Como Mostrar Que Uma Função É Injetiva?

Olá, pessoal! Tudo bem?

Vocês sabiam que as funções matemáticas podem ser classificadas de diversas maneiras? Pois então, aqui no blog, nós já estudamos que existem funções pares e ímpares, e hoje, chegou o momento de aprendermos a identificar quando uma função pode ser dita como injetora ou não.

E o mais legal desse assunto, é que essa identificação pode ser feita de 3 formas diferentes: através da característica algébrica da função, da representação do seu domínio e do seu contradomínio em forma de diagrama, e também graficamente! Isso permite que vocês escolham, com tranquilidade, a opção que mais lhes agrada para resolver as famosas questões dos vestibulares que envolvem esse conceito!

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Beleza, pessoal? Então já podemos começar! Abaixo, segue o conceito que vai guiar o nosso texto de hoje.

Uma função f: A ⟶ B é injetora ou injetiva, quando elementos diferentes de A são transformados por f em elementos diferentes de B, ou seja x1 ≠ x2 em A ⟹ f (x1) ≠ f (x2) em B.

Calma, eu vou explicar direitinho o que essa bela frase quer nos dizer. Tudo começa, quando entendemos o que significa a seguinte definição de função:

Como Mostrar Que Uma Função É Injetiva?

Quando uma função é dita como f de A em B, significa que A é o seu conjunto de partida ou o seu domínio, e que B é o seu conjunto de chegada ou o seu contradomínio. Assim, para que uma função seja injetora, elementos diferentes de seu domínio devem resultar em elementos também diferentes de seu contradomínio.

Como Mostrar Que Uma Função É Injetiva?

Na imagem acima, nós podemos observar duas funções diferentes, representadas na forma de diagrama.

O primeiro detalhe em que devemos reparar, é que de fato ambas são funções, afinal, cada um dos elementos do domínio A, está ligado a um único elemento do contradomínio B, e essa é a condição primordial para que uma função exista. Agora, será mesmo que essas duas funções são injetoras?

Como Mostrar Que Uma Função É Injetiva?

Na função representada acima, todos os elementos do domínio A são diferentes, e estão ligados a elementos também diferentes do contradomínio B. Isso significa, que quando aplicamos cada elemento do domínio A na função f, as imagens resultantes são diferentes umas das outras. Temos a nossa frente uma função injetora!

Como Mostrar Que Uma Função É Injetiva?

Já nesta segunda função, embora todos os elementos do domínio A sejam diferentes, nem todos eles estão sendo ligados a elementos também diferentes do contradomínio B. Vejam que quando os elementos x2 e x3 são aplicados na função f, a mesma imagem y2 é gerada. Sempre que isso acontecer, a função não poderá ser considerada injetora!

Como Mostrar Que Uma Função É Injetiva?

Pessoal, quando uma função é representada na forma de diagrama, fica fácil de determinar se ela é injetora ou não. Basta que vocês fiquem atentos a quantidade de setas que apontam para cada elemento do contradomínio dessa função. Uma função é injetora, apenas quando uma única seta aponta para cada elemento do seu contradomínio.

E agora, para que tudo o que acabamos de ver fique bem claro, vamos a alguns exemplos numéricos. Vem comigo aqui!

Como Mostrar Que Uma Função É Injetiva?

E aí, o que acharam desta nova função? Se nós lembrarmos da dica que acabamos de ver, logo percebemos que existem duas setas apontando para um mesmo elemento do contradomínio B. Isso significa que dois elementos do domínio A, 2 e 3, quando aplicados na função f, geram exatamente a mesma imagem, de valor 8. Portanto, essa função não é injetora!

Como Mostrar Que Uma Função É Injetiva?

Mas que função mais interessante! Vejam que nesse caso, temos uma única seta chegando em cada elemento do contradomínio B. Isso significa, que cada elemento do domínio A, quando aplicado a função f, gera uma imagem diferente! Portanto, essa função é injetora, ou injetiva.

Como Mostrar Que Uma Função É Injetiva?

E para quem ficou pensativo a respeito daquele elemento que restou no contradomínio B da função que acabamos de analisar, é importante lembrarmos o seguinte: para que uma função f de A em B exista, não devem restar elementos sem ligação no domínio da função. Não há problema algum quanto há elementos sem ligação no contradomínio da função. Para saber tudo sobre esse assunto, vocês podem dar uma olhada no texto Noções de função por meio de conjuntos!

Como Mostrar Que Uma Função É Injetiva?

Tudo entendido, pessoal? E se eu perguntasse a vocês quais das funções acima são injetoras, o que vocês me diriam? Pois é, vejam que nesse caso, nos foram apresentadas algumas funções na sua forma algébrica, e não na forma de diagrama.

Em casos como esse, para averiguarmos se as funções são injetoras ou não, nós devemos substituir a variável x por alguns valores numéricos, e averiguar se os valores de f(x) ou de y resultantes são todos diferentes uns dos outros.

Se isso acontecer, a função é injetora, e pronto!

f (x) = x + 1

Como Mostrar Que Uma Função É Injetiva?

Observem que nós substituímos a variável x dessa função por alguns valores positivos e negativos. Como a lei de correspondência da função é dada por f(x) = x + 1, sempre iremos acrescentar uma unidade a cada valor que assume o lugar de x, de forma que toda e qualquer imagem obtida será sempre diferente das demais. Isso significa que essa função é injetora!

f (x) = x2 + 1

E aí, encontraram alguma diferença dessa função em relação a anterior? Pois então, quando elevamos qualquer número positivo ou negativo a uma potência par, o resultado será sempre positivo! Por isso, valores diferentes de x, como –2 e 2, e –1 e 1, quando aplicados a função f(x), geram exatamente a mesma imagem. Isso nos mostra que essa função não é injetora!

f (x) = 3x

Novamente, quando substituímos a variável x da função por alguns valores positivos e negativos, as imagens obtidas foram sempre diferentes. Segundo a lei de correspondência da função, f(x) = 3x, a imagem de cada elemento do domínio será sempre o triplo do seu valor, de forma que podemos garantir que a função é injetora!

f (x) = 2×4

Ops, lá vem uma potência positiva de novo! Nesse caso, quando valores de mesmo módulo mas de sinais contrários substituem o lugar de x, as imagens obtidas são exatamente iguais, por isso, essa função não é injetora! Mas tomem cuidado para não generalizar: não deixem de realizar a substituição da variável x por alguns valores numéricos para comprovar a existência ou não de uma função injetora, mesmo que vocês já tenham uma ideia prévia do que poderá acontecer.

Beleza, pessoal? Então vamos concluir esse texto falando um pouco sobre o comportamento das funções injetoras graficamente. Uma função é injetora, quando valores diferentes de x resultam em valores também diferentes de y. Mas como é possível identificar essa ideia em gráficos como esses que se encontram aqui abaixo?

Leia também:  Como Restaurar Um Documento Do Word Que Não Foi Salvo?

Nós precisamos garantir que não existam valores repetidos em y, não é mesmo? Assim, se desenharmos retas horizontais paralelas ao eixo x cortando o gráfico em diversos pontos, e alguma dessas retas cortar o gráfico mais do que uma vez, nós saberemos que valores de x diferentes, quando aplicados a função que gerou o gráfico, fazem com que ela resulte no mesmo valor numérico, ou seja, geram a mesma imagem. Aí vocês já sabem que uma função como essa jamais poderá ser injetora.

Para que uma função seja injetora, linhas imaginárias horizontais só podem cruzar o seu gráfico uma única vez.

Olhem só que interessante: uma das linhas imaginárias que traçamos acima cortou o gráfico em 4 pontos diferentes. Isso significa que 4 valores de x diferentes, quando aplicados a função que o gráfico representa, geram exatamente a mesma imagem, ou o mesmo valor em y. Assim, podemos concluir que esse gráfico não caracteriza uma função injetora.

Já nesse segundo caso, nós temos um contexto um pouquinho diferente. Traçamos diversas retas paralelas ao eixo x, mas nenhuma delas cortou o gráfico em mais de ponto. Portanto, esse gráfico com certeza caracteriza uma função injetora!

O gráfico acima representa uma função que nós já vimos por aqui: a f(x) = 3x.

Uma função como essa, é conhecida como função do 1º grau, ou função afim, e sempre será representada através de uma reta.

Em casos como esse, vejam, não importa quantas linhas horizontais traçarmos: todas elas cruzam o gráfico uma única vez. Por isso podemos dizer mais uma vez que a função f(x) = 3x é sim injetora!

Enquanto isso, o último gráfico que apresentamos neste texto corresponde a uma função do 2º grau, também conhecida como função quadrática, a  f(x) = x2 + 1, que também já estudamos por aqui.

O formato do gráfico que vemos acima é conhecido como parábola, e olhem só que interessante: praticamente todas as retas horizontais que traçamos cruzam esse gráfico em dois pontos.

Ou seja, não há como negar que a função f(x) = x2 + 1 não é, nem de longe, injetiva!

Gostaram desse macete? Tenho certeza que aliando todos os conhecimentos que vimos hoje, e treinando bastante, logo logo vai ficar extremamente óbvio para vocês quando uma função é injetora ou não.

Assim, posso encerrar o texto por aqui! Espero que ele tenha sido proveitoso para os seus estudos, e que os motive a se dedicar e estudar bastante a matemática! Em anexo, é claro que fica um vídeo em que complemento todos os conceitos que vimos por aqui. Não custa nada dar uma olhadinha nele, não é?

Um abração! Nos vemos em breve!

Relacionado

Função injetora – Brasil Escola

Uma função é uma regra que relaciona cada elemento de um conjunto A, chamado domínio, a um único elemento de um conjunto B, chamado contradomínio.

Uma função pode ser classificada como injetora, sobrejetora ou ser ambos ao mesmo tempo.

Quando ela é classificada como injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, passa a ser chamada bijetora.

Conceito de função injetora

Uma função injetora, também chamada de função injetiva, é aquela em que cada elemento da imagem está ligado a um único elemento do domínio. O diagrama a seguir ilustra o comportamento da função f(x) = 2x, em que o domínio é o conjunto dos naturais menores que 4, e o contradomínio é o conjunto dos naturais menores que 9.

Como Mostrar Que Uma Função É Injetiva?

Observe que nenhuma das flechas liga um elemento do conjunto B a dois elementos do conjunto A.

Isso é possível nas funções, como é o caso da função f(x) = x2, na qual f(2) = f(– 2) = 4, ou seja, em que há elementos de B relacionados a dois elementos distintos em A.

Logo, a função f(x) = 2x, no domínio e contradomínio definidos, é injetora.

Vale ressaltar que uma função pode ter dois elementos distintos de A ligados a um único elemento de B, mas o contrário não é possível pela definição de função.

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Portanto, o conceito mais fundamental de função injetora é: qualquer elemento que pertence à imagem de uma função injetora está relacionado a um único elemento de seu domínio.

Definição formal

  • Uma função f, definida:
  • f: A → B f(x) = y
  • A função f é injetora se, e somente se, elementos distintos de B estão relacionados a elementos distintos de A. Algebricamente, dados a e b pertencentes ao conjunto A:
  • Como Mostrar Que Uma Função É Injetiva?

Algumas funções podem ser ou não injetoras dependendo do contradomínio definido para elas. A função f(x) = x2, por exemplo, não é injetora quando o seu contradomínio é o conjunto dos números reais, entretanto, se definirmos o contradomínio dessa função como o conjunto dos reais não negativos, ela passa a ser injetora.

Exemplo

A função f(x) = x é injetora independentemente do seu domínio e contradomínio.

Essa função é injetora porque é a função identidade. Qualquer que seja o valor de x, o resultado obtido após a aplicação da função sobre ele será o próprio x.

Portanto, cada elemento da imagem estará ligado a um único elemento do domínio.

  1. Em geral, funções do primeiro grau são injetoras, e as funções do segundo não.
  2. Por Luiz Paulo Moreira Silva
  3. Graduado em Matemática

M_Sala de ajuda: Funções – Injetividade, sobrejetividade e bijetividade

Funções

Injetividade, sobrejetividade e bijetividade

Até o momento, vocês foram apresentados a cinco definições: função, função entre dois conjuntos, função injetora, função sobrejetora e função bijetora. Vamos relacionar a seguir essas definições, algumas com suas respectivas alternativas de enunciado.

  • ✐ Uma função consiste de dois conjuntos não vazios [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] e uma lei, ou regra, [tex] , mapsto[/tex] que permite associar a cada elemento [tex]x in A[/tex] um único elemento [tex]y in B[/tex].
  • Função é uma terna [tex]left(A, , B, , mapsto
    ight) [/tex], na qual [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] são conjuntos não vazios e [tex] , mapsto[/tex] é uma regra que associa a cada elemento [tex]x in A[/tex] um único elemento [tex]y in B[/tex].

✐ Sejam [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] dois conjuntos não vazios. Uma função de [tex]A[/tex] em [tex]B[/tex] é uma regra [tex] , mapsto[/tex] que a cada elemento [tex]x in A[/tex] associa um único elemento [tex]y in B[/tex].

✐ Se [tex]f[/tex] é uma função definida nos conjuntos [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex], é usual utilizar a notação
[tex]qquad f:A
ightarrow B\
qquad quad , , x mapsto y [/tex]
para indicá-la. Neste caso:

➤ o conjunto [tex]A[/tex] é dito o domínio da função [tex]f[/tex];

➤ o conjunto [tex]B[/tex] é dito o contradomínio da função [tex]f[/tex];
➤ o único elemento de [tex]B[/tex] associado a [tex]x[/tex] é denotado por [tex]f(x)[/tex] e é dito a imagem de [tex]x[/tex] pela [tex]f[/tex].

  1. ✐ Uma função [tex] f:A
    ightarrow B [/tex] é dita injetiva (ou injetora) se a seguinte condição for satisfeita:
    [tex]qquad qquad forall , x_1,x_2in A, x_1
    e x_2 Rightarrow f(x_1)
    e f(x_2)[/tex].
  2. ✐ Uma função [tex] f:A
    ightarrow B [/tex] é dita injetiva (ou injetora) se a seguinte condição for satisfeita:
    [tex]qquad qquad forall , x_1,x_2in A, f(x_1)=f(x_2) Rightarrow x_1= x_2 [/tex].
  3. ✐ Uma função [tex] f:A
    ightarrow B [/tex] é dita sobrejetiva (ou sobrejetora) se, para todo [tex]yin B[/tex], existir um [tex]xin A[/tex] tal que [tex]f(x)=y[/tex]; em símbolos:
    [tex]qquad qquad forall , yin B, exists , xin A[/tex] tal que [tex]y=f(x)[/tex].
Leia também:  Como Eliminar Paginas Que Abrem Sozinhas No Firefox?

✐ Seja [tex] f:A
ightarrow B [/tex] uma função.
É usual definirmos como imagem da função [tex]f[/tex] o conjunto formado pelos elementos de [tex]B[/tex] que são imagens de algum elemento de [tex]A[/tex]. Esse conjunto é indicado por [tex]Im(f)[/tex]; assim:
[tex]qquad qquad Im(f)={f(x) ext{ tais que } xin A }[/tex].Como Mostrar Que Uma Função É Injetiva?
A partir dessa definição podemos dizer que uma função [tex] f:A
ightarrow B [/tex] é sobrejetora se [tex]Im(f)=B[/tex].

  • ✐ Uma função [tex] f:A
    ightarrow B [/tex] é dita bijetiva (ou bijetora) se [tex]f[/tex] for simultaneamente injetiva e sobrejetiva.

Para ajudá-los na compreensão e no amadurecimento dos conceitos acima, apresentamos três vídeos.
O segundo e o terceiro vídeos trazem lá no finalzinho uma aplicação surpreendente de bijeção!

  1. Bons estudos!
  2. Funções
  3. Vídeo disponibilizado pelo PROFMAT

  4. Funções

Aula ministrada pelo professor Elon Lages Lima, um dos maiores matemáticos do Brasil.
O professor Elon faleceu recentemente; neste vídeo ele tinha 85 anos!

Números Cardinais e Funções Naturais

Aula ministrada pelo professor Eduardo Wagner, um primor de expositor!
Quem já foi a algum [tex]EH^2[/tex] com certeza vai se lembrar dele…

Vocês se lembram do comentário que fizemos lá na sala sobre fórmulas proposicionais?
Pois é, também não é raro dizer “a função [tex]f(x) = cdots[/tex]”, quando deveríamos dizer “a função [tex]f[/tex] definida por [tex]f(x) = cdots[/tex]”.
Igualmente isso não é muito relevante, se sabemos o que é uma função e que estamos cometendo um abuso, em nome da simplificação da linguagem.

Equipe COM – OBMEP

Matemática Essencial :: Superior >> Álgebra :: Funcoes Reais

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Dentre todas as relações em um certo produto cartesiano, existe um tipo de subconjunto que é muito exigente mas que produz resultados de grande valor na Matemática. Este conceito é denominado função.

Se (A) e (B) são dois conjuntos não vazios, uma aplicação (f) no produto cartesiano (A{ imes}B) é uma relação em (A{ imes}B), que, para cada (xin A), existe (yin B) tal que ((x,y)in f),

e, além disso, se ((x,y_1)in f) e ((x,y_2)in f), então (y_1=y_2).

  1. Uma notação bastante comum para uma aplicação (f) definida no produto cartesiano (A{ imes}B) é (f:A o B).
  2. Nota: O primeiro ítem da definição acima declara que todos os elementos de (A) devem estar relacionados com elementos de (B) e o segundo ítem garante que um elemento de A deve estar associado com apenas um elemento em (B).
  3. Exemplo: Nem toda relação no produto cartesiano (R^2) é uma aplicação em (R^2), como o conjunto (K={(x,y)in R^2: x^2+y^2=1}).

Em textos antigos, a palavra função era usada de uma forma bastante livre no lugar de aplicação, mas na literatura atual a palavra aplicação passou a ter outros nomes como: operador, transformação, funcional,etc e houve a necessidade de restringir a palavra função exclusivamente às situações em que o conjunto (B) é um subconjunto do conjunto (R) dos números reais.

2 Elementos de uma aplicação

Seja (f) uma aplicação em (A{ imes}B), denotada por (f:A o B). O gráfico de (f), às vezes usado como a definição de função, é definido por:

[ ext{graf}(f) = {(x,y)in A{ imes}B: xin A, yin B, y=f(x)}]

O conjunto (A) recebe o nome de domínio de (f), denotado por ( ext{Dom}(f)). O conjunto (B) recebe o nome de contradomínio de (f), denotado por ( ext{Codom}(f)). A imagem de (f), denotada por texto ( ext{Im}(f)) é o conjunto:

  • [ ext{Im}(f)={yin B: ext{existe } xin A ext{ tal que } y=f(x)}]
  • Exemplo: A função quadrática (f:R o [0,infty)) pode ser escrita na forma:
  • [f={(x,y)in R{ imes}[0,infty): xin R, yin R, y=x^2}]
  • ou na forma (f:R o[0,infty)) definida por (f(x)=x^2) onde ( ext{Dom}(f)=R), ( ext{Codom}(f)=Im(f)=[0,infty)).
  • Exercícios:
  1. Sejam (A={1,2,3,4,5}) e (B={0,3,8,15,20}). Verificar se a relação (f) em (A{ imes}B), definida por ((a,b)in f) tal que (b=a^2-1), é uma aplicação.
  2. Verificar se a relação (f:Q o Q) definida por (f(m/n)=mn) é uma aplicação. (Dica: Lembrar que 1/2=3/6 mas,etc)
  3. Para (A={1,2,3}) e (B={a,b,c,d}), seja a relação (g:A{ imes}B o B{ imes}A), definida por (g(x,y)=(y,x)). Mostrar que (g) é uma aplicação.

3 Restrição de uma aplicação

  1. Podemos restringir o domínio de uma função (f:A o B) a um subconjunto (S) de (A) de modo que a função restrita ao conjunto (S), denotada por (f|S:S o B) seja coincidente com a função original sobre o conjunto
  2. (S), isto é, para cada (xin S) tem-se que: (f|S(x)=f(x)).

  3. Exemplo: Podemos definir a restrição da função (f:R o R) definida por (f(x)=x^2) ao conjunto ([0,infty)) de modo que:
  4. [f|_{[0,infty)}: [0,infty) o R, f(x)=x^2]
  5. Graficamente, temos:

4 Extensão de uma aplicação

Podemos estender uma função (f:A o B) a um conjunto (M) contendo o conjunto (A) de modo que a função estendida ao conjunto (M), denotada por (F:M o B) deva ser coincidente com a função original sobre o conjunto (A), isto é, para cada, (xin A) tem-se que (F(x)=f(x)).

Exemplo: Seja a função (f:R-{0} o R) definida por (f(x)= ext{sen}(x)/x). Esta função não tem sentido para (x)=0, mas podemos estender esta função a uma forma bastante natural a todo o conjunto (R) dos números reais, tomando (f(0)=1). Esta forma é comumente utilizada em Análise Matemática.

Dada uma aplicação (f:A o B) que associa a cada elemento de (A) um único elemento de (B), esta definição não obriga que todos os elementos de (A) tenham imagens distintas ou mesmo que todos os elementos de (B) sejam imagens de elementos de (A).

5 Aplicação injetiva

Mesmo que (a
eq b) pode ocorrer que (f(a)=f(b)). Quando elementos distintos de (A) possuem imagens distintas, dizemos que a aplicação é injetora. A definição seguinte estabelece este fato.

Uma aplicação (f:A o B) é injetiva, injetora ou unívoca, se: (a
eq b) implica que (f(a)
eq f(b)). Algumas vezes este tipo de aplicação é denominada 1-1 (lê-se: um-a-um).

Exemplo: A função (f:R o R), definida por (f(x)=x^2) não é injetiva, pois (f(-2)=)f(2), mas a função (f:[0,infty) o[0,infty)) definida por (f(x)=x^2) é injetiva.

Teorema: Seja (f: A o B) uma aplicação. (f) é injetora se, e somente se, (f(a)=f(b)) implica que (a=b).

Demonstração: São equivalentes as proposições lógicas

  1. (a
    eq b) implica que (f(a)
    eq f(b))
  2. (f(a)=f(b)) implica que (a=b).

pois a proposição lógica (p o q) equivale à proposição lógica (q' o p').

6 Aplicação sobrejetora

Pode ocorrer que algum elemento de (B) não esteja na imagem de um elemento de (A). Temos uma outra definição.

Dizemos que a aplicação (f: A o B) é sobrejetiva, sobrejetora ou sobre, se todos os elementos de (B) são imagens de elementos de (A), ou seja, para todo (bin B) existe (ain A) tal que (f(a)=b), o que significa que (f(A)=B).

Exemplo: A função (f: R o R), definida por (f(x)=x^2) não é sobrejetiva, pois não existe (xin R) tal que (f(x)=-2), mas (f:[0,infty) o [0,infty)) definida por (f(x)=x^2) é sobrejetiva.

Teorema: Seja (f:A o B) uma aplicação. (f) é sobrejetora se, e somente se, para todo (bin B), a equação (f(x)=b) tem pelo menos uma solução em (A).

A demonstração é imediata, pois com o teorema, temos duas maneiras para garantir que (f) é sobrejetiva.

7 Aplicação bijetora

Uma aplicação (f:A o B) é bijetiva, bijetora ou uma correspondência biunívoca, se (f) é injetiva e sobrejetiva

Exemplo: A função (f: R o R), definida por (f(x)=x^2) não é bijetiva, mas a função (f:[0,infty) o[0,infty)) definida por (f(x)=x^2) é bijetiva.

Exemplo: A aplicação (f:R-{2} o R-{3}) definida por (f(x)=(3x-1)/(x-2)) é injetora pois, se (f(a)=f(b)) então ((3a-1)/(a-2)=(3b-1)/(b-2)) e daí segue que (a=b). (f) também é sobre pois se (f(x)=b), então ((3x-1)/(x-2)=b), de onde segue que se (b
eq 3) então (x=(2b-1)/(b-3)). Finalmente, segue que (f) é bijetora pois é injetora e sobrejetora

Nota sobre a palavra sobre: Afirmar que (f:A o B) é uma aplicação injetiva sobre o conjunto (B), é o mesmo que afirmar que (f) é bijetiva

Exercícios: Mostrar que

  1. (f:R o R), definida por (f(x))=3(x)+2 é bijetora.
  2. é bijetora a aplicação afim (f:R o R) tal que (f(x)=ax+b, (a
    eq 0)).
  3. (f:R o R) definida por (f(x)=2x^2+4x-1) não é sobrejetora, pois não existe (xin R) tal que (f(x)=-4).
  4. funções reais de segundo grau da forma (f(x)=ax^2+bx+c) não são injetoras e nem mesmo sobrejetoras, dependendo do domínio e do contradomínio destas.

Dicas

  1. Para mostrar que (f(x)=ax^2+bx+c) com (a
    eq 0), não é injetora, basta calcular (f(-b/(2a)+r)) e (f(-b/(2a)-r)).
  2. Para mostrar que (f) não é sobrejetiva, vamos supor que (a > 0) e tentar obter o número real cuja imagem é ((-b^2+4ac)/(4a)-1). Se (a > 0), calcule uma pré-imagem de (y=(-b^2+4ac)/(4a)+1).

8 Composição de aplicações

Sejam as aplicações (f:A o B) e (g:B o C). Definimos a aplicação composta (gof: A o C) entre (g) e (f), nesta ordem, por ((gcirc f)(x)=g(f(x))).

Uma outra forma geométrica para a composta das aplicações (f) e (g), está ilustrada na figura:

Exemplo: Sejam (f:R o R) definida por (f(x)=2x) e (g:R o R) definida por (g(y)=y^2). Definimos a composta (gcirc f: R o R) por:

[(gcirc f)(x) = g(f(x)) = g(2x) = (2x)^2 = 4x^2]

A identidade (I:A o A) é uma das mais importantes aplicações da Matemática, definida para todo (ain A), por (I(a)=a). Quando é importante indicar o conjunto (X) onde a identidade atua, a aplicação identidade (I:X o X) é denotada por (I_X).

Propriedades das aplicações compostas

  1. A composta de aplicações não é comutativa, isto é, em geral: (fcirc g
    eq gcirc f).
  2. A composta de aplicações é associativa, isto é, ((fcirc g)circ h=fcirc (gcirc h)).
  3. A composta de aplicações possui elemento neutro, isto é: (fcirc I=Icirc f=f).
  4. Se (f) e (g) são aplicações injetivas, a composta (gcirc f) é injetiva.
  5. Se (f) e (g) são aplicações sobrejetivas, a composta (gcirc f) é sobrejetiva.
  6. Se (f) e (g) são aplicações bijetivas, a composta (gcirc f) é bijetiva.

10 Aplicações inversas

  • Inversa à esquerda: Sejam as aplicações (f:A o B) e (g:B o A). Diz-se que (g) é uma inversa à esquerda para (f) se (gof=I_A), isto é, para todo (ain A):
  • [(gcirc f)(a)=a]
  • Inversa à direita: Sejam as aplicações (g:B o A) e (f:A o B). Diz-se que (g) é uma inversa à direita para (f) se (fog=I_B), isto é, para todo (bin B):
  • [(fcirc g)(b)=b]
  • Inversa: Uma aplicação (f:A o B) possui inversa (g:B o A) se, (g) é uma inversa à esquerda e também à direita para (f). Isto significa que, para todo (ain A) e para todo (bin B):
  • [(fcirc g)(a)=I_A(a), qquad (gcirc f)(b)=I_B(b)]
  • Notação: A inversa de (f) é denotada por (g=f^{-1}). Demonstra-se que, se a inversa (g=f^{-1}) existe, ela é única e a inversa da inversa de (f) é a própria aplicação (f), isto é:
  • [(f^{-1})^{-1}=f]
  • A imagem (direta) de um conjunto (A subset X) pela aplicação (f:X o Y), é definida como o conjunto:
  • [f(A) = {f(a): ain A }]
  • Propriedades da imagem direta: Sejam (f:X o Y) uma aplicação, (Asubset X) e (Bsubset X). Então:
  1. Se (A
    eq emptyset) então (f(A)
    eq emptyset).
  2. (f({x})={f(x)}) para todo (xin X).
  3. Se (Asubset B), então (f(A) subset f(B)).

Demonstração: Se (yin f(A)), então existe (xin A) tal que (y=f(x)in f(A)). Por hipótese, (Asubset B), então (xin B), logo (y=f(x)in f(B)).

  1. (f(A cup B)=f(A) cup f(B)) Demonstração: (win f(A cup B)), se, e somente se, existe (xin A cup B) tal que (w=f(x)), se, e somente se, (xin A) ou (xin B) tal que (f(x)in f(A)) ou (f(x)in f(B)), se, e somente se, (w=f(x)in f(A) cup f(B)).
  2. (f(A cap B) subset f(A) cap f(B)) Demonstração: Se (zin f(A cap B)), então existe (xin(A cap B)) tal que (f(x)=z). Assim (xin A) e (xin B) e temos que (f(x)in f(A)) e (f(x)in f(B)), logo (zin f(A)) e (zin f(B)), assim (zin f(A)cap f(B)).

Nota: Existem aplicações para as quais (f(A cap B)
eq f(A) cap f(B)). Você saberia definir uma delas?

12 Imagem inversa por uma aplicação

  1. A imagem inversa de um conjunto (W subset Y) pela aplicação (f:X o Y), é definida por
  2. [f^{-1}(W) = { xin X: f(x)in W }]
  3. Propriedades da imagem inversa: Sejam (f:X o Y) uma aplicação, (Usubset Y) e (Vsubset Y).

    Então:

  1. (f^{-1}(emptyset) = emptyset).
  2. Se (U subset V) então (f^{-1}(U) subset f^{-1}(V)).

Demonstração: Se (xin f^{-1}(U)), então (f(x)in U). Como (Usubset V), então (f(x)in V).

Desse modo (xin f^{-1}(V)).

  1. (f^{-1}(U cap V) = f^{-1}(U) cap f^{-1}(V)) Demonstração: (xin f^{-1}(U cap V)), equivale a, (f(x)in(Ucap V)), que equivale a, (f(x)in U) e (f(x)in V), que equivale a, (xin f^{-1}(U)) e (xin f^{-1}(V)), se, e somente se, (xin f^{-1}(U) cap f^{-1}(V)).

  2. (f^{-1}(U cup V) = f^{-1}(U) cup f^{-1}(V)). Demonstração: (xin f^{-1}(U cup V)), se, e somente se, (f(x)in(U cup V)), se, (f(x)in U) ou (f(x)in V), se, e somente se, (xin f^{-1}(U)) ou (xin f^{-1}(V)), se, e somente se, (xin f^{-1}(U) cup f^{-1}(V)).

  3. (f^{-1}(V^c)=[f^{-1}(V)]^c) Demonstração: (xin f^{-1}(V^c)), equivale a (f(x)in V^c), que equivale a (f(x)) não pertence a (V), que equivale a (x) não pertence a (f^{-1}(V)), que é equivalente a (xin [f^{-1}(V)]^c).

  4. Se (U subset V) então (f^{-1}(V-U)=f^{-1}(V)-f^{-1}(U)). Demonstração: Como (V-U=V cap U^c), pelo item 4, segue que

    [f^{-1}(V-U) = f^{-1}(Vcap U^c) = f^{-1}(V)cap f^{-1}(U^c)]

  • Pelo ítem (4), segue que:
  • [f^{-1}(V-U)=f^{-1}(V)cap[f^{-1}(U)]^c=f^{-1}(V)-f^{-1}(U)]
  • Propriedades mistas: Sejam (f: X o Y) uma aplicação. Assim:
  1. Se (A subset X), então (A subset f^{-1}(f(A))).
  2. Se (V subset Y), então (f(f^{-1}(V)) subset V).
  3. Se (f) é injetiva, então para todo (Asubset X), vale (f^{-1}(f(A))=A).
  4. Se (f) é sobrejetiva, então para todo (Vsubset Y), vale (f(f^{-1}(V))=V).
  5. Se (f) é bijetiva, então para todo (Asubset X) e para todo (Vsubset Y), tem-se que: (f^{-1}(f(A))=A) e (f(f^{-1}(V))=V).

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