Como Mostrar Que Uma Funçao E Bijetiva?

A função bijetora, também chamada de bijetiva, é um tipo de função matemática que relaciona elementos de duas funções.

Desse modo, os elementos de uma função A possuem correspondentes em uma função B. Importante notar que elas apresentam o mesmo número de elementos em seus conjuntos.

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A partir desse diagrama, podemos concluir que:

O domínio dessa função é o conjunto {-1, 0, 1, 2}. O contradomínio reúne os elementos: {4, 0, -4, -8}. Já o conjunto imagem da função é definido por: Im(f) = {4, 0, -4, -8}.

A função bijetora recebe esse nome pois ela é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Em outras palavras, uma função f: A → B é bijetora quando f é injetora e sobrejetora.

Na função injetora, todos os elementos da primeira têm como imagem elementos distintos da outra.

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Já na função sobrejetora, todo elemento do contradomínio de uma função é imagem de pelo menos um elemento do domínio de outra.

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Exemplos de Funções Bijetoras

Dada as funções A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 3, 5, 7} e definida pela lei y = 2x – 1, temos:

Como Mostrar Que Uma Funçao E Bijetiva?

Vale notar que a função bijetora sempre admite uma função inversa (f -1). Ou seja, é possível inverter e relacionar os elementos de ambas:

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Outros exemplos de funções bijetoras:

f: R → R tal que f(x) = 2x
f: R → R tal que f(x) = x3
f: R+ → R+ tal que f(x) = x2
f: R* → R* tal que f(x) = 1/x

Gráfico Função Bijetora

Confira abaixo o gráfico de uma função bijetora f(x) = x + 2, onde f: [1; 3] → [3; 5]:

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Leia também sobre o que é função?

Exercícios de Vestibular com Gabarito

1. (Unimontes-MG) Considere as funções f:[0,+∞] ⟶ [0,+ ∞] e g: R⟶R, definidas por f(x) = x2 e g(x) = x2.

É correto afirmar que

a) g é bijetora.
b) f é bijetora.
c) f é injetora e g é sobrejetora.

d) f é sobrejetora e g é injetora.

2. (UFT) Cada um dos gráficos abaixo representa uma função y = f(x) tal que f: Df ⟶ [-3, 4]; Df ⊂ [-3, 4]. Qual deles representa uma função bijetora no seu domínio?

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  • 3. (UFOP- MG/) Seja f:R → R; f(x) = x3
  • Então podemos afirmar que:

a) f é uma função par e crescente.
b) f é uma função par e bijetora.
c) f é uma função ímpar e decrescente.
d) f é uma função ímpar e bijetora.

  1. e) f é uma função par e decrescente
  2. Conheça outros tipos de funções:

Função bijetora: definição, exemplos, gráfico e exercícios resolvidos

Dentre as características de uma função, Podemos classificá-la como sendo sobrejetora ou injetora. Quando a função possui essas duas características ao mesmo tempo, ela é chamada de função bijetora.

Dessa forma, estudaremos um pouco mais sobre a função bijetora, seu gráfico, alguns exemplos e resolveremos também alguns exercícios sobre esse assunto.

O que é uma função bijetora

Antes de entrarmos no assunto da função bijetora, vamos entender um pouco mais sobre o que é um domínio e um contradomínio de uma função.

O domínio de uma função pode ser visto como conjunto de “saída”, ou seja, é o conjunto que define a função. Em contrapartida, contradomínio é o conjunto de “chegada”, ou seja, é o conjunto que contém todas as possíveis imagens da função.

.

Além disso, precisamos relembrar o que são as funções injetoras ou sobrejetoras antes de entendermos a função bijetora. Uma função injetora é aquela que os elementos de um conjunto domínio de uma função qualquer se relacionam com elementos distintos do contradomínio dessa função.

Uma função é considerada sobrejetora quando todo elemento do contradomínio é imagem de pelo menos um elemento do domínio dessa função. Dessa forma, uma função bijetora ocorre quando os elementos do domínio se relacionam com elementos distintos do contradomínio (função injetora) e ao mesmo tempo o contradomínio é imagem de um elemento do domínio (função sobrejetora).

Como Mostrar Que Uma Funçao E Bijetiva?

Na imagem acima é possível ver três exemplos de funções não bijetora, porém, em alguns casos, elas são injetoras ou sobrejetoras. O único caso de função bijetora é o primeiro diagrama, onde se observa que o domínio se relaciona com apenas um elemento do contradomínio e o contradomínio é imagem do domínio.

De uma maneira mais formal, podemos definir uma função bijetora da seguinte forma:

Uma função f: A → B é bijetora (bijetiva) se ela for, simultaneamente, injetora e sobrejetora. Quando isso ocorre dizemos que há uma bijeção ou uma correspondência biunívoca entre os conjuntos domínio A e contradomínio B.

Função Inversa

Quando uma função é bijetora, ela pode admitir uma inversa conhecida como função inversa. Essa função nada mais é do que a “troca” do domínio pelo contradomínio. Por exemplo, se uma função bijetora tem domínio A e contradomínio B, sua inversa terá domínio B e contradomínio A.

As funções inversas são importantes para o entendimento desse assunto, além de terem muitas aplicações na matemática.

Gráfico de uma função bijetora

Assim como funções sobrejetoras e injetoras possuem gráficos, a função bijetora também não seria diferente. Aqui entenderemos um pouco mais sobre o gráfico dessa função.

Como Mostrar Que Uma Funçao E Bijetiva?Se cada uma das retas cortar o gráfico em um só ponto, então a função é bijetora.

Nos gráficos acima, se traçarmos retas horizontais, essas retas tocaram em apenas um ponto, assim como na função injetora. Por outro lado, é possível observar que nos extremos do gráfico não existe um limite, ou seja, ele cresce ou decresce indefinidamente, assim como no gráfico de uma função sobrejetora.

O entendimento desse gráfico é de extrema importância, pois é muito fácil confundir com o gráfico de uma função injetora ou sobrejetora.

Exemplos de função bijetora

Vamos então entender alguns exemplos de função bijetora de tal forma que essas funções são representadas por uma fórmula matemática.

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A função do triplo de um número

O triplo de um número pode ser definida como a seguinte função f(x) = 3x, ou ainda, f: R → R . Essa função é bijetora, pois existe apenas um valor triplo de um número qualquer do domínio de f(x). Além disso, todo número real possui um triplo.

Equação de uma reta simples

Seja uma dada reta definida pela função f: R → R tal que f(x) = x + 1. Essa função é bijetora pois cada número real do domínio R tem sempre um só correspondente no contradomínio R (esse número mais 1)

Existem muitos outros exemplos de função bijetora. Os exemplos nos ajudam a entender um pouco mais sobre a definição dessa função, assim como seu gráfico.

Entenda mais sobre função bijetora

Podemos utilizar os conteúdos em vídeo para explicações visuais de conteúdos. Vamos então aprender um pouco mais sobre função bijetora a partir dos vídeos que selecionamos seguir.

A função bijetora

  • Neste vídeo, é apresentada a definição da função bijetora, além de apresentar alguns exemplos e demonstrar os gráficos de funções bijetoras.

Uma breve explicação

  1. Do mesmo modo, esse vídeo explica sobre a função bijetora, porém de uma maneira mais resumida.
  2. Os vídeos são uma forma de nos aprofundarmos em determinado conteúdo, facilitando assim o nosso entendimento.

Funções bijetoras possuem muitas aplicabilidades na matemática, sendo importantes também para outras áreas como física e a química. Por isso é importante o conhecimento dessa função.

Referências

Matemática: ciência e aplicações – Gelson Iezzi;

Matemática: contexto & aplicações – Luiz Roberto Dante.

Exercícios resolvidos

1.

Defina a função abaixo e classifique-a em injetora, sobrejetora ou bijetora.

Como Mostrar Que Uma Funçao E Bijetiva?

A função é definida por:

F(x) = 4x

Veja: 4 . (-1) = -4 4 . (0) = 0 4 . 1 = 4

4 . 2 = 8

A Função é injetora, pois os elementos distintos do domínio têm imagens distintas. Além disso, a função é sobrejetora pois o contradomínio é igual à imagem. Deste modo, a função é bijetora.

2.

Marque a alternativa que representa a função abaixo:

Como Mostrar Que Uma Funçao E Bijetiva?

  • a) f(x) = 2x + 2; Bijetora
  • b) f(x) = x² + 2; Injetora
  • c) f(x) = 2x²; Sobrejetora
  • d) f(x) = 2x²; Bijetora
  • e) f(x) = x²; Injetora

A função é definida por F(x) = 2x²

Observe: F(1) = 2.(1)² = 2 F(3) = 2.(3)² = 18 F(5) = 2.(5)² = 50

  1. F(7) = 2.(7)² = 98
  2. Funções que como essa são tanto sobrejetoras quanto injetoras, são classificadas como funções bijetoras.
  3. RESPOSTA: d)

Função bijetora

Também chamada de bijeção ou função bijetiva, uma função bijetora é aquela que é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Por ser injetora, elementos distintos do domínio possuem imagens distintas no contradomínio. Dessa maneira, é correto afirmar que uma função bijetora apresenta a propriedade a seguir:

f ↔ (x' ≠ x'' → f(x') ≠ f(x'')), para todo x' e x'' pertencentes ao domínio de f.

Além disso, por serem sobrejetoras, as funções bijetoras devem possuir o contradomínio igual à imagem, isto é, para todo elemento do domínio, deve existir um elemento no contradomínio.

Em outras palavras, todo elemento pertencente ao domínio de uma função bijetora está relacionado com um único elemento de seu contradomínio. Além disso, não sobram elementos no contradomínio que não estão relacionados com elementos do domínio.

Nas funções bijetoras, portanto, não há que se falar em contradomínio. Podemos substituir essa palavra por “imagem” sempre, pois esses conjuntos são iguais.

  • Exemplos de função bijetora
  • 1) y = x3, com x pertencente aos números reais.
  • Essa função é bijetora porque, qualquer que seja o elemento x, não existirão dois elementos distintos na imagem relacionados a ele e, além disso, a imagem é igual ao contradomínio.
  • 2) y = x, com x pertencente aos números reais.

Observe que o domínio dessa função é o conjunto dos números reais. Perceba também que ela relaciona um número a ele mesmo. Por exemplo, se x = 1, y também é igual a 1.

Dessa maneira, elementos diferentes no domínio possuem imagens diferentes no contradomínio. Além disso, o contradomínio é igual à imagem, pois ambos são o conjunto dos números reais.

Sendo assim, essa função é bijetora.

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  1. Exemplos de funções que não são bijetoras
  2. 1) y = x2, com domínio e contradomínio definidos nos números reais.
  3. Observe, em primeiro lugar, que valores distintos do domínio nem sempre possuem imagens distintas. Observe os valores 2 e – 2 nessa função:
  4. f(x) = x2
  5. f(2) = 22
  6. f(2) = 4
  7. f(– 2) = (– 2)2
  8. f(– 2) = 4

Ambos os valores do domínio estão relacionados com o mesmo representante da imagem. Dessa maneira, a função não é injetora.

Além disso, nem todo o contradomínio é utilizado nessa função. Para perceber isso, observe que nenhum valor do domínio, ou seja, atribuído a x, tem como resultado um número negativo.

Sendo assim, a função não é sobrejetora.

2) y = 2x, com domínio e contradomínio definidos nos números naturais.

Essa função relaciona números naturais a números pares. Observe que números naturais distintos possuem resultados pares também distintos, logo, a função é injetora.

Entretanto, perceba que nem todos os elementos do contradomínio estão relacionados a elementos do domínio.

Sendo assim, o contradomínio e a imagem são conjuntos distintos e, por isso, a função não é sobrejetora.

Logo, y = 2x não é bijetora.

Publicado por: Luiz Paulo Moreira Silva

Matemática Essencial :: Superior >> Álgebra :: Funcoes Reais

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Dentre todas as relações em um certo produto cartesiano, existe um tipo de subconjunto que é muito exigente mas que produz resultados de grande valor na Matemática. Este conceito é denominado função.

Se (A) e (B) são dois conjuntos não vazios, uma aplicação (f) no produto cartesiano (A{ imes}B) é uma relação em (A{ imes}B), que, para cada (xin A), existe (yin B) tal que ((x,y)in f),

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e, além disso, se ((x,y_1)in f) e ((x,y_2)in f), então (y_1=y_2).

  1. Uma notação bastante comum para uma aplicação (f) definida no produto cartesiano (A{ imes}B) é (f:A o B).
  2. Nota: O primeiro ítem da definição acima declara que todos os elementos de (A) devem estar relacionados com elementos de (B) e o segundo ítem garante que um elemento de A deve estar associado com apenas um elemento em (B).
  3. Exemplo: Nem toda relação no produto cartesiano (R^2) é uma aplicação em (R^2), como o conjunto (K={(x,y)in R^2: x^2+y^2=1}).

Em textos antigos, a palavra função era usada de uma forma bastante livre no lugar de aplicação, mas na literatura atual a palavra aplicação passou a ter outros nomes como: operador, transformação, funcional,etc e houve a necessidade de restringir a palavra função exclusivamente às situações em que o conjunto (B) é um subconjunto do conjunto (R) dos números reais.

2 Elementos de uma aplicação

Seja (f) uma aplicação em (A{ imes}B), denotada por (f:A o B). O gráfico de (f), às vezes usado como a definição de função, é definido por:

[ ext{graf}(f) = {(x,y)in A{ imes}B: xin A, yin B, y=f(x)}]

O conjunto (A) recebe o nome de domínio de (f), denotado por ( ext{Dom}(f)). O conjunto (B) recebe o nome de contradomínio de (f), denotado por ( ext{Codom}(f)). A imagem de (f), denotada por texto ( ext{Im}(f)) é o conjunto:

  • [ ext{Im}(f)={yin B: ext{existe } xin A ext{ tal que } y=f(x)}]
  • Exemplo: A função quadrática (f:R o [0,infty)) pode ser escrita na forma:
  • [f={(x,y)in R{ imes}[0,infty): xin R, yin R, y=x^2}]
  • ou na forma (f:R o[0,infty)) definida por (f(x)=x^2) onde ( ext{Dom}(f)=R), ( ext{Codom}(f)=Im(f)=[0,infty)).
  • Exercícios:
  1. Sejam (A={1,2,3,4,5}) e (B={0,3,8,15,20}). Verificar se a relação (f) em (A{ imes}B), definida por ((a,b)in f) tal que (b=a^2-1), é uma aplicação.
  2. Verificar se a relação (f:Q o Q) definida por (f(m/n)=mn) é uma aplicação. (Dica: Lembrar que 1/2=3/6 mas,etc)
  3. Para (A={1,2,3}) e (B={a,b,c,d}), seja a relação (g:A{ imes}B o B{ imes}A), definida por (g(x,y)=(y,x)). Mostrar que (g) é uma aplicação.

3 Restrição de uma aplicação

  1. Podemos restringir o domínio de uma função (f:A o B) a um subconjunto (S) de (A) de modo que a função restrita ao conjunto (S), denotada por (f|S:S o B) seja coincidente com a função original sobre o conjunto
  2. (S), isto é, para cada (xin S) tem-se que: (f|S(x)=f(x)).

  3. Exemplo: Podemos definir a restrição da função (f:R o R) definida por (f(x)=x^2) ao conjunto ([0,infty)) de modo que:
  4. [f|_{[0,infty)}: [0,infty) o R, f(x)=x^2]
  5. Graficamente, temos:

4 Extensão de uma aplicação

Podemos estender uma função (f:A o B) a um conjunto (M) contendo o conjunto (A) de modo que a função estendida ao conjunto (M), denotada por (F:M o B) deva ser coincidente com a função original sobre o conjunto (A), isto é, para cada, (xin A) tem-se que (F(x)=f(x)).

Exemplo: Seja a função (f:R-{0} o R) definida por (f(x)= ext{sen}(x)/x). Esta função não tem sentido para (x)=0, mas podemos estender esta função a uma forma bastante natural a todo o conjunto (R) dos números reais, tomando (f(0)=1). Esta forma é comumente utilizada em Análise Matemática.

Dada uma aplicação (f:A o B) que associa a cada elemento de (A) um único elemento de (B), esta definição não obriga que todos os elementos de (A) tenham imagens distintas ou mesmo que todos os elementos de (B) sejam imagens de elementos de (A).

5 Aplicação injetiva

Mesmo que (a
eq b) pode ocorrer que (f(a)=f(b)). Quando elementos distintos de (A) possuem imagens distintas, dizemos que a aplicação é injetora. A definição seguinte estabelece este fato.

Uma aplicação (f:A o B) é injetiva, injetora ou unívoca, se: (a
eq b) implica que (f(a)
eq f(b)). Algumas vezes este tipo de aplicação é denominada 1-1 (lê-se: um-a-um).

Exemplo: A função (f:R o R), definida por (f(x)=x^2) não é injetiva, pois (f(-2)=)f(2), mas a função (f:[0,infty) o[0,infty)) definida por (f(x)=x^2) é injetiva.

Teorema: Seja (f: A o B) uma aplicação. (f) é injetora se, e somente se, (f(a)=f(b)) implica que (a=b).

Demonstração: São equivalentes as proposições lógicas

  1. (a
    eq b) implica que (f(a)
    eq f(b))
  2. (f(a)=f(b)) implica que (a=b).

pois a proposição lógica (p o q) equivale à proposição lógica (q' o p').

6 Aplicação sobrejetora

Pode ocorrer que algum elemento de (B) não esteja na imagem de um elemento de (A). Temos uma outra definição.

Dizemos que a aplicação (f: A o B) é sobrejetiva, sobrejetora ou sobre, se todos os elementos de (B) são imagens de elementos de (A), ou seja, para todo (bin B) existe (ain A) tal que (f(a)=b), o que significa que (f(A)=B).

Exemplo: A função (f: R o R), definida por (f(x)=x^2) não é sobrejetiva, pois não existe (xin R) tal que (f(x)=-2), mas (f:[0,infty) o [0,infty)) definida por (f(x)=x^2) é sobrejetiva.

Teorema: Seja (f:A o B) uma aplicação. (f) é sobrejetora se, e somente se, para todo (bin B), a equação (f(x)=b) tem pelo menos uma solução em (A).

A demonstração é imediata, pois com o teorema, temos duas maneiras para garantir que (f) é sobrejetiva.

7 Aplicação bijetora

Uma aplicação (f:A o B) é bijetiva, bijetora ou uma correspondência biunívoca, se (f) é injetiva e sobrejetiva

Exemplo: A função (f: R o R), definida por (f(x)=x^2) não é bijetiva, mas a função (f:[0,infty) o[0,infty)) definida por (f(x)=x^2) é bijetiva.

Exemplo: A aplicação (f:R-{2} o R-{3}) definida por (f(x)=(3x-1)/(x-2)) é injetora pois, se (f(a)=f(b)) então ((3a-1)/(a-2)=(3b-1)/(b-2)) e daí segue que (a=b). (f) também é sobre pois se (f(x)=b), então ((3x-1)/(x-2)=b), de onde segue que se (b
eq 3) então (x=(2b-1)/(b-3)). Finalmente, segue que (f) é bijetora pois é injetora e sobrejetora

Nota sobre a palavra sobre: Afirmar que (f:A o B) é uma aplicação injetiva sobre o conjunto (B), é o mesmo que afirmar que (f) é bijetiva

Exercícios: Mostrar que

  1. (f:R o R), definida por (f(x))=3(x)+2 é bijetora.
  2. é bijetora a aplicação afim (f:R o R) tal que (f(x)=ax+b, (a
    eq 0)).
  3. (f:R o R) definida por (f(x)=2x^2+4x-1) não é sobrejetora, pois não existe (xin R) tal que (f(x)=-4).
  4. funções reais de segundo grau da forma (f(x)=ax^2+bx+c) não são injetoras e nem mesmo sobrejetoras, dependendo do domínio e do contradomínio destas.
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Dicas

  1. Para mostrar que (f(x)=ax^2+bx+c) com (a
    eq 0), não é injetora, basta calcular (f(-b/(2a)+r)) e (f(-b/(2a)-r)).
  2. Para mostrar que (f) não é sobrejetiva, vamos supor que (a > 0) e tentar obter o número real cuja imagem é ((-b^2+4ac)/(4a)-1). Se (a > 0), calcule uma pré-imagem de (y=(-b^2+4ac)/(4a)+1).

8 Composição de aplicações

Sejam as aplicações (f:A o B) e (g:B o C). Definimos a aplicação composta (gof: A o C) entre (g) e (f), nesta ordem, por ((gcirc f)(x)=g(f(x))).

Uma outra forma geométrica para a composta das aplicações (f) e (g), está ilustrada na figura:

Exemplo: Sejam (f:R o R) definida por (f(x)=2x) e (g:R o R) definida por (g(y)=y^2). Definimos a composta (gcirc f: R o R) por:

[(gcirc f)(x) = g(f(x)) = g(2x) = (2x)^2 = 4x^2]

A identidade (I:A o A) é uma das mais importantes aplicações da Matemática, definida para todo (ain A), por (I(a)=a). Quando é importante indicar o conjunto (X) onde a identidade atua, a aplicação identidade (I:X o X) é denotada por (I_X).

Propriedades das aplicações compostas

  1. A composta de aplicações não é comutativa, isto é, em geral: (fcirc g
    eq gcirc f).
  2. A composta de aplicações é associativa, isto é, ((fcirc g)circ h=fcirc (gcirc h)).
  3. A composta de aplicações possui elemento neutro, isto é: (fcirc I=Icirc f=f).
  4. Se (f) e (g) são aplicações injetivas, a composta (gcirc f) é injetiva.
  5. Se (f) e (g) são aplicações sobrejetivas, a composta (gcirc f) é sobrejetiva.
  6. Se (f) e (g) são aplicações bijetivas, a composta (gcirc f) é bijetiva.

10 Aplicações inversas

  • Inversa à esquerda: Sejam as aplicações (f:A o B) e (g:B o A). Diz-se que (g) é uma inversa à esquerda para (f) se (gof=I_A), isto é, para todo (ain A):
  • [(gcirc f)(a)=a]
  • Inversa à direita: Sejam as aplicações (g:B o A) e (f:A o B). Diz-se que (g) é uma inversa à direita para (f) se (fog=I_B), isto é, para todo (bin B):
  • [(fcirc g)(b)=b]
  • Inversa: Uma aplicação (f:A o B) possui inversa (g:B o A) se, (g) é uma inversa à esquerda e também à direita para (f). Isto significa que, para todo (ain A) e para todo (bin B):
  • [(fcirc g)(a)=I_A(a), qquad (gcirc f)(b)=I_B(b)]
  • Notação: A inversa de (f) é denotada por (g=f^{-1}). Demonstra-se que, se a inversa (g=f^{-1}) existe, ela é única e a inversa da inversa de (f) é a própria aplicação (f), isto é:
  • [(f^{-1})^{-1}=f]
  • A imagem (direta) de um conjunto (A subset X) pela aplicação (f:X o Y), é definida como o conjunto:
  • [f(A) = {f(a): ain A }]
  • Propriedades da imagem direta: Sejam (f:X o Y) uma aplicação, (Asubset X) e (Bsubset X). Então:
  1. Se (A
    eq emptyset) então (f(A)
    eq emptyset).
  2. (f({x})={f(x)}) para todo (xin X).
  3. Se (Asubset B), então (f(A) subset f(B)).

Demonstração: Se (yin f(A)), então existe (xin A) tal que (y=f(x)in f(A)). Por hipótese, (Asubset B), então (xin B), logo (y=f(x)in f(B)).

  1. (f(A cup B)=f(A) cup f(B)) Demonstração: (win f(A cup B)), se, e somente se, existe (xin A cup B) tal que (w=f(x)), se, e somente se, (xin A) ou (xin B) tal que (f(x)in f(A)) ou (f(x)in f(B)), se, e somente se, (w=f(x)in f(A) cup f(B)).
  2. (f(A cap B) subset f(A) cap f(B)) Demonstração: Se (zin f(A cap B)), então existe (xin(A cap B)) tal que (f(x)=z). Assim (xin A) e (xin B) e temos que (f(x)in f(A)) e (f(x)in f(B)), logo (zin f(A)) e (zin f(B)), assim (zin f(A)cap f(B)).

Nota: Existem aplicações para as quais (f(A cap B)
eq f(A) cap f(B)). Você saberia definir uma delas?

12 Imagem inversa por uma aplicação

  1. A imagem inversa de um conjunto (W subset Y) pela aplicação (f:X o Y), é definida por
  2. [f^{-1}(W) = { xin X: f(x)in W }]
  3. Propriedades da imagem inversa: Sejam (f:X o Y) uma aplicação, (Usubset Y) e (Vsubset Y).

    Então:

  1. (f^{-1}(emptyset) = emptyset).
  2. Se (U subset V) então (f^{-1}(U) subset f^{-1}(V)).

Demonstração: Se (xin f^{-1}(U)), então (f(x)in U). Como (Usubset V), então (f(x)in V).

Desse modo (xin f^{-1}(V)).

  1. (f^{-1}(U cap V) = f^{-1}(U) cap f^{-1}(V)) Demonstração: (xin f^{-1}(U cap V)), equivale a, (f(x)in(Ucap V)), que equivale a, (f(x)in U) e (f(x)in V), que equivale a, (xin f^{-1}(U)) e (xin f^{-1}(V)), se, e somente se, (xin f^{-1}(U) cap f^{-1}(V)).

  2. (f^{-1}(U cup V) = f^{-1}(U) cup f^{-1}(V)). Demonstração: (xin f^{-1}(U cup V)), se, e somente se, (f(x)in(U cup V)), se, (f(x)in U) ou (f(x)in V), se, e somente se, (xin f^{-1}(U)) ou (xin f^{-1}(V)), se, e somente se, (xin f^{-1}(U) cup f^{-1}(V)).

  3. (f^{-1}(V^c)=[f^{-1}(V)]^c) Demonstração: (xin f^{-1}(V^c)), equivale a (f(x)in V^c), que equivale a (f(x)) não pertence a (V), que equivale a (x) não pertence a (f^{-1}(V)), que é equivalente a (xin [f^{-1}(V)]^c).

  4. Se (U subset V) então (f^{-1}(V-U)=f^{-1}(V)-f^{-1}(U)). Demonstração: Como (V-U=V cap U^c), pelo item 4, segue que

    [f^{-1}(V-U) = f^{-1}(Vcap U^c) = f^{-1}(V)cap f^{-1}(U^c)]

  • Pelo ítem (4), segue que:
  • [f^{-1}(V-U)=f^{-1}(V)cap[f^{-1}(U)]^c=f^{-1}(V)-f^{-1}(U)]
  • Propriedades mistas: Sejam (f: X o Y) uma aplicação. Assim:
  1. Se (A subset X), então (A subset f^{-1}(f(A))).
  2. Se (V subset Y), então (f(f^{-1}(V)) subset V).
  3. Se (f) é injetiva, então para todo (Asubset X), vale (f^{-1}(f(A))=A).
  4. Se (f) é sobrejetiva, então para todo (Vsubset Y), vale (f(f^{-1}(V))=V).
  5. Se (f) é bijetiva, então para todo (Asubset X) e para todo (Vsubset Y), tem-se que: (f^{-1}(f(A))=A) e (f(f^{-1}(V))=V).

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