Como Mostar Que O Periodo Positivo Minimo Da Funçao?

As funções trigonométricas são funções angulares obtidas através do auxílio do círculo trigonométrico.

Destacamos as principais funções trigonométricas:

• Função Seno;
• Função Cosseno;
• Função Tangente.

Considerando um número real x qualquer e um ponto P do círculo trigonométrico, associamos esse ponto a um único valor para as funções trigonométricas seno e cosseno, e chamaremos de sen(x) e cos(x).

Esse ponto P mostrado acima pode ser qualquer um dos valores do círculo trigonométrico, em graus ou radiano.

Função Trigonométrica Seno

A função seno é uma função periódica que possui imagem dentro do intervalo [-1, 1], isto é, -1 ≤ sen(x) ≤ 1, onde x é um número real.

Domínio

O domínio da função é o conjunto dos números reais, ou seja, sen(x) é definido para qualquer x real, então o domínio de f(x) = sen(x) é o conjunto R. Logo: D = R

Imagem

A função sen(x) assume o valor máximo igual a 1, isso ocorre quando o valor de x representa um arco com primeira determinação π/2. E o valor mínimo igual a -1, quando x representa um arco com primeira determinação 3π/2.

Então, o conjunto imagem para a função f(x) = sen(x) é o intervalo [-1, 1], assim: Im = [-1, 1]

Arcos Notáveis

Os arcos notáveis são valores, em radianos, para os ângulos 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270° e 360°.

Então, assumindo que x seja um dos valores notáveis acima, temos a seguinte tabela com os valores em radianos para os ângulos em graus e o seno para o respetivo ângulo.

xsen(x)

π/6	1⁄2
π/4	√2/2
π/3	√3/2
π/2	1
π
3π/2	-1
2π

A partir dessa tabela podemos construir o gráfico da função seno.

Gráfico da Função Seno

Vamos construir o gráfico da função colocando os valores notáveis no plano cartesiano. O comportamento da função seno é uma variação entre -1 e 1, por esse motivo o seno é chamada de função periódica.

Período

O período é a curva do gráfico no intervalo a 2π, e é chamado de senoide. Então, o período do seno é 2π.

Paridade

A paridade da função seno é dada por sen(-x) = – sen(x). Assim, f(x) = sen(x) é ímpar.

Sinal

No círculo trigonométrico a função tem sinal positivo nos quadrantes I e II e sinal negativo nos quadrantes III e IV. Considerando uma volta completa no ciclo.

Pelo gráfico podemos ver quando a função assume valores negativos, positivos e zero.

Função Trigonométrica Cosseno

A função cosseno também é uma função periódica que possui imagem no intervalo [-1, 1], isto é, para um x real -1 ≤ cos(x) ≤ 1.

Domínio

O domínio da função cosseno é o conjunto dos números reais, isto é, cos(x) é definido para qualquer x real, então o domínio de f(x) = cos(x) é o conjunto R. Assim: D = R

Imagem

A função cos(x) assume valor máximo igual a 1, ocorre quando o valor de x representa um arco com primeira determinação . E o valor mínimo igual a -1, quando x representa um arco com primeira determinação π.

Assim, o conjunto imagem para f(x) = cos(x) é o intervalo [-1, 1]. Logo: Im = [-1, 1]

Arcos Notáveis

Os arcos notáveis são valores, em radianos, para os ângulos 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270° e 360°.

xcos(x)

	1
π/6	√3/2
π/4	√2/2
π/3	1⁄2
π/2
π	-1
3π/2
2π	1

Esses valores nos auxiliará na construção do gráfico da função cosseno.

Gráfico

Usando os valores dos arcos notáveis acima, vamos construir o gráfico da função no plano cartesiano. A função cosseno é uma variação entre -1 e 1. Também é uma função periódica.

Período

O período é a curva do gráfico no intervalo a 2π, e é chamado de cossenoide. Então, o período da função é 2π.

Paridade

A paridade é dada por cos(-x) = cos(x). Assim, f(x) = cos(x) é par.

Sinal

No círculo trigonométrico a função cosseno tem sinal positivo nos quadrantes I e IV e negativo nos quadrantes II e III. Considerando uma volta completa no ciclo.

Pelo gráfico podemos ver quando a função cosseno assume valores negativos, positivos e zero.

Função Trigonométrica Tangente

A função tangente para um número real x é a razão entre o seno e o cosseno desse número. É uma função ilimitada, ou seja, não é limitada por um intervalo como as funções seno e cosseno, mas é periódica.

Domínio

A função tangente existe, se, e somente se, o cos(x) ≠ 0, então definimos o domínio da função f(x) = tan(x) como:

D = {x ∈ R | x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z}

Imagem

• A tangente de um número real x pode assumir qualquer valor, já que a função tangente é ilimitada. Dessa forma, a imagem da função é:
• Im = ]-∞, ∞[
• Ou seja, pode assumir infinitos valores negativos ou positivos.

Arcos Notáveis

Os arcos notáveis são valores, em radianos, para os ângulos 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270° e 360°.

xtan(x)

π/6	√3/3
π/4	1
π/3	√3
π/2	∄
π
3π/2	∄
2π

Este símbolo (∄) significa não existe.

Esses valores nos auxiliará na construção do gráfico da função tangente.

Gráfico

Com os valores notáveis para a função em mãos, vamos construir o gráfico. A função tangente é ilimitada, isto é, não está dentro de um intervalo. É uma função periódica, ou seja, ocorre em determinados períodos.

Período

O período da função é π.

Paridade

A paridade da função é dada por tan(-x) = – tan(x). Assim, f(x) = tan(x) é ímpar.

Sinal

No círculo trigonométricoa função tangente tem sinal positivo nos quadrantes I e III e negativo nos quadrantes II e IV. Considerando uma volta completa no ciclo.

Pelo gráfico podemos ver quando a função assume valores negativos, positivos e zero.

G

Esse é um resumo das funções trigonométricas mais importantes da trigonometria.

Exercícios de trigonometria

Veja os exercícios no link abaixo:

• Exercícios de trigonometria

Funções trigonométricas: definições, exemplos e exercícios resolvidos

Em uma região litorânea, é possível se observar a famosa maré. Em resumo, é um fenômeno que se repete em intervalos de tempos iguais. Esse é um exemplo de fenômeno periódico.

Esses fenômenos podem ser descritos por uma função trigonométrica, assunto desta matéria. Além disso, estudaremos também o que é uma função periódica, seu domínio, imagem e contradomínio.

Funções periódicas

No nosso cotidiano, encontramos diversos fenômenos que se repetem em um mesmo intervalo de tempo. É dado o nome de período para o menor intervalo de tempo em que ocorre essa repetição.

Tais fenômenos podem ser descritos por funções periódicas. Podemos então definir uma função periódica da seguinte maneira:

Uma função f: A ⟶ B é periódica se existir um número real positivo p tal que f(x) = f(x + p), ∀ xϵA. O menor valor positivo de p é chamado de período de f.

O que são funções trigonométricas

No primeiro ano do ensino médio, a princípio, se estuda o seno, cosseno e tangente de um triângulo retângulo. Nesta seção vamos associar um número real ao seno, cosseno e tangente.

Para se realizar tal associação, utilizaremos a função seno, função cosseno e função tangente.

As funções seno e cosseno possuem os mesmas características em suas definições. Contudo, se diferenciam apenas em sua representação gráfica, que será apresentada mais à frente.

Por outro lado, a função tangente tem certas limitações em seu domínio, pois ela não definida em certos pontos no eixo dos número reais. Porém, sua imagem abrange todos os números reais.

Função seno

Seja x um número real e P sua imagem na circunferência trigonométrica. Assim, a função seno é uma função definida como f:R ⟶R que associa cada número real x em seu seno, ou seja, f(x) = sen(x).

Juntamente com a imagem, podemos observar que a função seno é periódica, tendo seu domínio em todos os número reais e sua imagem podendo ser apenas de -1 até 1.

A função seno troca seu sinal (positivo ou negativo) dependendo da região de onde está. Ela é positiva no 1° e 2° quadrantes e negativa no 3° e 4° quadrantes.

Além disso, a função seno tem período igual a 2π. Ela é conhecida também como sendo uma função ímpar, pois sen(-x) = -sen(x).

Gráfico da função seno

O gráfico da função seno recebe o nome de senoide. A imagem representa apenas um período da função seno, pois como ela é periódica, essa representação irá se repetir durante todo o domínio.

Função cosseno

Seja x um número real e P sua imagem na circunferência trigonométrica. Dessa forma, a função cosseno é uma função definida como f:R ⟶R que associa cada número real x em seu cosseno, ou seja, f(x) = cos(x).

Diferente da função seno, a função cosseno associa a cada número real x o eixo das abcissas do ponto correspondente a sua imagem P.

Assim como na função seno, existe também uma alternância no sinal da função cosseno. No 1° e 4° quadrantes a função cosseno é positiva. Já no 2° e 3° quadrantes ela é negativa.

Por fim, a função cosseno é uma função par, pois cos(-x) = cos(x). Seu período é o mesmo da função seno, ou seja, 2π.

Gráfico da função cosseno

O gráfico da função cosseno, representado na figura anterior, é conhecido como cossenoide. Ele é quase idêntico ao gráfico da função seno, tendo apenas a diferença de estar defasado em π/2.

Função tangente

A função tangente é definida como sendo uma função f tal que f: {x ∈ R│x ≠ de π/2 + kπ; K ∈ Z} ⟶R, ou seja, temos que f(x) = tan(x).

Podemos observar que existe uma certa limitação para o domínio da função tangente, ou seja, ela não é definida para certos valores de x.

Assim como nas outras funções, o sinal da função tangente também varia no círculo trigonométrico. No 1° e 3° quadrantes, a função tangente é positiva. Por outro lado, no 2° e 4° quadrantes ela é negativa.

O período da função tangente é π. Por fim, essa função é definida como uma função ímpar pois tan(-x) = -tan(x).

Gráfico da função tangente

UEL

No gráfico acima, podemos observar algumas retas verticais, que são chamadas de assíndotas verticais. Elas recebem esse nome devido ao fato de que nos pontos por onde elas passam, não existe ponto em comum com o gráfico.

Entenda mais sobre funções trigonométricas

Selecionamos alguns vídeos explicativos que podem auxiliar no entendimento desse assunto, confira:

Função seno

• Nesse vídeo, podemos entender um pouco mais sobre a definição de uma função seno.

Função consseno

2. Da mesma forma, nesse vídeo conseguimos ter um aprofundamento melhor sobre a função cosseno e suas definições e gráfico.
3. As funções trigonométricas são importantes para nossos estudos, pois elas são necessárias em alguns exemplos práticos do nosso dia a dia.

Referências

Gelson Iezzi, Matemática: ciência e aplicações;

Luiz Roberto Dante, Matemática: contexto & aplicações.

Matemática Essencial :: Trigonometria :: Funções Trigonométricas Circulares

Trigonometria

Funções Trigonométricas Circulares

Anderson Quilles Cláudio Bitto Sônia F.L.Toffoli

Ulysses Sodré

Material desta página

As funções circulares constituem o objeto fundamental da trigonometria circular e são importantes devido à sua periodicidade pois elas podem representar fenômenos naturais periódicos, como as variações da temperatura terrestre, o comportamento ondulatório do som, a pressão sanguínea no coração, os níveis de água dos oceanos, etc.

2 Funções reais

Devemos ter um bom conhecimento das definições e propriedades que caracterizam a teoria de funções reais, iniciaremos então com a definição de funções.

Função: Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função (f) de A em B, é uma correspondência que associa a cada elemento de A um único elemento de B.

O conjunto A é o domínio de (f), e o conjunto B é o contradomínio de (f). O elemento (y) de (B) que corresponde ao elemento (x) de (A) de acordo com a lei (f), é denominado imagem de (x) por (f) e é indicado por (y=f(x)).

• O conjunto de todos elementos de (B) que são imagem de algum elemento de (A) é denominado conjunto Imagem de (f).
• Uma função (f) é denominada função real de variável real, se o domínio e contradomínio de (f) são subconjuntos do conjunro dos números reais.
• Função periódica: Uma função real (f), com domínio em (A subset R), é dita periódica se, existe um número real positivo (T), tal que para todo (xin A), vale (f(x+T) = f(x)).
• Podem existir muitos números reais (T) com esta propriedade, mas o menor número positivo (T), que satisfaz a esta condição recebe o nome de período fundamental.

Exemplo: A função real definida por (f(x)=x-[x]), onde ([x]) é a parte inteira do número real (x) que é menor ou igual a (x). Esta função é periódica de período fundamental (T=1).

Função limitada: Uma função (f) de domínio (A subset R) é limitada, se existe um número real positivo (L), tal que para todo (xin A), valem as desigualdades: (-L leq f(x) leq L). Estas duas desigualdades podem ser escritas como (|f(x)| leq L).

1. Exemplo: A função real definida por (f(x)=dfrac{2x}{1+x^2}), é limitada pois
2. [-1 leq frac{2x}{1+x^2} leq 1]
3. e seu gráfico está aqui:

3 Funções crescentes e decrescentes

Seja (f) uma função definida em um intervalo real (I), (x) e (y) dois valores quaisquer pertencentes a (I), com (x

Funções sin, cos e tg | trigonometrianarede

  Seja  f  a função que a cada amplitude  x  (em radianos) de um ângulo no círculo trigonométrico faz corresponder o número real  sin x . 

 

 

 

 

Representação gráfica

 

 

 

 

 

 

 

Domínio

 

•   O domínio de  f  é ℝ.
• Contradomínio
•   Qualquer que seja a amplitude  x  tem-se  sin x ∈ [-1,1] , ou seja, -1≤ f(x) ≤ 1.
•   O contradomínio de  f   é [-1, 1].
• Período
•   Sabe-se que  x  e  x + 2kπ (k ∈ Z) têm o mesmo seno, isto é:
• sin x = sin (x + 2kπ), k ∈ Z
•   Qualquer que seja a amplitude  x  pertencente ao domínio de  f , tem-se  f (x + 2kπ) = f (x), k ∈ Z.
•   Diz-se que a função seno é periódica  e 2π é o período positivo mínimo.
•   As características da função seno, por exemplo, no intervalo [0, 2π] são as mesmas que em qualquer intervalo do tipo:
• [2kπ, 2π + 2kπ], com k ∈ Z

Paridade

 

1.   Atendendo a que  sin(-x)= – sin x, conclui-se que:
2. ∀x ∈ Df , f (-x) = -f (-x), isto é, a função f é ímpar.
3.   A representação gráfica de qualquer função ímpar é simétrica em relação à origem do referencial.

Variação

 

•   O estudo feito da variação do seno, em termos de círculo trigonométrico, é confirmado através da observação da representação gráfica ao lado.
•   Se x ∈ [ 0, π/2 ], a função seno é crescente.
•   Se x ∈ [ π/2, 3π/2 ], a função seno é decrescente.
•   Se x ∈ [ 3π/2, 2π ], a função seno é crescente.
•   Valor mínimo: -1
•   Valor máximo: 1
• Do estudo da função seno, resulta o seguinte:

 

Função Cosseno

 

  Seja g a função que a cada amplitude  x  tem (em radianos) de um ângulo no círculo trigonométrico faz corresponder o número real  cos x .

  Tal como a função seno, a função cosseno é periódica, de período positivo mínimo 2π, e o estudo de alguma generalidades é feito de forma idêntica ao que foi feito para a função seno.

Representação gráfica

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Domínio

 

1.   O domínio de g  é ℝ.
2. Contradomínio
3.   Qualquer que seja a amplitude x , tem-se  cos x ∈ [-1, 1], ou seja, -1 ≤ g (x) ≤ 1.
4.   O contradomínio de g é [-1, 1].

Paridade

 

•   Atendendo a que  cos(-x)= cos x, conclui-se que:
• ∀x ∈ Dg, g (-x) = g (x), isto é, a função g é par.
•   A representação gráfica de qualquer função par é simétrica em relação ao eixo das ordenadas.

Variação

 

  Se x ∈ [ 0, π ], a função cosseno é decrescente

1.   Se x ∈ [ π, 2π ], a função cosseno é crescente.
2.   Valor mínimo: -1
3.   Valor máximo: 1
4.   As principais conclusões da função cosseno são apresentadas no quadro seguinte:

        x → sin x 

• Df = ℝ
• D'f = [-1, 1]
• Zeros: x = kπ, k ∈ Z
• FUnção periódica: período positivo mínimo 2π
• Máximo 1 para x = π/2 + 2kπ, k ∈ Z
• Mínimo  -1 para  x = 3π/2 + 2kπ, k ∈ Z
• Função ímpar: ∀ x ∈ Df, f (-x) = – f (x)

         x → cos x 

• Dg = ℝ
• D'g = [-1, 1]
• Zeros: x = π/2 + kπ, k ∈ Z
• Função periódica: período positivo mínimo 2π
• Máximo 1 para x = 2kπ, k ∈ Z
• Mínimo  -1 para  x = π + 2kπ, k ∈ Z
• Função par: ∀ x ∈ Dg, g (-x) = g (x)

  Seja  h  a função que a cada amplitude  x  (em radianos) de um ângulo no círculo trigonométrico faz corresponder o número real  tg x . 

Se o lado extremidade do ângulo orientado (Ox, OA) está contido no eixo Oy, a tangente não está definida. Daqui se conclui que o domínio da função tangente não é ℝ.

Representação gráfica

 

 

 

 

 

 

 

 

Domínio

 

•   O domínio da função  h  é:
•          { x ∈ ℝ: x ≠  π/2 + kπ, k ∈ Z } ou  ℝ/ { x ∈ ℝ: x =  π/2 + kπ, k ∈ Z }
• Contradomínio
•   O contradomínio da função tangente é ℝ.
• Período
•   Atendendo a que tg (x + kπ) = tg x, k ∈ Z, conclui-se que a função tangente é periódica e o período positivo mínimo é π.
• ∀x ∈ Dh , h (x + π) = h (x)
•   Assim, basta fazer o estudo da função num intervalo de amplitude π, por exemplo, no intervalo ]-π/2, π/2[.

Paridade

 

1.   A função h é ímpar, atendendo a que:
2. ∀x ∈ Dh , tg(-x) = – tg x 
3.   O gráfico da função tangente é simétrico em relação à origem do referencial.
4. Variação
5.   Repara que a função tangente è crescente em qualquer intervalo (e não reunião de intervalos) em que a função esteja definida.

6.   Se ]a, b[ ⊂ ]-π/2 + kπ, π/2 + kπ[ , k ∈ Z , então a função tangente é crescente em ]a, b[ .
7.   As principais conclusões conclusões da função tangente são apresentadas no seguinte quadro.

• Seja D = { x ∈ ℝ: x ≠  π/2 + kπ, k ∈ Z } e h : D → ℝ

                                                                                      x → tg x 

• Dh = D
• D'h = ℝ
• Função periódica: período positivo mínimo π
• Zeros: x = kπ, k ∈ Z
• Função crescente em qualquer intervalo onde esteja definida
• Não tem máximo nem mínimo
• Função ímpar: ∀ x ∈ Dh, tg (-x) = -tg x