esforço para rearranjar as variáveis e obter o formato desejado.

    • Por exemplo: reescreva a linha 4y – 12x = 20 como equação da reta.
    • Some 12x a ambos os lados da equação: 4y – 12x + 12x = 20 + 12x.
    • Divida cada lado por 4 para obter o resultado de y: 4y/4 = 12x/4 + 20/4.
    • Equação da reta: y = 3x + 5.
  3. 3

    Compare os declives de cada linha. Lembre-se de que, quando duas linhas são paralelas entre si, ambas terão a mesma inclinação. Com a equação y = mx + b, onde m representa o declive da linha, você poderá identificar e comparar a inclinação de cada uma delas.

    • Em nosso exemplo, a primeira linha apresenta a fórmula y = 3x + 5, de modo que seu declive é igual a 3. A outra linha apresenta a fórmula y = 3x – 1, também com um declive igual a 3. Como ambas as inclinações são idênticas, isso significa que as duas linhas são paralelas.
    • Observe que, se essas equações tivessem o mesmo valor Y, ambas seriam uma única linha em vez de apenas paralelas.[8]
  1. 1

    Use o método com o ponto e o coeficiente angular. Essa forma permite a você escrever a equação da linha, caso conheça seu declive e possua uma coordenada (x, y). Ela pode ser usada se você quer determinar uma segunda linha paralela a outra, já existente e com um declive definido.

    A fórmula é y – y1 = m(x – x1), onde m representa o declive da linha, x1 representa a coordenada x de um ponto da linha e y1 representa a coordenada y do mesmo ponto.

    Assim como no método anterior, x e y são variáveis representando coordenadas presentes na linha — geralmente, elas permanecerão como x e y na equação.[9]

    • Os seguintes passos funcionam nesse exemplo: escreva a equação de uma linha paralela à linha y = -4x + 3 que passa pelo ponto (1, -2).
  2. 2

    Determine o declive da primeira linha. Ao escrever a fórmula de uma nova linha, você deve antes identificar o declive da já existente. É importante que, para a linha original, você use a equação da reta e conheça seu respectivo declive (m).

    • A linha original pode ser representada por y = -4x + 3. Nessa equação, -4 representa a variável m e, desse modo, o declive da linha.
  3. 3

    Identifique um ponto na nova linha. Essa equação funciona apenas se você tiver uma coordenada que passa pela nova linha. Lembre-se de escolher uma que já não esteja presente na linha original. Se as fórmulas finais têm a mesma equação da reta, elas não são paralelas, mas a mesma linha.

    • Em nosso exemplo, usaremos a coordenada (1, -2).
  4. 4

    Escreva a fórmula da nova linha com a equação da reta. Lembre-se de que a fórmula é y – y1 = m(x – x1). Coloque o declive e as coordenadas do ponto para escrever a fórmula da nova linha que será paralela à primeira.

    • Em nosso exemplo, com declive (m) igual a -4 e coordenadas (x, y) iguais a (1, -2): y – (-2) = -4(x – 1)
  5. 5

    Simplifique a equação. Depois de inserir os números, a equação deve ser simplificada para sua forma mais comum. Essa linha da equação, se projetada em um plano cartesiano, estará paralela à equação original.

    • Por exemplo: y – (-2) = -4(x – 1)
    • Dois negativos formam um positivo: y + 2 = -4(x – 1)
    • Distribua o -4 para x e -1: y + 2 = -4x + 4.
    • Subtraia -2 de ambos os lados: y + 2 – 2 = -4x + 4 – 2.
    • Equação simplificada: y = -4x + 2.
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Categorias: Matemática

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