Como Justificar Que Duas Retas Definem Um Plano?

GEOMETRIA EUCLIDEANA
Pontos,Rectas e Planos.

  A parte da geometria a que nos propomos abordar, faz
parte daquilo a que  chamamos de geometria euclideana. �
Euclides quem deu nome a este campo da geometria, por ter sido
o primeiro matem�tico que se ocupou da organiza��o dos conhecimentos da geometria no
plano e no espa�o.

Os conceitos de ponto, recta e plano s�o conceitos que n�o podem ser definidos. Podem
apenas ser imaginados intuitivamente.� ent�o a sua no��o e a forma como se relacionam
no espa�o que vamos passar a abordar.

NO��O DE PONTO

A no��o de ponto pode ser-nos dada
intuitivamente pelo mais pequeno gr�o de areia desprovido de espessura, ou ent�o pela
marca deixada no papel pelo toque de um l�pis bem afiado.
                                                                                                   
Um ponto n�o tem dimens�o e � usualmente representado por uma pinta e identificado com
uma letra mai�scula.

NO��O DE RECTA

Imagina que o teu l�pis se prolonga infinitamente
e � desprovido de espessura. Esta imagem conduz-nos � no��o de recta.

Outras
situa��es do dia-a-dia podem tamb�m nos levar � no��o de recta, como por exemplo, um
fio “infinitamente” grande e bem esticado ou os cabos da electricidade.

                                                   
Uma recta � constitu�da por uma infinidade de pontos .Uma recta tem dimens�o um. � representada
por um “tra�o” e usualmente identificada por uma letra min�scula.

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MODO DE DEFINIR UMA RECTA

Na geometria euclideana,
o Axioma 1diz-nos que “dois pontos definem uma recta“.
Este termo “definem” significaque determinam unicamente. Neste caso dizer que
“dois pontos definem uma recta” � dizer que dados dois pontos h� uma
e uma s� recta que os cont�m.

POSI��O RELATIVA DE
  RECTAS E  PONTOS

Tr�s pontos dizem-se colineares se
e s� se existir uma recta que passe pelos tr�s pontos. Note-se que neste contexto, dizer
que “uma recta passa por um ponto” � o mesmo que dizer que esse ponto pertence
� recta.

                                                    
Um ponto diz-se exterior a uma recta se n�o pertencer � recta, isto �,
se a recta n�o passar por ele.

                                                                                                              
Por qualquer ponto passam infinitas rectas.

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POSI��ES RELATIVAS DE 
RECTAS NUM PLANO

Para relacionar rectas
num plano, podes intuitivamente pensar na forma como dois l�pis se podem posicionar em
cima de uma mesa. Tendo em conta esta imagem, podes facilmente concluir que num plano duas
rectas podem verificar um e um s� destes casos:                                                                                                                         

1. Se as duas rectas t�m um e
um �nico ponto em comum ent�o dizem-se rectas concorrentes.

  • Se as duas rectas concorrentes formam um �ngulo de 90� ent�o dizemos que s�o rectas perpendiculares e a intersec��o das rectas d� um �nico ponto.

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  • Sen�o as duas rectas concorrentes dizem-se obl�quas e a intersec��o das rectas tamb�m d� um �nico ponto.

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2. Sen�o
as duas rectas dizem-se paralelas e dividem-se em dois grupos.

  • Se as duas rectas n�o t�m nenhum ponto em comum ent�o as rectas dizem-se estritamente paralelas.

Como Justificar Que Duas Retas Definem Um Plano?

  • Se as duas rectas t�m uma infinidade de pontos em comum, as rectas dizem-se paralelas em sentido lato ou coincidentes.

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NO��O DE PLANO                                                                                                    

Imagina, o tampo de uma mesa sem espessura e prolongado at� ao
infinito. A sala onde a mesa se encontra, ficou dividida em dois e se pensarmos que o dito
“tampo” se prolonga infinitamente, pode-se at� dizer que todo o universo se
dividiu em dois.

Intuitivamente esta no��o de “tampo infinito”, induz-nos �
defini��o de plano.

                                                                                                        
Mas, existem outras situa��es do quotidiano, que nos tornam poss�vel descrever um
plano, tais como:
                                                                                                            -o
ch�o de uma sala, bem como o tecto, ou a superf�cie de um lago, ajudam-nos a visualizar
um plano, pois s�o superf�cies planas, que podemos imaginar desprovidas de espessura e
prolongadas infinitamente.

Um plano tem dimens�o dois. � representado por um paralelograma e � usualmente
identificado por uma letra do alfabeto grego.

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MODOS DE DEFINIR UM PLANO

    Relembrando que tr�s pontos dizem-se
colineares se e s� se uma recta incidente aos tr�s pontos estamos em condi��es de
falar na forma como Euclides definiu um plano.

                                                                                                                                   
Na geometria Euclideana, o Axioma 2 diz-nos
que” tr�s pontos definem um plano“.

Repare ent�o na
representa��o de um   plano � definido pelos pontos A,
B e C diferentes e n�o colineares.

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    Este axioma depara-se constantemente� nossa frente.
Pensa numa mesa, certamente que o mais importante � a sua estabilidade e esta est�
associada aos “p�s” em que assenta o tampo.

Partindo do princ�pio que os p�s
de uma dada mesa s�o todos iguais e uniformes, poderiamos ent�o pensar que quantos mais
p�s tiver a mesa mais est�vel ela �. Mas isso n�o � verdade.

Por exemplo se todos os
p�s estiverem dispostos sob uma mesma recta,a mesa, por muitos p�s que tenha, n�o se
aguentar� em p�.  No entanto Euclides resolve esta situa��o aplicando Axioma
2
.

Este diz que “tr�s pontos n�o colineares definem um plano“.
No caso da nossa mesa ela fica mais est�vel (nas condi��es j� descritas) se por
exemplo os seus p�s assentarem em 3 pontos n�o colineares no tampo.

No entanto existem outras formas de definir um plano. Estas outras
formas aparecem sob a forma de teoremas deduzidos a partir dos axiomas de Euclides.  
Temos ent�o:

  • uma recta e um ponto exterior a essa recta definem um plano“.

Como Justificar Que Duas Retas Definem Um Plano?

  • duas rectas concorrentes definem um plano“.

Como Justificar Que Duas Retas Definem Um Plano?

  • duas rectas paralelas definem um plano“.
  • POSI��ES
    RELATIVAS DE RECTAS A PLANOS NO ESPA�O
  • Um exemplo intuitivo desta primeira
    situa��o � considerar a superf�cie de um lago como um plano e uma cara como uma recta
    e depois imaginar que se mergulha uma parte da cara no lago.
  • Se a recta e o plano t�m, como neste exemplo intuitivo, um e um s� ponto em comum, dizemos que a recta e o plano s�o secantes e a intersec��o de ambos d� o ponto de intersec��o da recta com o plano.  
  • Se a recta � secante ao plano e � perpendicular a todas as rectas contidas nesse plano, dizemos que a recta � perpendicular a esse plano.
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Euclides demonstrou o chamado crit�rio de perpendicularidade de recta e plano. Trata-se de um teorema que nos diz que “se uma recta � perpendicular a duas rectas concorrentes de um plano ent�o ela � perpendicular ao plano“.

  • Se a recta e o plano t�m mais do que um ponto em comum ent�o, pelo Axioma 3, dizemos que a recta est� contida nesse plano.Dizemos tamb�m que a recta e o plano que a contem s�o paralelos em sentido lato e a intersec��o de ambos d� a recta.
  • Se a recta e o plano n�o t�m nenhum ponto em comum dizemos que a recta e o plano s�o paralelos em sentido lato e a intersec��o de ambos d� o conjunto vazio.

Euclides demonstrou aquilo a que ele chamou Crit�rio de Paralelismo de Recta e Plano que nos diz   que “se uma recta � paralela a uma recta contida numplano, ent�o � paralela a esse plano“.

POSI��ES
RELATIVAS DE DOIS PLANOS NO ESPA�O

Para falarmos das posi��es relativas de
dois planos no espa�o vamos come�ar por recordar o Axioma 4
que nos diz que “a intersec��o de dois planos concorrentes � uma recta“.Chamamos
ent�o planos concorrentes a quaisquer dois planos que tenham uma e uma
s� recta em comum. Os planos concorrentes dividem-se em dois grupos consoante o �ngulo
que formam entre si:

  • dois planos concorrentes dizem-se perpendiculares se formarem entre si um �ngulo de 90�, isto �, se em cada um deles existir uma recta perpendicular ao outro. A intersec��o de ambos d� uma recta(r).

O teorema que diz “se um plano cont�m uma recta perpendicular a outro, ent�o os dois planos s�o perpendiculares” foi demons- trado por Euclides e este deu-lhe o nome de Crit�rio de Perpendi- cularidade de Dois Planos.

  • Sen�o os dois planos concorrentes chamam-se obl�quos, e a sua intersec��o d� uma recta ( r ).

Se os dois planos n�o s�o concorrentes dizemos que s�o paralelos
e dividem-se em dois casos:

  • Dois planos dizem-se coincidentes ou paralelos em sentido lato se tiverem mais do que uma recta em comum.
  • Dois planos dizem-se estritamente paralelos se n�o existir nenhum ponto em comum aos dois planos,e a intersec��o de ambos � nula.

Euclides demonstrou o Crit�rio de Paralelismo de
Dois Planos
que nos diz que “se um plano cont�m duas rectas
concorrentes a outro plano ent�o os dois planos s�o paralelos
“.

r//� e s//� e rc� e sc� ent�o �//�
  1. Vamos agora, enunciar alguns resultados demonstrados por Euclides e que est�o associados aos crit�rios de
    perpendicularidade e de paralelismo, enuciados anteriormente.
  2. Teorema 1: Dois planos distintos paralelos a um terceiro,
    s�o estritamente
                           
    paralelos entre si.
  3. Este teorema, garante a transitividade da rela��o de paralelismo.
  4. Teorema 2: Se dois planos s�o perpendiculares � mesma
    recta, ent�o s�o
                           
    paralelos.
  5. Teorema 3: Um plano corta planos paralelos
    segundo rectas paralelas.
  6. POSI��ES RELATIVAS DE RECTAS NO
    ESPA�O
  7. Agora que j� definimos o que � um plano e como estes
    se relacionam no espa�o j� estamos em condi��es de definir as posi��es relativas de
    rectas no espa�o.
  8. No espa�o duas rectas podem ser classificadas como complanares
    ou n�o complanares.
  • Duas rectas dizem-se complanares se e s� se est�o contidas num mesmo plano. A forma como estas se relacionam posicionalmente nesse plano j� foi abordada anteriormente em “posi��es relativas de duas rectas num plano”. Vamos apenas resumir este cap�tulo esquematicamente.
  • Se n�o existe nenhum plano que contenha as duas rectas ent�o dizemos que estas s�o n�o complanares.
  • Duas rectas r e s n�o complanares dizem-se perpendiculares
    se r for perpendicular a duas rectas secantes complanares a s.
  • Sen�o as rectas n�o complanares dizem-se
    obl�quas.
  • PROJEC��O ORTOGONAL DE UM PONTO
    SOBRE UMA RECTA E SOBRE UM PLANO

Seja r uma recta e A um ponto n�o pertencente a essa
recta. Pelo ponto A passa uma e uma s� recta perpendicular a r que a intersecte. Ao ponto
B, ponto de intersec��o dessa recta com r, chamamos projec��o ortogonal de A
sobre r.

      Seja � um plano e A um ponto n�o
pertencente a esse plano. Existe uma e uma s� recta que passa pelo ponto A e �
perpendicular ao plano �. Como A n�o pertence ao plano � ent�o est� contida em �.

Ao
ponto B de intersec��o de s com � chamamos projec��o ortogonal de A sobre �.

  1. PLANO MEDIADOR
  2. Chama-se plano mediador do segmento [AB] que cont�m o
    ponto m�dio deste segmento.
  3. Qualquer ponto do plano mediador est� � mesma dist�ncia de A e de B.

Retas Perpendiculares: Definição e Teorema – Matemática Básica

Dizemos que duas retas são perpendiculares se elas se cruzam num ponto comum entre si e formam um ângulo de 90°. Esse ângulo é chamado de ângulo reto.

Para representarmos que duas retas r e s são perpendiculares entre si, utilizamos o símbolo . Assim: r ⊥ s.

As retas perpendiculares são um caso particular das retas concorrentes.

Perpendicularidade entre duas Retas

Para que duas retas sejam perpendiculares entre si, é necessário que elas sejam concorrentes. Além disso, o ângulo formado deve ser de 90°.

Dessa forma, seja r uma reta com coeficiente angular m1 e uma reta s com coeficiente angular m2.

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As r e s serão perpendiculares entre si se formarem 4 (quatro) ângulos de 90°, então r ⊥ s se, e somente se,

  • m1 . m2 = -1 ou
  • m2 = – 1/m1 ou
  • m1 = – 1/m2.
  • Portanto, se duas retas são perpendiculares entre si, então o coeficiente angular de uma é o oposto do inverso do coeficiente angular da outra, e vice-versa.
  • Exemplo:
  • Seja as retas r e s no plano cartesiano e perpendiculares no ponto P.

Como Justificar Que Duas Retas Definem Um Plano?

Seja o ângulo de inclinação de s representado por β, assim o ângulo de inclinação de r deverá ser 90° + β. Com isso, temos:

Como Justificar Que Duas Retas Definem Um Plano?

Sabendo que ms = tan(β) e mr = – 1/tan(β). Então:

Como Justificar Que Duas Retas Definem Um Plano?

Podemos demonstrar isso aplicando as relações sobre a soma de arcos:

Como Justificar Que Duas Retas Definem Um Plano?

Portanto, podemos concluir que o coeficiente angular de r é:

Como Justificar Que Duas Retas Definem Um Plano?

Logo:

Como Justificar Que Duas Retas Definem Um Plano?

Concluímos que as retas r e s são perpendiculares entre si, pois o coeficiente angular de r é igual ao oposto do inverso do coeficiente angular de s.

Como saber se duas retas são perpendiculares entre si?

Existe um método prático para sabermos se duas retas são perpendiculares entre si. Para isso é necessário que conheçamos a equação geral das duas retas. Através da equação podemos verificar a perpendicularidade usando os coeficientes x e y.

Portanto, se duas r e s tem equação igual a ar x + bry + cr = 0 e asx + bsy + cs = 0, respectivamente. Então, podemos verificar se r e s são perpendiculares fazendo:

ar . as + br . bs = 0

Assim, se a soma do produto acima for 0 (zero), então r e s são perpendiculares.

Retas Perpendiculares no Plano

Uma reta r é perpendicular a um plano α, se r forma um ângulo reto (90°) a duas retas concorrentes no plano α. Generalizando, uma reta r é perpendicular a um plano α se r for perpendicular a todas as retas contidas no plano.

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Teorema das três perpendiculares entre as retas

Seja r uma reta perpendicular a um plano α em um ponto qualquer P no plano. Seja s outra reta contida em α e passando por P.

Seja t outra reta contida em α, mas que não passa por P e perpendicular a s em outro ponto Q no plano α. Seja R um ponto qualquer de r.

Então, podemos dizer que a reta RQ é perpendicular à reta t.

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Se duas retas são perpendiculares num mesmo plano, então elas são paralelas: r ⊥ α e s ⊥ α ⇔ r // s;

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Se dois planos são perpendiculares a uma mesma reta, então eles são paralelos: α ⊥ r e β ⊥ r ⇔ α // β;

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Exercício Resolvido

  1. Determine a equação da reta r, sabendo que s é perpendicular à reta r, e s tem equação 3x + 2y – 2 = 0 e passa pelo ponto P(1, 2).
  2. Resolução:
  3. Vamos encontrar o coeficiente angular de s:

Sabemos que r é perpendicular a s, então:

  • Encontramos um ponto da reta r e o seu coeficiente angular. Então, a equação de s é:
  • y – y0 = mr . (x – x0)
  • Sendo que x0 e y0 são dados pelo ponto P da questão.
  • Portanto,

Logo a equação de r é: – 2x + 3y – 4 = 0

Exercícios propostos

Acesse e veja os exercícios propostos e resolvidos no link a seguir:

  • Exercícios propostos sobre retas perpendiculares

Posições relativas de duas retas

Duas retas podem ser representadas em um plano cartesiano de forma paralela ou concorrente. Mas cada uma dessas formas possui características e elementos que ajudam na identificação da forma que estão dispostas no plano, sem ser preciso construir o gráfico.

Retas paralelas Duas retas são paralelas se não tiverem nenhum ponto em comum ou todos em comum e seus coeficientes angulares forem iguais ou não existirem. Como Justificar Que Duas Retas Definem Um Plano? As retas u e t são paralelas e distintas. E por serem perpendiculares ao eixo Ox os seus coeficientes angulares não irão existir. Como Justificar Que Duas Retas Definem Um Plano? As retas u e t são paralelas e coincidentes, pois possuem todos os pontos em comum. E por serem perpendiculares ao eixo Ox os seus coeficientes angulares não irão existir. Como Justificar Que Duas Retas Definem Um Plano? As retas u e t são paralelas e distintas. E os seus coeficientes angulares serão iguais. Como Justificar Que Duas Retas Definem Um Plano? As retas u e t são paralelas e coincidentes, pois possuem todos os pontos em comum. E os seus coeficientes angulares serão iguais. Retas concorrentes

Duas retas são concorrentes se possuírem apenas um ponto em comum. E seus coeficientes angulares poderão ser diferentes ou um existir e o outro não.

Como Justificar Que Duas Retas Definem Um Plano? As retas u e t são coincidentes e as inclinações das retas são diferentes de 90°. Assim, seus coeficientes angulares serão diferentes. Como Justificar Que Duas Retas Definem Um Plano? As retas u e t são concorrentes e a inclinação da reta t é de 90°, sendo assim seu coeficiente angular não irá existir, mas o coeficiente da reta u existe, pois não é perpendicular ao eixo Ox.

Publicado por: Danielle de Miranda

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Retas Concorrentes: o que é, exemplos e exercícios

  • Duas retas distintas que estão em um mesmo plano são concorrentes quando possuem um único ponto em comum.
  • As retas concorrentes formam entre si 4 ângulos e de acordo com as medidas desses ângulos, elas podem ser perpendiculares ou oblíquas.
  • Quando os 4 ângulos formados por elas são iguais a 90º, elas são chamadas de perpendiculares.
  • Na figura abaixo as retas r e s são perpendiculares.

Como Justificar Que Duas Retas Definem Um Plano?Retas perpendiculares

Já se os ângulos formados forem diferentes de 90º, elas são chamadas de concorrentes oblíquas. Na figura abaixo representamos as retas u e v oblíquas.

Como Justificar Que Duas Retas Definem Um Plano?Retas Oblíquas

Retas Concorrentes, Coincidentes e Paralelas

Duas retas que pertençam a um mesmo plano podem ser concorrentes, coincidentes ou paralelas.

Enquanto as retas concorrentes apresentam um único ponto de intersecção, as retas coincidentes possuem pelo menos dois pontos em comum e as retas paralelas não possuem pontos em comum.

Como Justificar Que Duas Retas Definem Um Plano?

Posição Relativa de Duas Retas

Conhecendo as equações de duas retas podemos verificar suas posições relativas. Para isso devemos resolver o sistema formado pelas equações das duas retas. Assim temos:

  • Retas concorrentes: o sistema é possível e determinado (um único ponto em comum).
  • Retas coincidentes: o sistema é possível e determinado (infinitos ponto em comum).
  • Retas paralelas: o sistema é impossível (nenhum ponto em comum).
  1. Exemplo:
  2. Determine a posição relativa entre a reta r: x – 2y – 5 = 0 e a reta s: 2x – 4y – 2 = 0.
  3. Solução:
  4. Para encontrar a posição relativa entre as retas dadas, devemos calcular o sistema de equações formado por suas retas, assim temos:

Ao resolver o sistema por adição encontramos a seguinte equação 0y = – 8, como não existe solução para essa equação, ele é impossível. Desta forma, as duas retas são paralelas.

Ângulos Opostos pelo Vértice

Duas retas concorrentes formam dois pares de ângulos. Estes ângulos possuem um ponto em comum que é chamado de vértice.

Os pares de ângulos que são opostos pelo vértice são congruentes, ou seja, possuem a mesma medida.

Na figura abaixo, representamos os ângulos AÔB e CÔD que são opostos pelo vértice, assim como os ângulos AÔC e BÔD.

Como Justificar Que Duas Retas Definem Um Plano?

Ponto de Intersecção entre Duas Retas Concorrentes

O ponto de intersecção entre duas retas concorrentes pertence às equações das duas retas. Desta forma, podemos encontrar as coordenadas desse ponto em comum, resolvendo o sistema formado pelas equações dessas retas.

  • Exemplo:
  • Determine as coordenadas de um ponto P comum as retas r e s, cujas equações são x + 3y + 4 = 0 e 2x – 5y – 2 = 0, respectivamente.
  • Solução:
  • Para encontrar as coordenadas do ponto, devemos resolver o sistema com as equações dadas. Assim temos:

Resolvendo o sistema, temos:

Substituindo esse valor na primeira equação encontramos:

Logo, as coordenadas do ponto de intersecção são , ou seja .

Saiba mais, lendo também:

  • Retas Perpendiculares
  • Retas
  • Cônicas

Exercícios Resolvidos

1) Em um sistema de eixo ortogonais, – 2x + y + 5 = 0 e 2x + 5y – 11 = 0 são, respectivamente, as equações das retas r e s. Determine as coordenadas do ponto de intersecção de r com s.

2) Quais as coordenadas dos vértices de um triângulo, sabendo que as equações das retas-suporte de seus lados são – x + 4y – 3 = 0, – 2x + y + 8 = 0 e 3x + 2y – 5 = 0 ?

3) Determine a posição relativa das retas r: 3x – y -10 = 0 e 2x + 5y – 1 = 0.

Plano definido por 2 retas concorrentes ou paralelas

Alfabeto da reta: reta frontal.

Alfabeto da Reta – Retas de topo, vertical e frontal

Alfabeto da Reta – Retas Oblíqua e Perfil

Pirâmide reta com base num plano não projetante

Exercícios de retas concorrentes

Polígonos e círculos horizontais e frontais

Polígonos e círculos de perfil

O alfabeto do plano: planos projetantes

Alfabeto do plano: plano oblíquo

O alfabeto do plano: plano de perfil

O alfabeto do plano: plano de rampa e passante

Plano definido por 3 pontos não colineares

Plano definido por 2 retas concorrentes ou paralelas

Plano definido por uma reta e um ponto exterior

Retas notáveis do Plano Oblíquo

Interseção de dois planos projetantes

Interseção de um plano projetante com um plano não projetante

Interseção entre dois planos não projetantes

Interseção de três planos

Interseção de uma reta com um plano

Paralelismo: retas paralelas e reta paralela a plano

Paralelismo: planos paralelos

Perpendicularidade: reta perpendicular a um plano

Perpendicularidade: planos perpendiculares

Pirâmides retas e oblíquas com bases horizontais ou frontais

Pirâmides retas e oblíquas com base de perfil

Cones retos e oblíquos com bases horizontais e frontais

Cones retos e oblíquos com base de perfil

Cilindros retos e oblíquos com base de perfil

Prismas retos e oblíquos com bases horizontais e frontais

Prismas retos e oblíquos com base de perfil

Paralelepípedos com faces horizontais e frontais

Paralelepípedos com faces de perfil

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