Como Mostrar Que Uma Função É Impar?

Funções Crescentes e Decrescentes

Suponha que você esteja caminhando sobre o gráfico de uma função da esquerda para a direita. Neste caso, os valores da variável independente
x
estão sempre aumentando mas os valores de y, podem aumentar em determinados trechos e diminuir em outros. Veja esta afirma��o ilustrada no gr�fico abaixo.

Como Mostrar Que Uma Função É Impar?

Se o gráfico de uma função sobe da esquerda para a direita, dizemos que a função é crescente. Se o gráfico da função cai da esquerda para a direita, dizemos que a função é decrescente. Se o gráfico da função é horizontal, em um determinado trecho, a função é constante naquele trecho.

  • Estas observações podem ser traduzidas em linguagem matemática, pelas condições que aparecem nas definições a seguir.
  • Considere

    .

  • 1) Uma função f é crescente num intervalo se
    Como Mostrar Que Uma Função É Impar?
    , para cada ponto

    e

    do intervalo.

  • 2) Uma função f é decrescente num intervalo se
    Como Mostrar Que Uma Função É Impar?
    , para cada ponto

    e

    do intervalo.

  • 3) Uma função f é constante num intervalo se
    Como Mostrar Que Uma Função É Impar?
    , para cada ponto

    e

    do intervalo.

Considere a função
Como Mostrar Que Uma Função É Impar?
. Usando a definição de valor absoluto, vamos entender que fun��o � esta.

  1. Se

    , ambas as expressões

    e

    são negativas e assim

  2. Como Mostrar Que Uma Função É Impar?
    =

  3. Se -2 < x
    < 1, então x
    – 1 é negativo e
    x
    + 2 é positivo. Então
  4. Como Mostrar Que Uma Função É Impar?
    = 3.
  5. Finalmente, se

    , ambas as expressões

    e

    são positivas e assim

  6. Como Mostrar Que Uma Função É Impar?
    =

    .

  7. As observações acima permitem concluir que
  8. Como Mostrar Que Uma Função É Impar?
    =
    Como Mostrar Que Uma Função É Impar?
O gráfico desta função, traçado ao lado, pode nos ajudar a identificar os intervalos onde esta função é crescente e os intervalos onde ela é decrescente.

Analisando este gráfico podemos observar que esta função é crescente para valores de
x
maiores que 1, é decrescente para valores de
x
menores que -2 e é constante no intervalo [-2,1].

Para confirmar, algebricamente, o resultado de nossas observações precisamos provar que:

  • 1) Para
    x

    £ – 2
    , se

    então

    .

  • 2) Para
    x
    Î [-2,1], se

    então

    .

  • 3) Para
    x

    ³
    1, se

    então

    .

  1. Para provar o item (1) basta observar que se

    então temos que

  2. e daí segue que

    , pois para

    ,

    .

A demonstração dos demais itens se faz da mesma maneira. Tente fazê-las!

Agora é com você!
  • Dê exemplos de funções crescentes e de funções decrescentes.

Resposta

Simetrias: Funções Pares e Ímpares

No Capítulo 3 do Módulo 1, vimos que uma curva é simétrica em relação ao eixo
y
se o ponto (-
x
,
y
) pertencer à curva sempre que o ponto (
x
,
y
) pertencer. Vamos aplicar esta definição ao gráfico de uma função.

De acordo com esta definição, para que um gráfico de função seja simétrico em relação ao eixo
y
, é necessário que os pontos (
x
,
y
) e (-
x
,
y
) pertençam ambos ao gráfico da função.

Como o gráfico de uma função é o conjunto de pontos do plano da forma (
x
, f(
x
)), temos que f(
x
) =
y
= f(-
x
), para todo
x
no domínio de f. O eixo
y
é chamado eixo de simetria da função f.

O gráfico da função

é simétrico em relação ao eixo
y
, pois como

=

temos que f(
x
) = f(-
x
), veja esta afirmação ilustrada na figura ao lado.

O gráfico de uma função é simétrico em relação à origem se (-
x,

y
) pertencer ao gráfico desta função sempre que (
x
,
y
) também pertencer. Veja a figura abaixo.

Toda função cujo gráfico é simétrico em relação ao eixo
y
é chamada uma função par; toda função cujo gráfico é simétrico em relação à origem é chamada uma função ímpar. As definições abaixo resumem estas idéias.

Uma função
y
= f(
x
) é dita par se f(-
x
) = f(
x
), para todo
x
no domínio de f. O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo
y
.

Uma função
y
= f(
x
) é dita ímpar se f(-
x
) = – f(
x
), para todo
x
no domínio de f. O gráfico de uma função par é simétrico em relação à origem.

1) Determine se as funções abaixo são pares ou ímpares.

(a)

(b)

(a)

=

. Como, f (
x
) = f(-
x
) esta função é par. Repare que o seu gráfico, mostrado abaixo, é simétrico em relação ao eixo
y
.

(b)

=

= – g(
x
).

Como g(-
x
) =- g(
x
) esta função é ímpar. Repare o seu gráfico mostrado ao lado: ele é simétrico em relação à origem.

O gráfico de uma função nos fornece uma pista para determinar se a função é par ou ímpar. No entanto, eles podem nos levar a conclusões errôneas. Demonstrações algébricas são sempre mais úteis do que informações visuais!

O gráfico da função

é mostrado ao lado. A análise deste gráfico poderia nos conduzir a afirmar que esta função é par. No entanto, uma pequena verificação algébrica mostra que esta afirmação é falsa. De fato, g(-
x
)=

e este valor é diferente de g(x) =

. Logo, esta função não é par.

  • Determine se cada uma das funções abaixo é par ou ímpar ou nenhuma das duas. Use o gr�fico para obter uma pista e comprove a sua conjectura algebricamente.
    (a) Qual o aspecto característico do gráfico de uma função par?
    (b) Qual o aspecto característico do gráfico de uma função ímpar?
    (c) O que se pode afirmar a respeito da soma de funções pares?
    (d) O que se pode afirmar a respeito da soma de funções ímpares?
    (e) O que se pode afirmar a respeito do produto de funções pares?
    (f) O que se pode afirmar a respeito do produto de funções ímpares?
    (g) O que se pode afirma a respeito do produto de uma função par por uma função ímpar?
Interpretando Gr�ficos de Fun��es

Quando um foguete de provas é lançado, o propelente queima durante alguns segundos, acelerando o foguete para cima. Após a queima total do combustível, o foguete ainda continua subindo durante um certo tempo, e então inicia-se o período de queda livre de volta à Terra.

Uma pequena carga explosiva arremessa um paraquedas logo após o foguete começar a descer. O paraquedas diminui a velocidade de queda do foguete o suficiente para evitar que ele se quebre ao aterrissar.

O gráfico abaixo, representa a velocidade ( dada em metros por segundo ) desenvolvida pelo foguete a partir do seu lançamento. Use o gráfico para responder as perguntas.

    (a) Com que velocidade o foguete subia quando o motor parou?
    (b) Durante quantos segundos o motor funcionou?
    (c) Quando o foguete atingiu a sua maior altura? Qual era a sua velocidade nesse momento?
    (d) Quando foi lançado o paraquedas? Com que velocidade o foguete estava caindo nessa ocasião?

        

  1.     Retorna ao in�cio.

FUNÇÃO PAR E FUNÇÃO ÍMPAR

Olá pessoal, tudo bem com vocês?

Quando estudamos a semelhança nas representações gráficas das funções matemáticas, passamos a compreender a paridade destas funções, ou seja, quando elas podem ser classificadas como função par e como função ímpar.

É claro que isso não acontece em todas as funções, mas se alguma questão de matemática lhes descrever uma função como sendo par, ou ímpar, vocês precisam saber o que isso significa, afinal, todo e qualquer acerto em uma prova de vestibular é muito bem-vindo, não é mesmo?

E por falar em vestibular, vocês sabiam que na plataforma do Professor Ferretto tem aulas de aprofundamento que abordam a matemática dos concursos de alto nível? É isso mesmo, lá vocês aprendem desde a matemática mais simples, até a mais complexa, e garantem a melhor preparação para as provas do ENEM e dos vestibulares mais tradicionais do país! Tudo isso através de videoaulas didáticas, resoluções de exercícios com foco na interpretação das questões, simulados semanais e muito mais! Acessem o site e confiram todos os benefícios do curso!

Curiosos para saber quando uma função é par ou ímpar? Então se preparem, porque a partir de hoje vocês vão ficar de olho nas semelhanças que as funções tem. Mas aí vai um aviso importante: não se preocupem caso vocês não conheçam as funções que serão apresentadas. Procurem entender o que as torna pares ou ímpares, e pronto!

1. FUNÇÃO PAR

Como Mostrar Que Uma Função É Impar?

Observando cada um dos gráficos das funções acima, vocês conseguiram identificar alguma semelhança evidente? Não? Então eu vou dar uma dica: imagine agora, que você está posicionado exatamente sobre o eixo y, ou eixo das ordenadas do plano cartesiano, olhando em direção ao sentido positivo do eixo x. O que você estaria enxergando com relação ao gráfico da função?

Como Mostrar Que Uma Função É Impar?

Como Mostrar Que Uma Função É Impar?

Neste momento, suponha que você ainda está posicionado sobre o eixo y, mas agora olhando para o outro lado, na direção negativa do eixo x. O que você observa agora, em relação ao gráfico da função, não é exatamente a mesma coisa que você via quando olhava para o outro lado?  

  • Como Mostrar Que Uma Função É Impar?
  • Como Mostrar Que Uma Função É Impar?
  • Pois bem, essas suposições nos permitem descobrir a característica gráfica de uma função par:
  • Uma função f é par, quando o seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Quando uma função é par, a sua forma gráfica tem o eixo y como eixo de simetria.

É como se esse eixo fosse um espelho, de maneira que o gráfico que está localizado a direita dele, é o mesmo gráfico que está localizado a sua esquerda, o mesmo! Agora, prestem atenção em alguns pontos específicos de cada uma das funções exemplo. Eles vão nos ajudar a entender a característica algébrica da função par.

Como Mostrar Que Uma Função É Impar?

Para quem não está familiarizado com as funções acima, f(x) = x2 é uma função quadrática, enquanto que a função f(x) = | x |, é conhecida como função modular. No gráfico da função quadrática, vemos que dois pontos específicos foram ressaltados, (2, 4) e (–2, 4).

Reparem então, que os valores da coordenada x desses dois pontos, são simétricos ou opostos, isto é, são valores de mesmo módulo, porém de sinais contrários.

Mas o que chama mais atenção é que o valor da coordenada y é exatamente igual nos dois pontos. Isso significa que ao substituir o valor de x nas funções pares, por valores simétricos ou opostos, obtém-se o mesmo valor respectivo em y.

Em outras palavras, dois valores simétricos ou opostos do domínio de uma função par, possuem exatamente a mesma imagem!

Como Mostrar Que Uma Função É Impar?

E não é que isso acontece na função modular também? Claro né, ela é uma função par! Vejam que nos dois pontos que foram ressaltados, a imagem, ou o valor da coordenada y é o mesmo, 1, enquanto os seus respectivos valores de x, ou do domínio da função, são valores simétricos ou opostos, –1 e 1. Isso irá acontecer para todo e qualquer valor de x e seu simétrico, sem exceção, como mostra a tabela abaixo:

Como Mostrar Que Uma Função É Impar?

Assim, como foi dito anteriormente, essa análise nos permite compreender a característica algébrica da função par:

Uma função f é par, se f(x) = f(–x).

Então pessoal, a condição f(x) = f(–x) caracteriza uma função par. Por isso, quando for preciso averiguar se uma função é par através do método algébrico, basta substituir x por –x, e verificar se o resultado é igual ao da função f(x) inicial. Olhem só:

f(x) = x2

f(–x) = (–x)2 = x2

Quando um valor negativo é elevado a um expoente par, o resultado certamente é positivo. Por isso f(–x), nesse caso, também resultou em x2, que é o valor da própria f(x) inicial. Então, f(x) = f(–x), e a condição para que a função seja par foi satisfeita!

Quanto a função modular f(x) = | x |, é fato que existe até uma propriedade que diz que para todo x ∈ ℝ, | x | = | –x |. Por isso, é possível dizer sim que f(x) = f(–x), e fica comprovado algebricamente que essa função é mesmo par!

f(x) = | x | = x

f(–x) =  | –x | = –(–x) = x

Como Mostrar Que Uma Função É Impar?

Pessoal, não se preocupem tanto com os termos algébricos. Também é possível fazer esse teste com valores numéricos, e posso jurar pra vocês que nós já fizemos isso nas tabelas acima. Se vocês substituírem x em uma função, por dois quaisquer valores numéricos simétricos ou opostos, e o resultado for o mesmo, não haverá como negar que tal função é par!

Como Mostrar Que Uma Função É Impar?

2. FUNÇÃO ÍMPAR

Se vocês captaram a ideia anterior, para encontrar a semelhança dos gráficos acima, provavelmente chegaram bem perto do que caracteriza graficamente uma função ímpar. Mas já aviso, de antemão, que não vai adiantar nada se posicionar no eixo y para visualizar esses gráficos. Olhem só o que vocês precisarão fazer para encontrar a simetria nesse caso:

Exatamente! Agora quem se torna um espelho para os gráficos é a origem do plano cartesiano. Isso nos permite concluir que:

 Uma função f é ímpar, quando o seu gráfico é simétrico em relação à origem.

Para quem não nunca viu as funções acima, f(x) = x é uma função do 1º grau, muito conhecida também como função identidade. Já função f(x) = x3, pode ser dita como uma função cúbica.

No gráfico da função identidade, nós vemos que os dois pontos ressaltados foram (5, 5) e (–5, –5). Reparem então, que os valores da coordenada x desses dois pontos também são simétricos ou opostos, isto é, são valores de mesmo módulo, porém de sinais contrários.

Mas o que nos surpreende aqui, é que os valores da coordenada y de cada ponto também são simétricos ou opostos. Isso significa que ao substituir o valor de x nas funções ímpares, por valores simétricos ou opostos, obtém-se valores respectivos em y também simétricos.

Em outras palavras, dois valores simétricos ou opostos do domínio de uma função ímpar, possuem imagens também simétricas ou opostas!

Bom, na função cúbica não poderia ser diferente. Vejam que nos dois pontos que foram ressaltados, tanto os valores do domínio da função, –2 e 2, quanto os respectivos valores da imagem de f(x) = x3, ou seja, –8 e 8, são opostos ou simétricos. Isso irá acontecer para todo e qualquer valor de x e seu simétrico, sem exceção, como mostra a tabela abaixo:

  1. Então, presumo que vocês imaginem qual será a característica algébrica da função ímpar:
  2. Uma função f é ímpar, se f(x) = –f(–x).

Parece que agora ficou complicado comprovar algebricamente que uma função é ímpar, não é mesmo? Pessoal, não muda quase nada, acreditem! Vocês vão continuar substituindo x por –x, só que agora, o resultado deve ser o mesmo em módulo, mas de sinal contrário ao da função f(x) inicial. Olhem só como fica a situação das funções do nosso exemplo:

  • f(x) = x
  • f(–x) = –x
  • f(x) = x3
  • f(–x) = (– x)3 = – x3

Quando um valor negativo é elevado a um expoente ímpar, o resultado permanece negativo. E felizmente para nós, nos dois casos o valor de f(–x) foi exatamente igual ao de f(x), só que com o sinal contrário. Portanto f(x) = –f(–x), e a condição para que a função seja ímpar foi satisfeita!

  1. E para provar que eu não menti lá no início do texto, olhem só essa observação aqui:
  2. Um exemplo de função que não é ímpar e nem par, é esta aqui:
  3. f(x) = 2x –1

Para comprovar algebricamente que f(x) = 2x –1 não é par e nem ímpar, basta substituir x por –x.

A função gerada não poderá ser igual a função f(x) inicial, o que caracterizaria uma função par, e nem mesmo ser igual em módulo mas de sinal contrário a f(x) inicial, porque isso caracterizaria uma função ímpar. Então vamos ver logo o que acontece com essa função:

f(x) = 2x –1

f(–x) = 2∙(–x) –1 = –2x –1

Bom, é fato que –2x –1 ≠ 2x –1, então sem chance dessa função ser par. Da mesma forma que não podemos negar que –(–2x –1) ≠ 2x –1, e aí a condição para que a função seja ímpar também não é satisfeita. Querem mais uma prova? Então deem uma olhada no gráfico da função f(x) = 2x –1:

E aí, tem simetria em relação ao eixo y? E em relação à origem do plano cartesiano, tem? Não tem simetria coisa nenhuma! Desta forma, f(x) = 2x –1 não é, comprovadamente, nem uma função par, e nem uma função ímpar.

Pessoal, no vídeo que deixo em anexo, tem mais um monte de funções para vocês comprovarem, junto comigo, se são pares, ímpares, ou nenhuma das duas coisas.

Portanto, não dá para deixar de ver! E infelizmente por hoje é só, vamos ter que encerrar o texto por aqui.

Mas espero que vocês tenham gostado do assunto, e que a partir de hoje, consigam identificar funções pares e ímpares com mais facilidade!

Um abração e tenham sempre ótimos estudos!

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Função par e função impar

Como Mostrar Que Uma Função É Impar?

Examinando gráficos de funções observamos que, em certo sentido, alguns deles apresentam características especiais. Isso é um tanto vago, entretanto, conhecer algumas dessas características, muitas vezes, pode auxiliar no estudo e compreensão do gráfico de uma função mais complicada.

– Simetria em relação ao eixo vertical

É, por exemplo o caso de:

Como Mostrar Que Uma Função É Impar? O gráfico de f(x)=x2
Como Mostrar Que Uma Função É Impar? O gráfico de f(x)=
Como Mostrar Que Uma Função É Impar? O gráfico de f(x)=
  • Uma função, cujo gráfico apresenta simetria em relação ao eixo vertical, é tal que, para todo ponto do gráfico (x,f(x)), o ponto (-x,f(-x)), com f(x)=f(-x), também está no gráfico.
  • Uma tal função é denominada função par. Formalmente, dizemos que:
  • Definição: Uma função f é denominada par quando f(x)=f(-x), para todo x do Dom f.
  • Analogamente, podemos observar um outro tipo de simetria que muitas vezes ocorre.
  • Simetria em relação à origem. Por exemplo, temos:
Como Mostrar Que Uma Função É Impar? O gráfico de
Como Mostrar Que Uma Função É Impar? O gráfico de y=x3
Como Mostrar Que Uma Função É Impar? O gráfico de y=-x5

Nos gráficos acima observamos a simetria em relação à origem, pois, para todo ponto da forma (x,f(x)), o ponto (-x,f(-x)), com f(x)= -f(-x), também está no gráfico. Uma função com essa característica é denominada função ímpar. Formalmente, temos:

Definição: Uma função f é denominada ímpar quando f(x)=-f(-x), para todo x do Dom f.

Saber que uma função é par ou ímpar simplifica o estudo do seu comportamento pois, para essas classes de funções, conhecendo o que acontece para x>0 pode-se, utilizando os argumentos de simetria, inferir o que acontece em todo domínio da função. Entretanto, existem funções cujos gráficos não possuem essas características. É o caso, por exemplo, de

f(x)=ln x

  1. ou de
  2. f(x)= ex
  3. mas mesmo para essas funções há uma propriedade interessante que pode ser analisada no Exercício 3.

pfvrrrr é urgentee Mostre que: a) A soma de funções pares é uma função par. b) A soma de funções

Como Mostrar Que Uma Função É Impar?

rubensvlaxius

rubensvlaxius

a) seja f(x) e g(x) duas funções quaisquer. Vamos provar que se f(x) e g(x) forem pares existe uma h(x) tal que h(x)=f(x)+g(x) e h(x) é par.

  • De fato:
  • f(x) é par→ f(-x)=f(x) l
  • g(x) é par→g(-x)=g(x) ll
  • Portanto
  • h(x)=f(-x)+g(-x)
  • Por l f(-x)=f(x)
  • por ll g(-x)=g(x)
  • Substituindo temos

h(x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x) →h(x) é par c.q.d

b)

seja f(x) e g(x) duas funções quaisquer. Vamos provar que se f(x) e g(x) forem ímpares existe uma h(x) tal que h(x)=f(x)+g(x) e h(x) é ímpar.

  1. De fato:
  2. f(x) é ímpar→ f(-x)=-f(x) l
  3. g(x) é ímpar→g(-x)=-g(x) ll
  4. Portanto
  5. h(x)=f(-x)+g(-x)
  6. Por l f(-x)=-f(x)
  7. por ll g(-x)=-g(x)
  8. Substituindo temos

h(x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-(f(x)+g(x))→h(x) é ímpar c.q.d

c)

seja f(x) e g(x) duas funções quaisquer. Vamos provar que se f(x) e g(x) forem pares existe uma h(x) tal que h(x)=f(x)•g(x) e h(x) é par.

  • De fato:
  • f(x) é par→ f(-x)=f(x) l
  • g(x) é par→g(-x)=g(x) ll
  • Portanto
  • h(x)=f(-x)•g(-x)
  • Por l f(-x)=f(x)
  • por ll g(-x)=g(x)
  • Substituindo temos

h(x)=f(-x)•g(-x)=f(x)•g(x) →h(x) é par c.q.d

d)

seja f(x) e g(x) duas funções quaisquer. Vamos provar que se f(x) e g(x) forem ímpares existe uma h(x) tal que h(x)=f(x)•g(x) e h(x) é par.

  1. De fato:
  2. f(x) é ímpar→ f(-x)=-f(x) l
  3. g(x) é ímpar→g(-x)=-g(x) ll
  4. Portanto
  5. h(x)=f(-x)•g(-x)
  6. Por l f(-x)=-f(x)
  7. por ll g(-x)=-g(x)
  8. Substituindo temos

h(x)=f(-x)•g(-x)=-f(x)•-g(x)=f(x)•g(x)→h(x) é par c.q.d

e)

Considere duas funções f(x) e g(x) quaisquer. Devemos mostrar que se f(x) é par e g(x) é ímpar então existe h(x)=f(x)+g(x) e h(x) é único.

  • De fato,
  • f(x) é par→f(-x)=f(x) l
  • g(x) é ímpar→g(-x)=-g(x) ll
  • Daí
  • h(x)=f(-x)+g(-x)
  • Por l f(-x)→ f(x)
  • Por ll g(-x)→ -g(x)
  • Substituindo

h(x)=f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=-g(x)+f(x)→ soma única c.q.d

Exercícios::1) Um capital de R$ 200,00 é emprestado a uma taxa de juros de 8% ao mês. Se a dívida for quitanda em 4 meses, quanto será pago de juros?2

) Se um capital de R$ 1.000,00 foi emprestado a uma taxa de juros de 10% ao mês. E se a dívida for quitanda em 6 meses, quanto será pago de juros?​

O retângulo maior é composto por quadrados menores de tamanhos variados. Os três quadrados menores têm áreas iguais a 1 cm². Qual é área do retângulo

maior, em centímetros quadrados? Obs.: Lembre-se que a área de um retângulo pode ser obtida pela multiplicação de suas duas dimensões, isto é, base x altura. ​

Exercícios::1) Um capital de R$ 200,00 é emprestado a uma taxa de juros de 8% ao mês. Se a dívida for quitanda em 4 meses, quanto será pago de juros?​

no esboço de uma casa a medida de DH CG BF AE são iguqis e medem 3 metros calcule a área das paredes formadas pelo​

Determine os cincos primeiros termos das sequências cujos termos Gerais estão expresso a seguir, com neN*
A) a n= – 2-n
B) a n= 7 – 6n
C)an= n2+1
D) a

n= (-1)n ×n
É)an= (-1) x3n-1
F) an=(1/2) n-1
G)an=5/5n
H) an=n2 +n
I)an=n3

ALGUÉM ME AJUDA POR FAVOR EU ESTOU PRECISANDO!!!!

Como Saber se uma Função é Par ou Ímpar

  1. 1

    Crie o gráfico da função. Com papel quadriculado ou uma calculadora apropriada, faça o gráfico da função. Escolha diversos valores numéricos para x{displaystyle x} e coloque-os na função para calcular o valor y{displaystyle y} resultante. Coloque esses pontos no plano cartesiano e, depois de ter projetado vários deles, ligue-os para visualizar o gráfico da função.[5]

    • Ao colocar pontos em um gráfico, observe os valores positivos e os negativos correspondentes para x{displaystyle x}. Por exemplo, se você estiver trabalhando com a função f(x)=2×2+1{displaystyle f(x)=2x^{2}+1}, coloque os seguintes valores:
      • f(1)=2(1)2+1=2+1=3{displaystyle f(1)=2(1)^{2}+1=2+1=3}. Isso resulta no ponto (1,3){displaystyle (1,3)};
      • f(2)=2(2)2+1=2(4)+1=8+1=9{displaystyle f(2)=2(2)^{2}+1=2(4)+1=8+1=9}. Isso resulta no ponto (2,9){displaystyle (2,9)};
      • f(−1)=2(−1)2+1=2+1=3{displaystyle f(-1)=2(-1)^{2}+1=2+1=3} Isso resulta no ponto (−1,3){displaystyle (-1,3)};
      • f(−2)=2(−2)2+1=2(4)+1=8+1=9{displaystyle f(-2)=2(-2)^{2}+1=2(4)+1=8+1=9}. Isso resulta no ponto (−2,9){displaystyle (-2,9)}.
  2. 2

    Teste a simetria ao longo do eixo y. Ao observar uma função, a simetria pode indicar uma imagem espelhada. Se observar que a parte de um gráfico no lado direito (positivo) do eixo y corresponde à parte do gráfico no lado esquerdo (negativo) do eixo y, isso indica que o gráfico é simétrico com relação ao eixo y. Se uma função é simétrica ao longo do eixo y, ela é par.[6]

    • Você pode testar a simetria escolhendo pontos individuais. Se o valor y para qualquer x selecionado for igual ao valor y para -x, a função é par. Os pontos escolhidos acima, para criar o gráfico de f(x)=2×2+1{displaystyle f(x)=2x^{2}+1}, trouxeram os seguintes resultados:
      • (1,3){displaystyle (1,3)} e (−1,3){displaystyle (-1,3)};
      • (2,9){displaystyle (2,9)} e (−2,9){displaystyle (-2,9)}.
    • Os valores combinados para y, em x=1 e x=-1 e em x=2 e x=-2, indicam que se trata de uma função par. Para um teste real, escolher dois pontos não é prova suficiente, mas serve como indício da tendência geral.
  3. 3

    Observe a simetria na origem. Ela está representada pelo ponto central (0,0){displaystyle (0,0)}. A simetria na origem indica que um resultado positivo para determinado valor x corresponderá a um resultado negativo para -x e vice-versa. Funções ímpares exibem esse comportamento.[7]

    • Se escolher mais valores para x e seus valores -x correspondentes, você obterá resultados opostos. Considere a função f(x)=x2+x{displaystyle f(x)=x^{2}+x}. Ela resultaria nos seguintes pontos:
      • f(1)=13+1=1+1=2{displaystyle f(1)=1^{3}+1=1+1=2}. O ponto será (1,2){displaystyle (1,2)}.
      • f(−1)=(−1)3+(−1)=−1−1=−2{displaystyle f(-1)=(-1)^{3}+(-1)=-1-1=-2}. O ponto será (−1,−2){displaystyle (-1,-2)}.
      • f(2)=23+2=8+2=10{displaystyle f(2)=2^{3}+2=8+2=10}. O ponto será (2,10){displaystyle (2,10)}.
      • f(−2)=(−2)3+(−2)=−8−2=−10{displaystyle f(-2)=(-2)^{3}+(-2)=-8-2=-10}. O ponto será (−2,−10){displaystyle (-2,-10)}.
    • Logo, f(x)=-f(-x), e você conclui que a função é ímpar.
  4. 4

    Observe a ausência de simetria. O exemplo final representa uma função sem qualquer simetria de um lado a outro. Ao observar o gráfico, você verá que não se trata de uma imagem espelhada que atravessa o eixo y ou a origem. Considere a função f(x)=x2+2x+1{displaystyle f(x)=x^{2}+2x+1}.[8]

    • Escolha alguns valores para x e -x, como:
      • f(1)=12+2(1)+1=1+2+1=4{displaystyle f(1)=1^{2}+2(1)+1=1+2+1=4}. O ponto a ser inserido será (1,4){displaystyle (1,4)}.
      • f(−1)=(−1)2+2(−1)+(−1)=1−2−1=−2{displaystyle f(-1)=(-1)^{2}+2(-1)+(-1)=1-2-1=-2}. O ponto no gráfico será (−1,−2){displaystyle (-1,-2)}.
      • f(2)=22+2(2)+2=4+4+2=10{displaystyle f(2)=2^{2}+2(2)+2=4+4+2=10}. O ponto no gráfico será (2,10){displaystyle (2,10)}.
      • f(−2)=(−2)2+2(−2)+(−2)=4−4−2=−2{displaystyle f(-2)=(-2)^{2}+2(-2)+(-2)=4-4-2=-2}. O ponto no gráfico será (2,−2){displaystyle (2,-2)}.
    • Como resultado, você terá pontos suficientes para observar que não existe simetria nessa função. Os valores em y que são a contraparte de valores x não são os mesmos e nem opostos. Essa função não é par ou ímpar.
    • Você pode reconhecer que essa função, f(x)=x2+2x+1{displaystyle f(x)=x^{2}+2x+1}, pode ser reescrita como f(x)=(x+1)2{displaystyle f(x)=(x+1)^{2}}. Escrita dessa forma, parece se tratar de uma função par porque há apenas um expoente, que é um número par. No entanto, essa amostra ilustra que você não pode determinar se uma função é par ou ímpar quando escrita em forma parentética. É preciso expandi-la em termos individuais e, a seguir, examinar os expoentes.

Funções periódicas

Definição 3.1.1. Uma função f : ℝ → ℝ
é dita periódica de período T
(também chamada de T-periódica) se existe uma constante positiva
T tal
que

para todo t ∈ ℝ.

Observação 3.1.1. Se uma função
f é periódica de
período T, então,
f também é
periódica de período nT
onde n ∈ ℕ.,
já que

f(t) = f(t + T) = f(t + 2T) = f(t + 3T) = ⋯ = f(t + nT). (3.2)

Exemplo 3.1.1. As funções f(t) = sen (t)
e g(t) = cos(t)
são periódicas de período 2π.

Exemplo 3.1.2. A função constante
f(t) = 1
é periódica e admite qualquer
T > 0
como período.

Definição 3.1.2. Algumas funções periódicas admitem um menor período,
chamado de período fundamental. A frequência fundamental é então
dada por ff = 1 T
e a frequência angular fundamental é dada por wf = 2π T .

Proposição 3.1.1. O período fundamental das funções f(t) = sen (wt)
e g(t) = cos(wt)
é 2π
w .

Demonstração. Para provar isso, supomos que
T é um
período de f(t),
isto é, f(t + T) = f(T) para
todo t. Em
especial, para t = 0,
temos:

sen (wT) = sen (0) = 0. (3.3)

Logo, wT = nπ, onde
n é um natural
positivo. Observe que π
w
não pode ser o período fundamental, pois tomando
t = π 2w,
temos

1 = sen w π
2w≠ sen w π
2w + π w = −1.
(3.4)

Como, por construção do círculo trigonomético, temos:

sen w t + 2π w = sen (wt + 2π) = sen (wt), (3.5)

então 2π
w é o período
fundamental. Observe que w
é a frequência angular fundamental. Um raciocínio análogo vale para
g(t).

Exemplo 3.1.3. Vamos calcular o período fundamental da função
f(t) = sen (w1t) + sen (w2t).

Ambas as parcelas
que compoem f(t) são
periódicas, com períodos T1 = 2π w1n
e T2 = 2π w2m, onde
n e
m são inteiros positivos.
A função f(t) é
periódica se existirem m
e n tais que
T1 = T2, ou seja,

w1n = 2π w2m.

Isso implica em
w2
w1 = m n . Essa identidade só é possível se w1
w2
for racional, pois m
e n
são inteiros. Por exemplo,

  • se w1 = 2 3 e w2 = 3 2, então 3∕2
    2∕3 = 9 4 = m n e os menores inteiros positivos que satisfazem a identidade são m = 9 e n = 4. Logo, o período fundamental da função f(t) = sen 2
    3t + sen 3
    2t é 2π
    2∕3 ⋅ 4 = 12π e a frequência angular fundamental é 2π
    12π = 1 6;
  • se w1 = 3 e w2 = 4
    3, então 4∕3 3 = 2 3 = m n e os menores inteiros positivos que satisfazem a identidade são m = 2 e n = 3. Logo, o período fundamental da função f(t) = sen 3t + sen 4
    3t é 2π
    3 ⋅ 3 = 6π 3 e a frequência angular fundamental é 3 3 ;
  • a função f(t) = sen 2t + sen πt não é periódica, pois não existem inteiros positivos n e m que satisfazem 2
    π = m n .

Teorema 3.1.1. Se f(t) é uma
função integrável T-periódica,
então o valor da integral definida dentro de um período não depende do ponto
inicial, isto é:

não depende do valor x.
Em especial, vale a identidade:

∫ 0T f(t)dt = ∫ −T∕2T∕2f(t)dt. (3.7)

Demonstração. Primeiro, escrevemos
x
T = n + α, isto é, como um número
inteiro n mais uma parte
fracionária α ∈ [0,1) e concluímos
que podemos escrever x = nT + y,
onde y = αT,
isto é 0 ≤ y

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