Como Mostrar Que Dois Triangulos Sao Semelhantes?

A semelhança de triângulos consiste, de modo geral, na proporção entre dois ou mais triângulos, ou seja, são proporcionais se, e somente se, todos os seus lados e ângulos internos forem proporcionais ao outro triângulo. Convenhamos que verificar todos esses elementos um a um gera um pouco de trabalho. A fim de facilitar o processo, vamos estudar os casos de semelhança nos quais é necessário verificar somente três desses elementos.

Leia também: Propriedades do triângulo equilátero

Triângulos semelhantes

Dados dois triângulos ABC e A’B’C’, vamos dizer que eles são semelhantes se, e somente se, os ângulos correspondentes são congruentes na mesma ordem, ou seja, se os ângulos são iguais e se os lados correspondentes são ordenadamente proporcionais. Veja:

Como Mostrar Que Dois Triangulos Sao Semelhantes?

  • Ângulos correspondentes congruentes:
  • A = A'
  • B = A'
  • C = A'
  • Lados correspondentes proporcionais:
  • A'B' = B'C' = A'C' = k AB BC AC
  • O número k nas razões entre os lados é chamado de constante de proporcionalidade, e as razões são chamadas de razões de proporcionalidade.

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  1. Exemplo
  2. Vamos verificar se os triângulos a seguir são proporcionais.

Como Mostrar Que Dois Triangulos Sao Semelhantes?

  • Observe que a correspondência entre os ângulos dos triângulos azul e vermelho é dada por:
  • A = 65° = B’
  • B = 45° = A’
  • C = 70° = C’
  • Veja também que o lado A’B’ está para o lado AB, que o lado B’C’ está para o lado AC e que o lado A’C’ está para o lado BC, ou seja:

Como Mostrar Que Dois Triangulos Sao Semelhantes?

  1. Note que, nessa ordem, podemos encontrar uma proporção entre os lados em que a constante de proporcionalidade é igual a 1/3, ou seja, para construir o triângulo A’B’C’, basta multiplicar cada lado do triângulo ABC por 1/3. Assim, temos que os triângulos são semelhantes na seguinte ordem:
  2. ABC ~ B’A’C’
  3. Veja também: Condição de existência de um triângulo

Teorema fundamental da semelhança de triângulos

Considere inicialmente um triângulo DEF e considere uma reta paralela GH ao lado.

Como Mostrar Que Dois Triangulos Sao Semelhantes?

“O teorema fundamental da semelhança de triângulos afirma que toda reta paralela a um dos lados do triângulo que intercepta os outros dois lados determina um segundo triângulo semelhante ao primeiro.”

  • No triângulo acima, vamos ter a seguinte semelhança:
  • DFE ~ GFH
  • Exemplo

No triângulo ABC, o segmento DE é paralelo ao lado BC. Sabe-se também que AB = 8 cm, AC = 10 cm e AD = 2 cm. Determine o comprimento dos segmentos AE e EC.

Como Mostrar Que Dois Triangulos Sao Semelhantes?

Como o segmento DE é paralelo ao lado BC do triângulo ABC, pelo teorema fundamental da semelhança de triângulos, temos que os triângulos ABC e ADE são semelhantes, logo seus lados, de modo ordenado, são proporcionais, então:

Como Mostrar Que Dois Triangulos Sao Semelhantes?

  1. Veja também que o lado AC é dado pela soma AE + EC. Substituindo os valores de cada lado, temos:
  2. AC = AE + EC
  3. 10 = 2,5 + EC
  4. 10 – 2,5 = EC
  5. EC = 7,5 cm
  6. Portanto, AE = 2,5 cm e EC = 7,5 cm.
  7. Saiba também: Relações no triângulo retângulo

Casos de semelhança de triângulos

Vimos que, para verificar se dois triângulos são, de fato, semelhantes ,é necessário que todos os ângulos correspondentes sejam iguais e que os lados correspondentes sejam proporcionais, entretanto não é necessário verificar as seis condições. Veremos a seguir casos de semelhança que facilitam tal verificação.

Vamos dizer que dois triângulos são semelhantes se dois ângulos de um triângulo são iguais a dois ângulos do outro triângulo.

Como Mostrar Que Dois Triangulos Sao Semelhantes? Como Mostrar Que Dois Triangulos Sao Semelhantes?

Se dois ângulos são congruentes, os triângulos são semelhantes e a volta também é verdadeira, isto é, caso dois triângulos sejam semelhantes, então podemos afirmar que dois ângulos correspondentes são iguais.

Dizemos que dois triângulos são semelhantes se dois lados são proporcionais e os ângulos entre esses lados são congruentes, isto é, iguais.

Como Mostrar Que Dois Triangulos Sao Semelhantes?

A condição para que esses dois triângulos sejam semelhantes é que a razão entre AB e A’B’ seja igual à razão entre os lados AC e A’C’, ou seja, que os lados sejam proporcionais. Além disso, o ângulo compreendido entre esses lados deve ser igual: Â = Â.

Como Mostrar Que Dois Triangulos Sao Semelhantes?

  • Nesse caso, também vale a volta da afirmação, ou seja, se dois triângulos são semelhantes, então podemos afirmar que dois de seus lados são proporcionais e que os ângulos entre esses lados são iguais.
  • Dois triângulos são ditos semelhantes se os três lados do primeiro triângulo são ordenadamente proporcionais aos lados do segundo triângulo.
  • Nesse caso, para que os triângulos sejam semelhantes, os lados correspondentes devem ser iguais.
  • Exemplo

Considere os triângulos a seguir. Sabendo que eles são semelhantes, determine os valores de a, b e c. O perímetro do triângulo maior é igual a 84 cm.

  1. Por hipótese, os triângulos são semelhantes. Podemos dizer ainda que a semelhança é pelo caso LLL, ou seja, ABC ~ A’B’C’, portanto:
  2. Como o perímetro do triângulo maior é igual a 84 cm, temos que:
  3. a + b + c = 84
  4. 7k + 9k + 5k = 84
  5. 21k = 84
  6. k =4
  7. Substituindo os valores de k nas igualdades, temos:
  8. a = 7 · (4) → a = 28 cm
  9. b = 9 · (4) → b = 36 cm
  10. c = 5 · (4) → c = 20 cm

Exercícios resolvidos

  • Questão 1 – (PUC-Campinas) Os triângulos ABC e AED, representados na figura a seguir, são semelhantes, sendo os ângulos D e C congruentes.
  • Se BC = 16 cm, AC = 20 cm, AD = 10 cm e AE = 10,4 cm, o perímetro do quadrilátero BCED, em centímetros, é:
  • a) 32,6
  • b) 36,4
  • c) 40,8
  • d) 42,6
  • e) 44,4
  • Solução
  • Alternativa e.
  • Os triângulos ABC e AED são semelhantes, logo seus lados, nessa ordem, formam uma proporção. Das propriedades de proporção, temos:
  • Multiplicando cruzado as duas primeiras frações, temos:
  • 20 · DE = 10 · 16
  • 20 · DE = 160
  • DE = 8 cm
  • Agora, multiplicando cruzado a primeira fração com a terceira, temos:
  • 20 · 10,4 = 10 · (10 + BD)
  • 208 = 100 + 10 · BD
  • 10 ·BD = 208 – 100
  • 10 · BD = 108
  • BD = 10,8 cm
  • Note que o lado AC é dado por AE + CE. Substituindo os valores conhecidos, temos:
  • AC = AE + CE
  • 20 = 10,4 + CE
  • CE = 20 – 10,4
  • CE = 9,6 cm
  • E portanto o perímetro do quadrilátero BCED é:
  • BC + CE + DE + DB
  • 16 + 9,6 + 8 + 10,8
  • 44,4 cm  

Publicado por: Robson Luiz

Semelhança de Triângulos: Veja Como Identificar

A ideia de semelhança de triângulos em figuras planas na Geometria é de suma importância. Duas figuras são semelhantes quando elas possuem ângulos congruentes e lados proporcionais. Para indicar semelhança na matemática usamos a notação ~.

Definição

  • Seja dois triângulos ABC e A’B’C’, eles são semelhantes se, e somente se, as medidas dos ângulos sejam congruentes (medidas iguais) e as medidas dos lados respectivos sejam proporcionais.
  • Exemplo:
  • Os triângulos ABC e A’B’C’ da figura a abaixo são semelhantes pois possuem ângulos correspondentes com medidas iguais.

Como Mostrar Que Dois Triangulos Sao Semelhantes?

Assim, podemos afirmar que:

Δ ABC ~ Δ A’B’C’ ⇔

Como Mostrar Que Dois Triangulos Sao Semelhantes?

O número k é um valor constante e é chamado de razão de semelhança.

Casos de Semelhança de Triângulos

  1. Apesar da definição informar que se dois triângulos são semelhantes eles possuem ângulos congruentes e lados proporcionais, não precisamos verificar todas essas propriedades para conferir todas as condições.

  2. Veja, então, os três casos que garante a semelhança entre os triângulos:
  3. Critério (AA~: Ângulo – Ângulo): Quando possuem dois pares de ângulos correspondentes congruentes, então eles são semelhantes.

  4. Exemplo:
  5. Seja os triângulos ABC e A’B’C’ abaixo:

Como Mostrar Que Dois Triangulos Sao Semelhantes?

Se os ângulos correspondentes possuem as mesmas medidas, então podemos afirmar que:

Como Mostrar Que Dois Triangulos Sao Semelhantes?

  • Critério (LAL~: Lado – Ângulo – Lado): Se dois lados de um triângulo tem medidas proporcionais a medida de dois lados de outro triângulo e os ângulos entre esses lados são congruentes, então eles são semelhantes.
  • Exemplo:
  • Seja os triângulos ABC e A’B’C’ abaixo:

Como Mostrar Que Dois Triangulos Sao Semelhantes?

Se pelo menos dois ângulos correspondentes são congruentes e dois lados correspondentes são proporcionais, então podemos afirmar que:

Como Mostrar Que Dois Triangulos Sao Semelhantes?

  1. Critério (LLL~: Lado – Lado – Lado): Se dois triângulos possuem as medidas relativas aos três lados correspondentes proporcionais, então eles são semelhantes.
  2. Exemplo:
  3. Seja os triângulos ABC e A’B’C’ abaixo:
Leia também:  Como E Que Se Faz Massa?

Como Mostrar Que Dois Triangulos Sao Semelhantes?

Se todos os lados dos triângulos possuem medidas proporcionais, então podemos afirmar que:

Como Mostrar Que Dois Triangulos Sao Semelhantes?

Razão de Semelhança

  • A razão que define a semelhança entre dois triângulos é a razão entre as medidas dos lados correspondentes.
  • Dessa forma, se a razão de semelhança entre dois triângulos é um número k, então a razão entre dois elementos dos triângulos será k.
  • Isto quer dizer que se a razão de semelhança entre dois triângulos é 5, a razão entre as medianas correspondentes será 5, a razão entre as alturas será 5, e assim por diante.
  • Exemplo:
  • Seja os triângulos ABC e ADE abaixo:

Como Mostrar Que Dois Triangulos Sao Semelhantes?

Onde:

  • AQ e AP são as alturas.
  • AM e AN são as medianas.

Com isso, temos que a razão de semelhança do triangulo ABC para o triângulo ADE é o número k, de forma que k seja proporcional as medidas referentes a altura, medianas e dos lados do triângulo, entre outros.

Então, podemos afirmar que:

Como Mostrar Que Dois Triangulos Sao Semelhantes?

Teorema Fundamental

O teorema fundamental da semelhança diz que se traçarmos uma reta paralela a um dos lados de um triângulo, essa reta intercepta os outros dois lados do triângulo em pontos diferentes. O triângulo formado é semelhante ao triângulo original.

Veja na figura abaixo que o triângulo ABC é cortado por uma reta r é paralela ao lado BC.

  1. Para verificar que os triângulos são semelhantes, devemos observar se o triângulo original é semelhante ao triângulo formado pela reta r.
  2. Ao observar a imagem acima, percebe-se que os ângulos B e D e também E e C são semelhantes pois DE // BC, de acordo com o postulado das retas paralelas.
  3. Como o ângulo A é um ângulo comum aos dois triângulos, temos que os ângulos são congruentes para os dois triângulos.
  4. Portanto, pelo critério (AA), os triângulos ABC e ADE são semelhantes.
  5. Para saber mais leia sobre o Teorema de Tales.

Casos de Congruência de Triângulos

Semelhança de triângulos é diferente de igualdade entre os triângulos. Assim, para verificar se dois triângulos são iguais devemos observar os seguintes casos:

  1. Os triângulos possuem lados com medidas iguais.
  2. Dois lados dos triângulos possuem medidas iguais, assim como o ângulo correspondente também possui a mesma medida.
  3. Dois ângulos dos triângulos possuem medidas iguais e o lado entre esses ângulos tenha a mesma medida.

Relações Métricas no Triângulo Retângulo

Os triângulos retângulos são os triângulos que possuem um ângulo reto, ou seja, ângulo que mede 90°.

No triângulo ABC abaixo, a altura h, relativa a hipotenusa divide o triângulo em dois triângulos retângulos.

Como os triângulos ABC, ABH e ACH possuem um ângulo que mede 90°, e os lados AB e AC, AH e CH e AH e BH são proporcionais, então podemos afirmar que os triângulos são semelhantes, pelo critério LAL~. Logo: ABC ~ ABH ~ ACH.

Dessa forma, como as medidas dos lados são proporcionais temos as seguintes relações entre as medidas dos lados:

Relações Métricas no Triângulo Retângulo
b² = a . n
c² = a . m
a² = b² + c²
h² = m . n
b . c = a . h

Estude mais sobre as relações métricas no triângulo retângulo e também sobre o Teorema de Pitágoras.

Exercícios

Acesse os exercícios no link a seguir:

  • Exercícios sobre semelhança de triângulos

Bons estudos!

Semelhança de Triângulos

Rosimar Gouveia

Professora de Matemática e Física

Dois triângulos são semelhantes quando possuem os três ângulos ordenadamente congruentes (mesma medida) e os lados correspondentes proporcionais. Usamos o símbolo ~ para indicar que dois triângulos são semelhantes.

Para saber quais são os lados proporcionais, primeiro devemos identificar os ângulos de mesma medida. Os lados homólogos (correspondentes) serão os lados opostos a esses ângulos.

Razão de Proporcionalidade

Como nos triângulos semelhantes os lados homólogos são proporcionais, o resultado da divisão desses lados será um valor constante. Esse valor é chamado de razão de proporcionalidade.

Considere os triângulos ABC e EFG semelhantes, representados na figura abaixo:

Como Mostrar Que Dois Triangulos Sao Semelhantes?

Os lados a e e, b e g, c e f são homólogos, sendo assim, temos as seguintes proporções:

Onde k é a razão de proporcionalidade.

Leia também sobre Razão e Proporção.

Casos de Semelhança

Para identificar se dois triângulos são semelhantes, basta verificar alguns elementos.

1º Caso: Dois triângulos são semelhantes se dois ângulos de um são congruentes a dois do outro. Critério AA (Ângulo, Ângulo).

2º Caso: Dois triângulos são semelhantes se os três lados de um são proporcionais aos três lados do outro. Critério LLL (Lado, Lado, Lado).

3º Caso: Dois triângulos são semelhantes se possuem um ângulo congruente compreendido entre lados proporcionais. Critério LAL (Lado, Ângulo, Lado).

Quando uma reta paralela a um lado de um triângulo intersecta os outros dois lados em pontos distintos, forma um triângulo que é semelhante ao primeiro.

Na figura abaixo, representamos o triângulo ABC e a reta r paralela ao lado .

Como Mostrar Que Dois Triangulos Sao Semelhantes?

Observando a figura, notamos que os ângulos são congruentes, assim como os ângulos , pois a reta r é paralela ao lado . Assim, pelo critério AA, os triângulos ABC e ADE são semelhantes.

Leia também sobre Teorema de Tales e Teorema de Tales – Exercícios.

Relações Métricas no Triângulo Retângulo

Os triângulos que possuem um ângulo igual a 90º são chamados de triângulos retângulos. O lado oposto ao ângulo de 90º é chamado hipotenusa e os outros dois lados são chamados de catetos.

No triângulo representado abaixo, o lado a é a hipotenusa e b e c são os catetos.

Como Mostrar Que Dois Triangulos Sao Semelhantes?

Ao traçar a altura relativa à hipotenusa, dividimos o triângulo retângulo em dois outros triângulos retângulos. Conforme figura abaixo:

Como Mostrar Que Dois Triangulos Sao Semelhantes?

Observando os medidas dos ângulos desses três triângulos, percebemos que eles são semelhantes, ou seja:

Usando as proporções entre os lados, determinamos as seguintes relações:

Como Mostrar Que Dois Triangulos Sao Semelhantes?

Essas relações são muito importantes e são chamadas de relações métricas no triângulo retângulo.

Para saber mais sobre triângulos, leia também:

Congruência de Triângulos

Triângulos semelhantes não são triângulos iguais. Os triângulos são considerados congruentes (iguais) quando coincidem ao serem sobrepostos.

Casos de congruência de triângulos

  • Dois triângulos são congruentes quando for verificado um dos seguintes casos:
  • 1º caso: Os três lados são respectivamente congruentes.
  • 2º caso: Dois lados congruentes (mesma medida) e o ângulo formado por eles também congruente.
  • 3º caso: dois ângulos congruentes e o lado compreendido entre eles congruente.

Exercícios

1) Dados os triângulos abaixo, responda:

Como Mostrar Que Dois Triangulos Sao Semelhantes?

a) Eles são semelhantes? Justifique a resposta.
b) Qual é o ângulo que não aparece nas figuras?

Ver Resposta

  1. a) São semelhantes porque têm dois ângulos iguais.
  2. b) A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180º. Logo:
  3. 72º + 35º = 107º
    180º – 107º = 73º
  4. Resposta: O ângulo é 73º

2) Enem-2013

O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6 m e 4 m.

A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo segmento EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados.

Como Mostrar Que Dois Triangulos Sao Semelhantes?

  • Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?
  • a) 1 m
    b) 2 m
    c) 2,4 m
    d) 3 m
  • e) 2 √6 m

Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.

Semelhança de Triângulos

Para que se torne mais fácil comparar dois triângulos, deve-se fazer a correpondência entre seus elementos.

Como Mostrar Que Dois Triangulos Sao Semelhantes? ΔABC   (triângulo de vértices  A,  B  e  C)

Como Mostrar Que Dois Triangulos Sao Semelhantes? ΔA′B′C′   (triângulo de vértices  A′,  B′  e  C′)

  • Assim,  os ângulos correspondentes são:  e    e    e   Os segmentos homólogos  (correspondentes),  são:
  • AB  e  A′B′

AC  e  A′C′ BC  e  B′C′

  1. Definição: Dois triângulos são semelhantes se,  e somente se: ①  seus ângulos correspondentes são congruentes; ②  seus lados homólogos são proporcionais.
  2. Se   ΔABC  ~  ΔA′B′C′,  então:
  3.  ≅  
  4. Onde  k  é a razão de semelhança.
  5. Exemplo: Verificar se dois triângulos equiláteros são semelhantes. Sejam  ΔABC  e  ΔDEF  dois triângulos equiláteros, assim:
  6. as medidas dos ângulos  ,    e   são iguais a  60°;
  7.  ≅       ≅       ≅  
  8. Então:
Leia também:  Como Parar A Menstruação Que Ja Desceu?

 ≅    ≅    =    =    =  k as medidas dos ângulos  ,    e   também são  60° Então: Tomando  AB  =  p  e  DE  =  q AC  =  p  e  BC  =  p DF  =  q  e  EF  =  q Logo:

  •  =    =    =  
  • Logo,  dois triângulos equiláteros são sempre semelhantes.
  • Dois triângulos congruentes são semelhantes com razão de semelhança  1.
  • NOTA: Não basta ter a mesma aparência para ser semelhante, por exemplo,  o triângulo  ΔABC  de medidas:
  • AB  =  3,  AC  =  3,  BC  =  5
  •  =       =       =    =  1
  • Portanto,  são isósceles,  mas não são semelhantes.

e, o triângulo  ΔDEF  de medidas: DE  =  4,  DF  =  4,  EF  =  5 são triângulos isósceles. As razões entre as medidas dos lados correspondentes são:

Teorema Fundamental

  1. Se um triângulo é cortado por uma reta paralela a um dos lados, então ele é semelhante ao triângulo formado por essa reta.

Clique para ver a Demonstração

Como  DE  //  BC ,  então os ângulos: AD  e  AC  são congruentes,  pois são correspondentes; AE  e  AB  são congruentes pelo mesmo motivo,  e BC  e  DF  são congruentes,  pois trata-se do mesmo ângulo. Assim: os  ΔABC e  ΔAED  têm os ângulos correspondentes congruentes.

Observação:

O  ΔAED  foi escrito sem a ordem alfabética para, manter a ordem de correspondência dos vértices com o  ΔABC. Os segmentos corespondentes são:

AB  e  AE

AC  e  AD BC  e  ED Pode-se observar na figura que pelo teorema de Tales:

  •  =  
  • BC  e  ED  seja a mesma das anteriores.
  • BE  que passe em  D,  conforme figura abaixo:
  •  =  
  • Como os segmentos  BE // DF  e  BF // DE,  então:
  • Portanto,  BF  ≅  DE,  isto é,  BF  =  DE.
  •  =  
  •  =  
  •  =    =  
  • Assim,  os lados homólogos são congruentes.

É necessário que a razão entre os segmentos:  Construindo um segmento paralelo ao segmento:  Pode-se observar na figura que pelo teorema de Tales: a figura  BEDF  é um paralelogramo. Então na igualdade: Tem-se: Daí:

Critérios de semelhança de triângulos

  1. Há situações em que com apenas algumas informações se pode, concluir que os triângulos são semelhantes.
  2. Tais situações são chamadas de critérios ou casos de semelhança.
  3. Caso  AA  ( caso  ângulo-ângulo ) Dois triângulos que tenham: dois ângulos correspondentes congruentes são semelhantes.

  4.  ≅    e   ≅  

Sendo os ângulos correspondentes: Clique para ver a Demonstração

  • Tomando  ΔDEC  ≅  ΔA′B′C′  conforme figura abaixo:
  •  ≅    o que implica em  CE  ≅  CB;
  • Obtendo o ponto  F  no prolongamento do segmento  ED:
  • CE  ≅  AF   ( são opostos pelo vértice )
  • os segmentos  AB  e  DE  são paralelos.
  • Portanto,  recai no teorema fundamental.
  • Caso  LAL  ( caso  lado-ângulo-lado ) Dois triângulos que tenham: dois lados correspondentes proporcionais,  e, o ângulo entre eles congruente são semelhantes.
  •  ≅  
  •  =  

Dessa forma: ED  ≅  BA CB  ≅  AF   ( são alternos e internos ) Assim,  pelo teorema sobre ângulos alternos e internos: Sendo o ângulo correspondente: E os lados proporcionais: Clique para ver a Demonstração

  1. Tomando   ΔDEC  ≅  ΔA′B′C′   conforme figura abaixo.
  2. ED  ≅  BA
  3.  =  
  4. Tomando o ponto  F  no segmento  AC  de forma que  AF  ≅  CD,  e

Dessa forma os ângulos correspondentes são: E os lados proporcionais são: a partir do ponto  F  com ângulo congruente ao ângulo  , constrói-se o segmento  FG,  de forma que   FG  ≅  CE. A figura abaixo ilustra a construção. Assim,  por construção:

GA  ≅  ED

FG  ≅  CE AF  ≅  CD Pelo critério  LAL  de congruência de triângulos,  então: ΔAGF  ≅  ΔDEC Dessa forma:

AG  ≅  DE

CE  ≅  FG  e  AF  ≅  DC

Como   GA  ≅  ED  e  AF  ≅  DC  então:

FG // EC  e daí   FG // BC. Pode-se observar na figura que pelo teorema de Tales:

  •  =  
  •  =  
  • Logo,    =    =  
  • Caso  LLL  ( caso  lado-lado-lado ) Dois triângulos que tenham: os três lados proporcionais são semelhantes.
  •  =    =  

Como  AG  =  DE   e   AF  =  CD,  então: Sendo os lados proporcionais: Clique para ver a Demonstração

  1. Tomando  ΔDEC  ≅  ΔA′B′C′  conforme figura abaixo:
  2.  =    =  
  3. Tomando o ponto  F  no segmento  AC  de forma que  AF  ≅  CD

Dessa forma os lados proporcionais são: Para concluir a demonstração é necessário que: os ângulos correspondentes sejam conguentes. Tomando o ponto  G  no segmento  AB  de forma que  AC  ≅  DE A figura abaixo ilustra a construção.

  • FG  ≅  CE
  • FG  ≅  CE
  • E como  FG  ≅  CE,  então,  observando a figura abaixo.
  • CE  ≅  AF   ( são opostos pelo vértice )
  • os segmentos  AB  e  DE  são paralelos.
  • Portanto,  DC  ≅  AC

Assim,  por construção: Pelo critério  LLL  de congruência de triângulos,  ΔAGF  ≅  ΔDEC E como  ΔAGF  ≅  ΔDEC,  se conclui que: AF  ≅  DC GA  ≅  BA Se vê que: CB  ≅  AF   ( são alternos e internos ) Assim,  pelo teorema sobre ângulos alternos e internos,

Exercícios Resolvidos

R01 — Verifique se os triângulos  ΔABC  e  ΔDEF  são semelhantes. Sendo  AB  =  6,  AC  =  12,  BC  =  9,  DE  =  6,  DF  =  4  e  EF  =  8.

  1. Colocando os triângulos na mesma posição para comparar melhor:   É fácil observar que:
  2.  ≅  
  3.  ≅  
  4.  =    =  
  5.  =    que simplificando por  2  dá  
  6.  =    que simplificando por  3  dá  
  7.  =    que simplificando por  4  dá  
  8. Portanto,  os dois triângulos são semelhantes.

 ≅   Por consequência: Assim,  a comparação é entre: ΔABC e ΔFDE  ( vértices correspondentes ) Dessa forma os lados proporcionais são: Como  AB  =  6  e  DF  =  4,  então: Como  BC  =  9  e  DE  =  6,  então: Como  AC  =  12  e  EF  =  8,  então:

R02 — Sabendo que,  na figura abaixo: AB // CD, AB  =  6, AE  =  8, BE  =  4, CE  =  10. Determine  CD.

Os ângulos BA e DC são opostos pelo vértice. Logo são congruentes. Pelo teorema de Tales se verifica que:

  • AE e CE são proporcionais a BE e DE.
  •  =    =  
  • Tomando apenas    =  
  •  =  x
  •  =  x
  • Portanto,  CD  =  7,5
  • R03 — Sabendo que a figura abaixo é um paralelogramo: Mas não é um losango, e que:
  • AB = 8  e  BD = 7, determine AC.
  • Como é um paralelogramo então: AB // CD Daí:
  • CA  ≅  BD  ( pois são alternos e internos )

Dessa forma os triângulos: ΔEAB e ΔECD  são semelhantes pelo caso  LAL,  portanto: Fazendo o produto dos meios igual ao produto dos extremos: CE  ⋅  AB  =  AE  ⋅  CD Pelos dados: CE  =  10, AB  =  6, AE  =  8 e considerando CD  =  x, então: 10  ⋅  6  =  8  ⋅  x 60  =  8 x 7,5  =  x E também  AC // BD Logo:

  1. AB  ≅  DC  ( pois também são alternos e internos )
  2.  =    =  
  3.  =  1
  4. Portanto,  AC  =  7
  5. R04 — Sabendo que,  na figura abaixo:
  6. BC // DE,  determine o medida do segmento  BE,  se:
  7. Pelo teorema fundamental  os triângulos: ΔABC e ΔAED  são semelhantes. Assim:
  8.  =    =  
  9. Tomando apenas     =  
  10.  =  x
  11. Portanto,  a medida do segmento  BE  é  5.
Leia também:  Como Ligar Para Um Numero Que Me Bloqueou?

Colocando os dois triângulos na mesma posição: Então  ΔACB  ~  ΔDBC  ( pelo caso   AA ) Independente do valor de  BC,  a razão de semelhança é  1. Então: AC  =  BD AB  =  30,  AC  =  18  e  AD  =  15. Fazendo o produto dos meios igual ao produto dos extremos: AD  ⋅  AB  =  AC  ⋅  AE Pelos dados: AB  =  30,  AC  =  18,  AD  =  15 e considerando  AE  =  x 15  ⋅  30  =  18  ⋅  x 450  =  18 x 25  =  x,  ou seja,  AE  =  25 Pode-se observar na figura que   BE  =  AB  −  AE,  logo: BE  =  30  −  25 BE  =  5

R05 — Na figura abaixo,  BA  ≅  DB  e  CB  ≅  CD. Sendo  AB  =  12,  AC  =  9,  CD  =  4.  Determine  BC e BD.

  • Como  BA  ≅  DB  e  CB  ≅  CD,  então: ΔABC ~ ΔBDC  ( pelo caso  AA )
  •  =    =  
  • Tomando apenas    =  
  • x2  =  36

Assim: Pelos dados: AB  =  12, AC  =  9, CD  =  4  e considerando BC  =  x. Fazendo o produto dos meios igual ao produto dos extremos: BC  ⋅  BC  =  AC  ⋅  CD x  ⋅  x  =  9  ⋅  4 x  =  ±  √36 x  =  ±  6  ( o negativo não é válido ) Logo,  BC  =  6. Da igualdade:

  1.  =  
  2. y  =  
  3. Portanto,  BC  =  6  e  BD  =  8

Tem-se: BD  ⋅  AC  =  AB  ⋅  BC Considerando  BD  =  y, tem-se: y  ⋅  9  =  12  ⋅  6 9 y  =  72 y  =  8

R06 — Considere que na figura abaixo: os lados do  ΔABC  são proporcionais aos lados do  ΔDEF. E que  AB  =  6,  DE  =  8  e  BC  =  3,  determine  EF.

  • Como os lados são proporcionais então: ΔABC  ~  ΔDEF  ( pelo caso  LLL ) Assim:
  •  =    =  
  • Tomando apenas    =  
  •  =  x
  • Portanto,  EF  =  4

Pelos dados: AB  =  6, DE  =  8, BC  =  3 e considerando EF  =  x. Fazendo o produto dos meios igual ao produto dos extremos: DE  ⋅  BC  =  AB  ⋅  EF 8  ⋅  3  =  6  ⋅  x 24  =  6 x 4  =  x

Exercícios Propostos

P01 — 

P02 — 

Semelhança de triângulos | Blog do Estratégia Vestibulares

Semelhança de triângulos é uma técnica simples. Além de resolver problemas que são aplicações diretas deste assunto, ela pode ajudar bastante no desenvolvimento de questões mais complicadas de geometria plana.

Assim, é importante saber quando dois triângulos podem ser considerados semelhantes e que informações úteis podemos tirar disso.

No que consiste a semelhança de triângulos?

Dois triângulos são ditos semelhantes se possuírem os três ângulos congruentes e cada par de lados homólogos possuírem a mesma proporção.

Sendo que, lados homólogos são os dois lados que são opostos a ângulos iguais, cada um em um triângulo. Além disso, a notação para dois triângulos semelhantes é o símbolo “~”.

Como Mostrar Que Dois Triangulos Sao Semelhantes?

A razão k é chamada de razão de semelhança. Observe que se k for igual a 1, então os dois triângulos são congruentes.

Teorema Fundamental da Semelhança

Se tivermos uma reta paralela a um dos lados de um triângulo e que intercepta os outros dois lados, então a reta determina um triângulo semelhante ao original. No caso abaixo a reta paralela a intercepta os outros dois lados em D e E e então

Como Mostrar Que Dois Triangulos Sao Semelhantes?

Esse teorema é provado por paralelismo e pelo teorema de Tales. Pois, por paralelismo temos que e , pelo teorema de Tales, temos que . Além disso, traçamos por E uma paralela a AC. Assim, o paralelogramo ADEF nos dá que , e novamente pelo teorema de Tales, temos que . Assim, temos que além dos triângulos terem os três ângulos iguais, , ou seja, os triângulos são semelhantes.

Dica forte

Por esse teorema, vemos que ter retas paralelas nos problemas, pode ser uma boa indicação para usar semelhanças de triângulos na resolução.

Casos de semelhança de triângulos

Como geralmente nas questões temos poucas informações acerca
dos lados e dos ângulos do triângulo, os casos abaixo vão nos ajudar a
identificar triângulos semelhantes.

  • Caso AA (Ângulo, Ângulo):

Se dois triângulos possuem dois ângulos iguais, então eles são semelhantes. Lembrando que para saber quais lados são proporcionais, sempre olhamos a qual ângulo cada lado está oposto.

  • Caso
    LAL (Lado, Ângulo, Lado):

Se já soubermos que entre dois triângulos há dois pares de lados homólogos com a mesma proporção, e os ângulos entre os dois lados de cada um dos triângulos forem iguais, então os triângulos são semelhantes. Como esse caso é mais confuso, a figura abaixo ajuda a entendê-lo.

Se , então .

  • Caso LLL (Lado, Lado, Lado):

Se um triângulo possui os três lados proporcionais aos três
lados de um outro triângulo com a mesma razão, então esses triângulos são semelhantes.

Propriedades

A semelhança de triângulos é reflexiva, simétrica e transitiva. Por reflexiva, entendemos que um triângulo é semelhante a si mesmo.

Por simétrica, se um triângulo é semelhante a um outro, este segundo é semelhante ao primeiro. Já por transitiva, se e , então .

Portanto, podemos conseguir com um dos casos mencionados acima descobrir que dois triângulos são semelhantes, e com outro caso provar que um dos triângulos é semelhante a um terceiro.

Assim, conseguimos demonstrar que dois triângulos são semelhantes mesmo que os dois não tenham informações em comum o suficiente para se encaixar em algum dos casos.

Como cai Semelhança de Triângulos no vestibular?

Uma boa tática para resolver questões é “fazer aparecer” semelhança de triângulos através de alguma construção, como traçar uma paralela. Por isso, é sempre bom, inicialmente, desenhar a figura quando for questões de geometria plana. A questão abaixo, do vestibular do ITA, exemplifica isso.

Questão ITA 2014

  • Se um triângulo isósceles , cuja área mede , a razão entre as medidas da altura e da base é igual a . Das informações abaixo:
  • I – As medianas relativas aos lados e medem ;II – O baricentro dista do vértice ;III – Se é o ângulo formado pela base com a mediana , relativa ao lado , então ,
  • é(são) verdadeira(s)
  • A ( ) apenas I.
  • B ( ) apenas II.
  • C ( ) apenas III.
  • D ( ) apenas I e III.
  • E ( ) apenas II e III.

Resolução Comentada

Com as informações do enunciado podemos construir a figura abaixo. Note que se , então, pela razão dada, . Como o triângulo é isósceles, então a mediana é, também, altura.

Assim, através da área do triângulo, podemos calcular o valor de x:

Uma boa construção a se fazer para esse problema, é a perpendicular a partindo de , sendo o ponto médio de . Isso porque podemos calcular o valor da mediana por Pitágoras se tivermos o valor de . E é aí que entra a semelhança de triângulos.

  1. Os triângulos CDM e CPA são semelhantes (caso AA) e como então .
  2. Além disso,

De forma análoga, a mediana . Assim, o item I é verdadeiro.

  • Aplicando agora a semelhança de triângulos nos triângulos BPG e BDM (caso AA), temos que
  • Assim, o item II é falso.

Por fim, , ou seja, o item III também é falso. Assim, a resposta da questão é o item A.

Essa questão poderia ser resolvida sem a construção de , e sem utilizar semelhança de triângulos, entretanto, dessa maneira, a questão acaba saindo mais rápido pois as contas ficaram bem mais simples.

Assim, vemos que a semelhança de triângulos é um artifício muito bom na resolução de questões, mas é necessário que você treine mais um pouco para pegar o jeito e conseguir enxergar os triângulos que são semelhantes em uma questão.

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