Como Mostrar Que Um Ponto Pertence A Uma Reta?

Rosimar Gouveia

Professora de Matemática e Física

A equação da reta pode ser determinada representando-a no plano cartesiano (x,y). Conhecendo as coordenadas de dois pontos distintos pertencentes a reta podemos determinar sua equação.

Também é possível definir uma equação da reta a partir de sua inclinação e das coordenadas de um ponto que lhe pertença.

Equação geral da reta

Dois pontos definem uma reta. Desta forma, podemos encontrar a equação geral da reta fazendo o alinhamento de dois pontos com um ponto (x,y) genérico da reta.

Sejam os pontos A(xa,ya) e B(xb,yb), não coincidentes e pertencentes ao plano cartesiano.

Três pontos estão alinhados quando o determinante da matriz associada a esses pontos é igual a zero. Assim devemos calcular o determinante da seguinte matriz:

• Desenvolvendo o determinante encontramos a seguinte equação:
• (ya – yb) x + (xb – xa) y + xayb – xbya = 0
• Vamos chamar:
• a = (ya – yb)
  b = (xb – xa)
  c = xayb – xbya
• A equação geral da reta é definida como:
• ax + by + c = 0
• Onde a, b e c são constantes e a e b não podem ser simultaneamente nulos.
• Exemplo
• Encontre uma equação geral da reta que passa pelos pontos A(-1, 8) e B(-5, -1).
• Primeiro devemos escrever a condição de alinhamento de três pontos, definindo o matriz associada aos pontos dados e a um ponto genérico P(x,y) pertencente a reta.

1. Desenvolvendo o determinante, encontramos:
2. (8+1)x + (1-5)y + 40 + 1 = 0
3. A equação geral da reta que passa pelos pontos A(-1,8) e B(-5,-1) é:
4. 9x – 4y + 41 = 0
5. Para saber mais, leia também:

• Matriz
• Determinante
• Teorema de Laplace

Equação reduzida da reta

Coeficiente angular

• Podemos encontrar uma equação da reta r conhecendo a sua inclinação (direção), ou seja o valor do ângulo θ que a reta apresenta em relação ao eixo x.
• Para isso associamos um número m, que é chamado de coeficiente angular da reta, tal que:
• m = tg θ
• O coeficiente angular m também pode ser encontrado conhecendo-se dois pontos pertencentes a reta.

Como m = tg θ, então:

1. Exemplo
2. Determine o coeficiente angular da reta r, que passa pelos pontos A(1,4) e B(2,3).
3. Sendo,
4. x1 = 1 e y1 = 4
   x2 = 2 e y2 = 3

Conhecendo o coeficiente angular da reta m e um ponto P0(x0,y0) pertencente a ela, podemos definir sua equação.

Para isso vamos substituir na fórmula do coeficiente angular o ponto conhecido P0 e um ponto P(x,y) genérico, também pertencente a reta:

• Exemplo
• Determine uma equação da reta que passa pelo ponto A(2,4) e tem coeficiente angular 3.
• Para encontrar a equação da reta basta substituir os valores dados:
• y – 4 = 3 (x – 2)
  y – 4 = 3x – 6
• -3x + y + 2 = 0

Coeficiente linear

1. O coeficiente linear n da reta r é definido como o ponto em que a reta intercepta o eixo y, ou seja o ponto de coordenadas P(0,n).
2. Utilizando esse ponto, temos:
3. y – n = m (x – 0)
4. y = mx + n (Equação reduzida da reta).

5. Exemplo
6. Sabendo que a equação da reta r é dada por y = x + 5, identifique seu coeficiente angular, sua inclinação e o ponto em que a reta intercepta o eixo y.

7. Como temos a equação reduzida da reta, então:
8. m = 1
   Sendo m = tg θ ⇒ tg θ = 1 ⇒ θ = 45º
9. O ponto de interseção da reta com o eixo y é o ponto P(0,n), sendo n=5, então o ponto será P(0,5)
10. Leia também Cálculo do coeficiente angular

Equação segmentária da reta

• Podemos calcular o coeficiente angular usando o ponto A(a,0) que a reta intercepta o eixo x e o ponto B(0,b) que intercepta o eixo y:
• Considerando n = b e substituindo na forma reduzida, temos:

Dividindo todos os membros por ab, encontramos a equação segmentária da reta:

1. Exemplo
2. Escreva na forma segmentária, a equação da reta que passa pelo ponto A(5,0) e tem coeficiente angular 2.
3. Primeiro vamos encontrar o ponto B(0,b), substituindo na expressão do coeficiente angular:
4. Substituindo os valores na equação, temos a equação segmentária da reta:
5. Leia também sobre:

Exercícios Resolvidos

• 1) Dada a reta que tem a equação 2x + 4y = 9 , determine seu coeficiente angular.
• 2) Escreva a equação da reta 3x + 9y – 36 = 0 na forma reduzida.
• 3) ENEM – 2016

Para uma feira de ciências, dois projéteis de foguetes, A e B, estão sendo construídos para serem lançados.

O planejamento é que eles sejam lançados juntos, com o objetivo de o projétil B interceptar o A quando esse alcançar sua altura máxima. Para que isso aconteça, um dos projéteis descreverá uma trajetória parabólica, enquanto o outro irá descrever uma trajetória supostamente retilínea.

O gráfico mostra as alturas alcançadas por esses projéteis em função do tempo, nas simulações realizadas.

Com base nessas simulações, observou-se que a trajetória do projétil B deveria ser alterada para que o
objetivo fosse alcançado.

Para alcançar o objetivo, o coeficiente angular da reta que representa a trajetória de B deverá
a) diminuir em 2 unidades.
b) diminuir em 4 unidades.
c) aumentar em 2 unidades.
d) aumentar em 4 unidades.

e) aumentar em 8 unidades.

Ver Resposta

1. Primeiro devemos encontrar o valor inicial do coeficiente angular da reta B.
   Lembrando que m= tg Ɵ, temos:
2. m1 = 12/6 = 2
3. m2 = 16/4 = 4
4. Alternativa c: aumentar 2 unidades

Para passar pelo ponto de altura máxima da trajetória de A, o coeficiente angular da reta B terá que ter o seguinte valor:
Assim o coeficiente angular da reta B terá que passar de 2 para 4, logo aumentará 2 unidades.

Veja também: Exercícios sobre Geometria Analítica

Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.

Equação geral da reta: passo a passo para encontrá-la

A equação geral da reta é uma maneira algébrica de se estudar o comportamento de uma reta no plano cartesiano.

Na geometria analítica, estudamos a fundo objetos da geometria plana representados no plano cartesiano.

Um desses objetos é a reta, que pode ter seu comportamento descrito pela equação ax + by + c = 0, os coeficientes a, b e c são todos números reais, em que a e b são diferentes de zero.

Para encontrar a equação geral da reta, é necessário conhecer pelo menos dois pontos pertencentes a essa reta. Conhecendo os dois pontos da reta, existem dois métodos distintos para se encontrar a equação geral da reta. Além da equação geral da reta, existem outras que podem descrever esse comportamento, sendo elas a equação reduzida da reta e a equação segmentária da reta.

Leia também: O que é um par ordenado?

Passo a passo para encontrar a equação geral da reta

Representação da reta no plano cartesiano.

• Para encontrarmos a equação geral da reta, existem dois métodos, um deles utiliza a equação reduzida da reta para chegar-se à equação geral, já o outro é o cálculo do determinante de ordem 3, em ambos os métodos, é necessário conhecer, pelo menos, dois pontos da reta.
• Antes de compreender como encontrar a equação da reta geral, veja alguns exemplos.
• Exemplo de equação geral da reta:
• a) – 3x + 4y + 7 = 0
• b) x + y – 3 = 0
• c) 2x – 5y  = 0

Então, para encontrar a equação geral de uma reta, é necessário conhecer dois pontos dessa reta. Seja A(xA, yA) e B(xB, yB) dois pontos pertencentes à reta cujos valores das coordenadas são conhecidos, para encontrar a equação geral da reta, podemos seguir alguns passos ao definirmos o método que será utilizado.

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Para encontrar a equação geral da reta, utilizaremos duas fórmulas:

1. Em que (xp, yp) é um dos pontos que conhecemos.
2. Exemplo:
3. A(2,1) e B(5,7)
4. 1º passo: encontrar o coeficiente angular m.
5. 2º passo: escolher um dos pontos e substituir os valores de m e desse ponto na equação, igualando-a a zero.
6. y – yp = m (x – xp)
7. Sabendo que m = 2, e escolhendo o ponto A(2,1), temos que:
8. y – 1 = 2 (x – 2)
9. y – 1 = 2x – 4
10. y – 2x – 1 + 4 = 0
11. – 2x + y  + 3 = 0 → equação geral da reta r.
12. Veja também: Como calcular a distância entre dois pontos no espaço?
13. Vamos construir a matriz com os dois pontos que conhecemos: os valores A(xA, yA), B(xB, yB) e um ponto arbitrário, e C (x,y).
14. 1º passo: montar a matriz.

• 2º passo: resolver a equação det(M) = 0.
• Para que os pontos estejam alinhados, o valor do determinante da matriz tem que ser igual a zero, por isso, igualamos o determinante da matriz M a zero.
• Exemplo:
• Utilizando os pontos do exemplo anterior, encontraremos a equação geral da reta.
• A(2,1), B(5,7) e C(x,y)
• Primeiro vamos montar a matriz:

1. Agora calcularemos o seu determinante:
2. det(M) = 14 + x + 5y – 7x – 5 – 2y = 0
3. det(M) = 3y – 5x + 9 = 0
4. Note que essa é a equação de uma reta, sendo assim, a equação geral da reta que passa pelos pontos A, B e C é – 5x + 3y  + 9 = 0.

Equação reduzida da reta

Outra forma de representar a equação da reta é a equação reduzida.

A diferença da equação geral para a equação reduzida é que, na equação geral, o segundo membro é sempre igual a zero, agora, na equação reduzida, vamos sempre isolar o y no primeiro membro.

A equação reduzida da reta é sempre descrita por y = mx + n, em que m e n são números reais, com m diferente de zero.

• Conhecendo a equação geral da reta, é possível encontrar a reduzida apenas isolando o y.
• Exemplo:
• – 5x + 3y + 9 = 0
• Vamos isolar o y no primeiro membro:

Toda reta pode ser representada por uma equação geral e por uma equação reduzida. Muitas vezes a equação reduzida é mais interessante.

Já que o m é conhecido como coeficiente angular,  com base nele é possível obter-se informações importantes da reta, pois seu valor traz informações sobre a inclinação dela.

Já o n é o coeficiente linear, que é o ponto no plano cartesiano em que a reta corta o eixo y.

Equação segmentária da reta

Assim como a equação geral e a equação reduzida da reta, a equação segmentária é uma maneira de representar a equação da reta. A equação segmentária tem esse nome porque ela nos informa os pontos em que a reta intercepta os eixos x e y. A equação segmentária da reta é descrita por:

1. Exemplo:
2. Encontre a equação segmentária da reta -5x + 3y – 9 = 0.
3. Vamos isolar o termo independente 9 no segundo membro:
4. -5x + 3y = 9
5. Agora vamos dividir toda a equação por 9:

• Agora vamos reescrever cada um dos termos colocando c/a e c/b.
• Acesse também: Qual é a equação geral da circunferência?

Exercícios resolvidos

1. Questão 1 – A representação da equação 4x – 2y – 6 = 0, em sua forma reduzida, é:
2. A) y = 2x – 3 B) y = -2x + 3 C) y = 2x + 3 D) y = -2x – 3
3. E) 2y = 4x – 6
4. Resolução
5. Alternativa A
6. Primeiro vamos isolar o y:
7. -2y = -4x + 6, como o coeficiente de y é negativo, multiplicaremos a equação por -1.
8. 2y = 4x – 6, dividindo todos os termos por 2, encontraremos a equação reduzida.
9. y = 2x – 3
10. Questão 2 – A equação geral da reta representada no plano cartesiano é:

• A) 2x + 2y – 6 = 0 B) x + y – 9 = 0 C) 2x – y + 3 = 0 D) -2x + y + 3 = 0
• E) x + 2y – 3 = 0
• Resolução
• Alternativa D

Primeiro vamos identificar os dois pontos, são eles A(2,1) e B(3,3). Seja P(x,y) um ponto qualquer da reta, devemos calcular o determinante da matriz M e igualar a zero, colocando em cada linha o valor de x, y e 1.

1. det(M) = 6 + x + 3y – 3x – 3 – 2y = 0
2. det(M) = -2x + y + 3 = 0

Aulas do 11º ano sobre Equações da reta no plano e no espaço: Equação reduzida, vetorial e cartesiana

Aulas > 11º ano > Aula nº 16

Neste local poderás colocar os teus comentários e as tuas dúvidas. Todas as mensagens que não estiverem diretamente relacionadas com este tema, ou que eventualmente contenham linguagem considerada imprópria serão removidas.

Foram feitos 36 comentários/dúvidas.

Olá, eu queria saber se obtemos sempre a equação cartesiana apartir da equação vetorial?

Olá Pedro,
Para conseguir escrever a equação vetorial ou a equação cartesiana de uma reta é necessário conhecer um ponto e um vetor diretor dessa reta.

Tendo essa informação torna-se fácil obter quer a equação vetorial quer a equação cartesiana. Se já conhecermos a eq. cartesiana é relativamente simples chegar a eq. vetorial. De igual forma se conhecermos a eq.

vetorial é simples chegar à eq. cartesiana. Não sei se fui claro, espero ter ajudado!

Boas, no exercicio 2 como sabemos que o vetor CA e neste caso a reta s é perpendicular à reta r? Obrigado e continuação do excelente trabalho

Olá João,
Essa é uma excelente pergunta. Voltei a ver o vídeo da resolução do exercício e de facto o vídeo não explica como é que sabemos que a reta `s` é perpendicular à reta `r`.

A razão pela qual isso não vem explicado no vídeo é porque existe um teorema que nos diz que: “qualquer reta tangente à circunferência é sempre perpendicular ao raio dessa circunferência no ponto de tangência”.

O vetor `vec(CA)` é um raio da circunferência, logo é perpendicular à reta tangente. Bons estudos!

Certo fiquei esclarecido, muito obrigado pela ajuda e continuação do excelente trabalho que têm vindo a realizar!

Boa noite. No exercício 2 ao determinar a abcissa do ponto A, como este pertence à circunferência não deveria ter abcissa raiz de 2 já que o raio é raiz de 2?

Obrigado pelo site pois os seus métodos ajudam imenso na resolução.

Olá Rodrigo,
A resposta é não. A abcissa do ponto `A` seria `sqrt(2)` se a circunferência estivesse centrada na origem do referencial.

Mas no vídeo com a resolução do exercício 2 é claramente explicado que o centro da circunferência se situa no ponto `C(0,1)`. E a distância do Ponto `C` ao ponto `A` é que é `sqrt(2)`.

Volta a ver o vídeo com atenção e perceberás como é que se calcula a abcissa do ponto `A`. Espero ter-me feito entender!

Boa Tarde!
Como é que se pode calcular o declive para passar da equação vetorial para a equação reduzida se for em Oxyz, no espaço? Obrigada pelo site!

Olá Catarina,
Quando se fala em equação reduzida da reta e no seu declive, estamos sempre a referir-nos à equação da reta no plano, isto é, `y=mx +b` em que `m` é o declive da reta e `b` é a ordenada na origem.

Normalmente no espaço usamos a equação vetorial ou a equação cartesiana. Mas neste caso, não se fala em declive, mas sim em vetor diretor (vetor que indica a direção da reta).

Se quiseres obter mais onformação sobre o cálculo do declive de uma reta, consulta esta página. Espero ter ajudado!

A equação vetorial da reta: (x,y,z) = (2,1,4) + k(-3,-2,-4) é equivalente a (x,y,z) = (2,1,4) + k(3,2,4)?

Olá David,
A resposta é sim. Essas duas equações vetoriais da reta são equivalentes. Isto porque ambas passam no mesmo ponto e o vetor diretor da primeira equação é colinear com o vetor diretor da segunda equação.

No exemplo que apresentaste, ambos os vetores têm o mesmo comprimento e a mesma direção, a única diferença é que o sentido de um é o oposto do outro. Mas, para efeitos da definição dos pontos de uma reta isso é indiferente.

Espero ter ajudado!

Boa tarde! Era só para alertar para uma situação da página que o prf. Vitor Nunes recomendou à Catarina sobre o declive, penso que uma das formas de o calcular está errada, acho que a ordem da subtração das ordenadas e abcissas está errada, é só… Continuação do excelente trabalho!!! Obrigado.

Olá José,
Agradeço quando me chamam à atenção para possíveis erros existentes no site. Mas a fórmula usada para calcular o declive da reta está certa! Repara que é indiferente estar `m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)` ou estar `m=(y_1-y_2)/(x_1-x_2)`. Isto porque ambas as operações vão produzir o mesmo número. Experimenta e verás. Em todo o caso, obrigado.

Como tiro o vetor diretor daqui x/15=y/12=2z/11 Visto ter o 2 junto do z

Olá João, Normalmente só respondo a questões relacionadas com os exercícios presentes na página. A tua dúvida é comum e é de fácil resolução.

Dada a equação cartesiana da reta `x/15=y/12=(2z)/11`, para conseguirmos obter o ponto e o vetor diretor temos que primeiro isolar a variável `z`, para isso basta dividir o numerador e o denominador por 2.

Ficando então a equação cartesiana com o seguinte formato: `x/15=y/12=z/(11/2)`.

Boa tarde!
No vídeo, apresentam a equação cartesiana de uma forma que não me lembro de usar nas aulas. Lembro-me de usarmos ax + by + cz + d = 0. Qual é a diferença entre as duas?

Olá Beatriz, Não há qualquer diferença, ambas podem ser utilizadas. Normalmente, como ponto de partida, utilizo a seguinte equação cartesiana do plano: `a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0`. Esta equação depois de simplificada, irá ficar igual àquela que apresentaste: `ax + by + cz + d = 0`. Portanto, não há qualquer diferença. Utiliza aquela que te der mais jeito!

Entendi, muito obrigada. Continuação do fantástico trabalho!

Olá professor. Tenho uma dúvida relativamente a vetores diretores de uma reta. Um vetor diretor de uma reta tem necessariamente de estar contido na reta ou pode ser paralelo a esta?

Se nós soubermos que um vetor é perpendicular a um plano e que uma reta é perpendicular a esse mesmo plano, podemos dizer que o vetor é um vetor diretor da reta, mesmo não sabendo se o vetor é colinear com a reta?

Olá Carolina, O vetor diretor não precisa de estar “contido” na reta, basta ser “paralelo” a ela. A definição de vetor diretor, implica que qualquer vetor colinear (com a mesma direção da reta), seja um vetor diretor da reta.

A resposta à segunda pergunta é SIM. Se o vetor é perpendicular a um plano (vetor normal do plano), então necessariamente ele é um vetor diretor de uma reta que seja perpendicular a esse plano.

Espero que tenhas ficado esclarecida!

Olá! Quando 2 retas estão contidas no mesmo plano e têm o mesmo vetor diretor, quer dizer que são paralelas?

Olá Laura,
É isso mesmo.

Se as retas estão contidas no mesmo plano e se têm o mesmo vetor diretor então ou são estritamente paralelas ou são coincidentes! Só uma chamada de atenção para o facto de, se duas retas possuêm o mesmo vetor diretor é porque pertencem obrigatoriamente ao mesmo plano (são complanares), logo o enunciado da pergunta não precisa sequer de referir que pertencem ao mesmo plano!

Olá boa tarde,
Estou com uma dúvida acerca do cálculo para definir o vetor diretor da reta (neste caso no plano). No meu caso é o vetor de pontos C(5,-3) e A(2,1).

Olá Rúben,
É relativamente simples obter o vetor diretor de uma reta conhecendo dois dos seus pontos.

No teu exemplo mencionas que conheces as coordenadas dos pontos `A(2,1)` e `C(5,-3)`, logo a reta segue a direção do vetor diretor `vec(AC)` (ou `vec(CA)` uma vez que é indiferente).

Para calcular as coordenadas de `vec(AC)`, basta fazer `C – A`, ou seja, `(5, -3) – (2,1) = (3, -4)`. Como vês é bastante fácil!

• Como faço esse exercício?
  Considere num referencial Oxyz o ponto A(1,2,-1) e a recta r definida por (x,y,z)=(-2,0,4)+k(3,-1,2)
• a) Determine uma equação da recta que passa pelo ponto A e tem a direcção do eixo Oz.

Olá Francisco,
Só costumo responder a exercícios presentes no site, mas como estou com tempo vou prestar-te um pequeno esclarecimento. Se a reta tem a direção do eixo `Oz` então um dos seus vetores diretores poderá ser `(0,0,1)`.

A partir daqui basta utilizar a equação vetorial da reta, uma vez que já temos o ponto e o vetor diretor, ficando com este formato: `(x,y,z)=(1,2,-1)+k(0,0,1), k in ZZ`.

A equação da reta `r` não é necessária para este exercício, deve estar no enunciado por causa de outra alínea. Espero ter ajudado.

É possível achar um vetor diretor para uma reta cuja equação é y=3? (ou seja a reta não tem declive)

Olá Rita, Não só é possível, como é muito fácil. Tal como referes na tua pergunta, a reta não tem declive, portanto é paralela ao eixo das abcissas. Assim sendo, basta encontrar um vetor que tenha essa direção, para que ele possa ser considerado vetor diretor da reta. Por exemplo: `vec u = (0,1)`

Olá como poderei saber qual o vetor diretor de uma reta paralela a um plano?

Olá Luísa, O primeiro passo consiste em descobrir o vetor normal do plano. Tendo em conta que a reta é paralela ao plano, então o seu vetor diretor irá ser perpendicular ao vetor normal do plano.

Sabendo que o produto escalar de dois vetores perpendiculares é igual a zero, isso permite-nos descobrir as coordenadas do vetor diretor da reta. Tal poderá ser feito, através de tentativa e erro ou através de um sistema.

Espero ter ajudado!

Olá. Eu gostava de saber como é que posso passar de uma reta definida por uma equação para uma reta definida por uma equação vetorial.

Basicamente queria saber como resolver este exercício: Reta r definida pela equação 2x-y+5=0.

Qual das condições também define a reta r? A- (x, y)=(-1,2)+k(3,6) B- (x, y) =(1, 7)+k(4,2) C- (x, y) =(-2,1)+k(1,2) D- (x, y) =(0, 5)+k(2,1) [k pertence aos números reais]

Muito obrigado pelo vídeo!

Olá Mário, Não tenho por hábito responder a dúvidas sobre exercícios enviados pelos alunos. Mas como a dúvida que colocas é muito comum, aqui vai a resolução:

Primeiro passo, consiste em resolver a equação que te deram em ordem a `y`, para assim obter a equação reduzida da reta, ou seja, `2x-y+5=0 hArr y=2x+5`. Posto isto, repara no valor do declive, `m=2`.

Sabemos que as coordenadas do vetor diretor de uma reta, podem ser obtidas a partir do seu declive. Assim sendo, o vetor diretor tem como coordenadas, `vec v=(1,2)`.

Das 4 opções que apresentas, a única equação vetorial da reta que tem este vetor diretor é a opção C.

Olá! Gostaria saber como é que com dois pontos no referencial e com a equação de uma reta, consigo determinar um ponto dessa mesma reta?

Olá Matilde, Como não referes se é no plano ou no espaço, vou partir do princípio que é no plano. Tendo dois pontos do referencial é relativamente simples chegar à equação reduzida da reta `y=mx+b`.

Partindo desta equação, se quiseres obter qualquer outro ponto da reta, basta substituir a abcissa `x` por um valor à tua escolha, posto isto, resolves a equação e encontras o valor da ordenada `y`. Com este método podes encontrar qualquer ponto da reta.

De igual forma, podes utilizar este processo para descobrir se determinado ponto pertence ou não à reta.

Olá! Gostaria de saber como é que cálculo o ponto de interseção de 2 retas no espaço… Obrigado e bom ano desde já!

Olá Diogo, Para calcular o ponto de interseção de duas retas no espaço, basta fazer um sistema de duas equações com as equações de cada uma dessas retas. A solução do sistema são as coordenadas do ponto de interseção. Se o sistema for impossível, ou seja, se não tiver solução, então é porque as duas retas não se intersetam.