Como calcular o volume de um cubo a partir da área de uma das faces

Cubo é um prisma regular limitado por 6 quadrados congruentes.

Cubo de aresta medindo L, ou seja, todas as faces são quadrados cujos lados medem L.

Área externa do cubo

Considerando um cubo de aresta medindo L, cada uma das suas faces (quadrados de lado medindo L) possuem área igual a L²:

• Portanto, a área externa (ou área total) do cubo é dada por:
• 
• 

Diagonal de um cubo

Sabemos que o diagonal de um quadrado de medida L é :

1. Pelo Teorema de Pitágoras:
2. 
6. A diagonal do cubo (D) é, em consequência, obtida por:
7. Também pelo Teorema de Pitágoras:
8. Portanto, a diagonal de um cubo de lado L é dada por:

Volume do cubo

No texto volume do prisma, vemos que o volume de um prisma é dado por: , onde é a área da base e h é a altura.

No caso do cubo, a base (como todas as faces) é um quadrado de lado L, logo, tem área igual a L². A altura será também L. Portanto, o volume do cubo é L³, pois:

Paralelepípedo

O paralelepípedo é um prisma cuja base é um paralelogramo. No caso de um paralelepípedo reto, o mais importante, temos que o paralelogramo da base é um retângulo:

Paralelepípedo reto de medidas a, b e c.

Área externa de um paralelepípedo reto

1. Sabendo que a área de um retângulo de lados a e b é ab, ou seja, a vezes b, podemos calcular a área externa de um paralelepípedo reto da seguinte maneira:
2. Logo, a área externa (ou total) de um paralelepípedo reto é dada por:

Volume do paralelepípedo

• No texto volume do prisma, vemos que o volume de um prisma é dado por: , onde é a área da base e h é a altura.
• No exemplo acima, a base é um retângulo de lados a e b, logo, tem área igual a ab e a altura mede c. Portanto, o volume do paralelepípedo é abc, pois:

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/geometria-espacial/cubo-e-paralelepipedo/

Volume do Paralelepípedo, do Cubo e do Cone

 Quando falamos sobre volume de um sólido, estamos nos referindo à capacidade desse sólido. Veremos a seguir como calcular o volume do paralelepípedo, do cubo e do cone circular reto.

Vale a pena ressaltar que, ao calcular o volume de um sólido, é necessário que todas as suas medidas possuam a mesma notação.

Por exemplo, se uma das medidas está em centímetros e a outra é dada em metros, é necessário transformar uma delas para torná-la igual às demais.

Um paralelepípedo retangular é um sólido de seis lados que possui faces retangulares planas e paralelas. Tente imaginar o paralelepípedo abaixo como uma piscina.

Se nós queremos saber a capacidade dele, é o mesmo que dizer que queremos descobrir quanta água cabe nele.

Para chegarmos a uma resposta, precisaremos analisar alguns dados desse sólido, como a largura e o comprimento do retângulo da base, bem como a altura ou profundidade.

Para calcular o volume desse paralelepípedo, devemos multiplicar as medidas identificadas por a, b e c

Portanto, para calcular o volume do paralelepípedo, temos a seguinte fórmula:

V = a . b . c

Se considerarmos um paralelepípedo em que a largura da base meça 10 m, o comprimento da base, 5 m, e a altura do paralelepípedo meça 8 m, teremos o seguinte volume:

V = (10 m) . (5 m) . (8 m)

V = 400 m3

Temos um tipo especial de paralelepípedo retângulo, o cubo — um sólido com seis faces quadradas e com os mesmos comprimentos de lado. Temos abaixo um cubo cujas arestas medem a.

Para calcular o volume do cubo, devemos multiplicar a medida da aresta elevada à terceira potência

Para calcular o volume do cubo, vamos multiplicar as arestas, de modo que faremos a terceira potência dessa aresta:

V = a . a . a

• V = a3
• Se dissermos, por exemplo, que a aresta desse cubo mede 3 m, o volume dele será:
• V = (3m)3
• v = 27 m3

Outro sólido que analisaremos é o cone circular reto. Esse sólido tem por características uma base circular de raio r, uma altura h, que forma um ângulo reto com a base, e uma geratriz g. A geratriz de um cone é o segmento de reta que liga o topo da altura às extremidades da base. Na figura a seguir, conseguimos ver com mais facilidade cada uma dessas estruturas:

Para calcular o volume do cone circular reto, devemos multiplicar a altura por π e pelo quadrado do raio, bem como dividir o resultado por 3

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Para calcularmos a área do cone circular reto, faremos:

V = ⅓ π.r2.h

Considere um cone cuja base tem raio 2 m e a altura mede 8 m. Considere π = 3,14. Calculemos o volume do cone:

V = ⅓ π.r2.h

                                                                       V =   1   . 3,14 . 22 . 8                                                                                3

V = 3,14 . 4 . 8       3

1. V = 100,48         3
2. V ≈ 33,49 m3
3. Então o volume do cone é de, aproximadamente, 33,49 m3.
4. Suponha agora que temos um cone circular reto em que a geratriz mede 5 m e a altura, 4 m. Para calcularmos o volume desse sólido, precisamos encontrar a medida do raio, para tanto, utilizaremos o Teorema de Pitágoras:
5. g2 = h2 + r2
6. r2 = g2 – h2
7. r2 = 52 – 42
8. r2 = 25 – 16
9. r2 = 9
10. r = 3 m
11. Agora que temos o valor do raio, podemos calcular o volume do cone utilizando a fórmula:

V = ⅓ π.r2.h

                                                                     V =   1  . 3,14 . 32 . 4                                                                               3

V = 3,14 . 9 . 4       3

• V = 113,04         3
• V = 37,68 m3
• Portanto, o volume desse cone circular reto é 37, 68 m3.
• Por Amanda Gonçalves
• ​Graduada em Matemática 

Área do cubo

A área é a medida da superfície de uma figura ou sólido geométrico. O seu cálculo é feito por meio de algumas fórmulas simples, mas diferentes para cada sólido ou figura geométrica. Desse modo, existe uma expressão matemática específica para o cálculo da área do cubo.

Imagem de um cubo ou hexaedro regular

O cubo é um poliedro regular que possui seis faces quadradas. Dessa maneira, todas as arestas do cubo são congruentes.

Quando se trata de sólidos geométricos, existem algumas possibilidades de cálculo de área: área da base, área lateral e área total. Geralmente, a área total é a soma das áreas das bases e a área lateral.

Área da base

Os cubos são poliedros classificados como prismas. Esses poliedros possuem duas bases congruentes. Desse modo, sabendo que todas as bases do cubo são quadrados, podemos afirmar que as suas duas bases são quadrados congruentes e, por isso, possuem a mesma área.

• A fórmula para calcular a área de uma das bases do cubo é a mesma usada para a área do quadrado:
• Ab = l2
• “l” é o lado do quadrado ou a aresta do cubo.
• Área lateral
• A área lateral de um prisma é dada pela soma das áreas das faces laterais (face lateral é qualquer face que não é base). Para facilitar a visualização, observe a planificação do cubo da imagem anterior na imagem seguinte:

Note que as bases foram colocadas lateralmente, e as quatro faces laterais ficaram na coluna central. Observe também que as faces laterais de um cubo também são quadrados congruentes às bases. Dessa maneira, tendo em vista que as arestas desse poliedro medem l, a fórmula para calcular uma face lateral é a seguinte:

1. Afl = l2
2. A área lateral será a área de uma face lateral multiplicada por quatro:
3. Al = 4·l2
4. Isso é o mesmo que somar as quatro faces laterais do cubo.
5. Área total
6. A área total de um prisma é dada pela soma das áreas laterais e das bases. Como o cubo possui duas bases, para calcular sua área total, devemos proceder conforme a seguinte expressão:

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• At = Al + Ab + Ab
• E isso é equivalente a:
• At = Al + 2·Ab
• Tendo em vista que todas as áreas laterais e das bases de um cubo são iguais e escrevendo a fórmula acima e a função da área da base, podemos afirmar que a área de um cubo é:
• A = 6·Ab
• Exemplos

1º) Um artista plástico foi convidado a pintar uma escultura na forma de dado que seria doada posteriormente para uma cidade A. Essa escultura possui formato de cubo e aresta com 2 m.

A face 1 desse cubo deve ficar voltada para o chão, fazendo com ele um ângulo de 15° e estando suspensa a 2,5 m de altura. Essa face deve ser pintada de vermelho, assim como a oposta a ela.

As outras devem ser pintadas em azul.

1. a) Supondo que uma lata pequena de tinta seja suficiente para pintar 2 m2 do cubo, quantas dessas latas serão usadas para pintar a sua parte vermelha?
2. Solução: Podemos tomar a parte vermelha do cubo como suas bases. Para calcular a área delas, podemos usar a fórmula:
3. Ab = l2
4. Substituindo o valor da aresta, teremos:
5. Ab = 22
6. Ab = 4

Desse modo, uma das bases mede 4 m2. As duas juntas, portanto, medem 8 m2. Para pintá-las, serão usadas quatro latas de tinta.

• b) Supondo que uma lata pequena de tinta seja suficiente para pintar 2 m2 do cubo, quantas dessas latas serão usadas para pintar a sua parte azul?
• Solução: A área em azul representa a área lateral do cubo e pode ser calculada da seguinte maneira:
• Al = 4·l2
• Al = 4·22
• Al = 4·4
• Al = 16
• O cubo possui 16 m2 de área lateral e, portanto, serão usadas oito latas de tinta para pintá-la.
• c) Qual é a área total do cubo?
• Solução: Basta utilizar a fórmula dada anteriormente para calcular a área do cubo.
• A = 6·Ab
• A = 6·4
• A = 24 m2

Publicado por: Luiz Paulo Moreira Silva

Cubo

Rosimar Gouveia

Professora de Matemática e Física

O cubo é uma figura que faz parte da geometria espacial. É caracterizado como um poliedro (hexaedro) regular ou ainda, um paralelepípedo retângulo com todas as faces e arestas congruentes e perpendiculares (a = b = c).

Tal como o tetraedro, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro é considerado um dos “Sólidos de Platão” (sólidos formados por faces, arestas e vértices).

Composição do Cubo

O cubo é formado por 12 arestas (segmentos de retas) congruentes, 6 faces quadrangulares e 8 vértices (pontos).

Diagonais do Cubo

As linhas diagonais são segmentos de reta entre dois vértices e, no caso do cubo tem-se:

Diagonal Lateral: d = a√2Diagonal do Cubo: d = a√3

Área do Cubo

• A área corresponde a quantidade de espaço (superfície) necessária para determinado objeto.
• Nesse caso, para calcular a área total do cubo, que possui 6 faces, utilizamos a seguinte fórmula:
• At = 6a2
  Sendo,
• At: área totala: aresta
• Para tanto, a área lateral do cubo, ou seja, a soma das áreas dos quatro quadrados que formam esse poliedro regular, é calculada a partir da fórmula abaixo:
• Al = 4a2
• Sendo,
• Al: área laterala: aresta
• Além disso, é possível calcular a área da base do cubo, dada pela fórmula:
• Ab = a2
• Sendo,
• Ab: área da basea: aresta

Volume do Cubo

1. O volume de uma figura geométrica corresponde ao espaço ocupado por determinado objeto. Assim, para calcular o volume do cubo utiliza-se a fórmula:
2. V = a3
3. Sendo,
4. V: volume do cuboa: aresta

Exercícios Resolvidos

1) A área total de um cubo é 54 cm². Qual a medida da diagonal desse cubo?

Ver Resposta

• Para calcular a área do cubo utiliza-se a fórmula:
• At = 6a²
  54 = 6a²
  54 /6 = a²
  a = √9
• a = 3 cm
• Logo, a aresta mede 3 cm. Por conseguinte, para calcular a diagonal do cubo, utiliza-se a fórmula:
• dc = a√3
  dc = 3√3cm²
• Assim, o cubo de área 54 cm², possui diagonal de 3√3cm².

2) Se a diagonal de um cubo mede √75 cm, qual a área total desse cubo?

Ver Resposta

1. Para calcular a diagonal do cubo, utilizamos:
2. d = a√3
   √75 = a√3 (fatorar o 75 que está dentro da raiz)
   5√3 = a√3
   a = (5√3) / √3
3. a = 5 cm
4. Assim, as arestas desse cubo medem 5cm; para calcular a área do cubo, tem-se:
5. At = 6a²
   At = 6 x 5²
   At = 150 cm²
   Logo, a área total do cubo de diagonal √75 cm é de 150 cm².

3) Se a soma das arestas de um cubo é 84 cm, qual o volume do cubo?

Ver Resposta

• Primeiramente, é importante lembrar que o cubo possui 12 arestas, e que o volume é dado em centímetros cúbicos, logo:
• 84 cm/12 = 7
  V = 73
• V = 343 cm3
• Portanto, o volume do cubo de arestas de 84 cm, é de 343 cm3.

Saiba mais em:

• Geometria Espacial
• Fórmulas de Matemática
• Sólidos Geométricos

Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.

Área e volume do cubo

A área de um sólido geométrico é um número real que está relacionado com a medida da superfície mais externa desse objeto, isto é, com a sua “casca”. Já o volume é um número real que diz respeito à medida da capacidade de um sólido geométrico, ou seja, ao que cabe dentro do sólido. Veja agora como calcular a área e o volume do cubo.

• Área do cubo
• Para calcular a área do cubo, devemos apenas elevar a medida de uma de suas arestas ao quadrado e multiplicar o resultado por seis. Matematicamente:
• AC = 6l2
• Exemplo: Qual é a área de um cubo cujas arestas medem 15 cm?
• AC = 6l2
• AC = 6·152
• AC = 6·225
• AC = 1350 cm2

Vale ressaltar que o valor da aresta não é fornecido em todos os problemas. Para calcular a área do cubo sem essa medida, é interessante conhecer também o cálculo da área do prisma.

Área do prisma e área do cubo

O cubo é um sólido geométrico pertencente ao conjunto dos prismas. Sendo assim, os fundamentos para o cálculo da área do cubo são os mesmos para o cálculo da área dos prismas: somar as áreas das duas bases e as áreas das faces laterais. Na figura a seguir, veja um esquema que mostra as duas bases e as quatro faces laterais de um cubo.

A área de um prisma é obtida a partir da fórmula:

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1. AP = AB + AL
2. AB é a soma das áreas das duas bases, e AL é a soma das áreas das quatro faces laterais. A fórmula acima pode ser escrita da seguinte maneira:
3. AP = Ab + Ab + Al + Al +Al +Al
4. AP = 2Ab + 4Al
5. Para concluir a fórmula para a área do cubo, basta notar que Ab e Al são áreas de quadrados congruentes. Considere que o lado mede l, a fórmula para a área do cubo é a seguinte:
6. AC = 2l2 + 4l2
7. AC = 6l2
8. Volume do cubo
9. Para determinar o volume do cubo, basta elevar a medida de sua aresta ao cubo. Matematicamente:
10. VC = l3
11. A base de um cubo é um quadrado, por isso, tanto suas dimensões quanto sua altura possuem a mesma medida. Considere que a aresta do cubo mede l, então:
12. A = AB·h
13. A = l2·l
14. A = l3
15. Exemplo:

A área de uma das faces de um cubo mede 25 cm2. Calcule o volume desse cubo.

É necessário descobrir a medida da aresta desse cubo. Para tanto, pense que a área da base de um cubo é igual à área de um quadrado. Para descobrir a aresta do cubo, basta descobrir a medida do lado desse quadrado. Observe:

• A = l2
• 25 = l2
• l = √25
• l = 5
• O volume desse cubo é:
• V = l3
• V = 53
• V = 125 cm3
• Videoaula relacionada:

Exercícios sobre área do cubo – Mundo Educação

Estes exercícios testarão suas habilidades para resolver questões sobre a área do cubo, sólido formado por seis quadrados congruentes

Questão 1

• (Ufop) A área total de um cubo cuja diagonal mede 5√3 cm é:
• a) 140 cm²
• b) 150 cm²
• c) 120√2 cm²
• d) 100√3 cm²
• e) 450 cm²

ver resposta

Questão 2

1. Sabendo que a diagonal da base de um cubo mede 25√2 m, qual é a área desse cubo?
2. a) 3750 m2
3. b) 625 m2
4. c) 25 m2
5. d) 3000 m2
6. e) 4000 m2

ver resposta

Questão 3

A aresta de um cubo mede 2x + 5 cm. Sabendo que a área desse cubo é igual a 486 cm2, qual é a medida de sua aresta em centímetros?

• a) 2 cm
• b) 4 cm
• c) 5 cm
• d) 9 cm
• e) 81 cm

ver resposta

Questão 4

1. Sabendo que a área de um cubo é igual a 1536 cm, qual é a área da base desse cubo?
2. a) 16 cm2
3. b) 32 cm2
4. c) 6 cm2
5. d) 34 cm2
6. e) 256 cm2

ver resposta

Resposta Questão 1

• A diagonal do cubo cuja aresta mede “a” pode ser encontrada pelo teorema de Pitágoras. Quando isso é feito, a diagonal “d” desse cubo é:
• d = a·√3
• Sabendo que a diagonal desse cubo mede 5·√3, teremos:
• d = a·√3
• 5·√3 = a·√3
• a·√3 = 5·√3
• a = 5·√3       √3
• a = 5
• Como sabemos que a medida da aresta desse cubo é 5, sua área é dada pela seguinte expressão:
• A = 6·a2
• A = 6·a2
• A = 6·52
• A = 6·25
• A = 150 cm2
• Gabarito: alternativa B.

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Resposta Questão 2

A diagonal da base de um cubo é a hipotenusa do triângulo cujos catetos são iguais, que são arestas desse cubo. Logo, se encontrarmos a medida dessas arestas pelo teorema de Pitágoras, poderemos calcular a área do cubo.

1. Como os catetos são iguais, por meio do teorema de Pitágoras, teremos:
2. (25√2)2 = x2 + x2
3. (25)2(√2)2 = 2×2
4. 625·2 = 2×2
5. 625·2 = x2 2       
6. 625 = x2
7. √x2 = √625
8. x = 25
9. Sabendo que a aresta do cubo é 25, calcularemos a área a partir da expressão a seguir:
10. A = 6·a2
11. A = 6·252
12. A = 6·625
13. A = 3750 m2
14. Gabarito: letra A.

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Resposta Questão 3

• A expressão que determina a área de um cubo é a seguinte:
• A = 6·a2
• Substituindo os valores fornecidos no exercício, teremos:
• 486 = 6·(2x + 5)2
• 486 = (2x + 5)2 6                
• 81 = (2x + 5)2
• √81 = √(2x + 5)2
• 9 = 2x + 5
• – 2x = 5 – 9
• – 2x = – 4
• 2x = 4
• x = 2
• Para encontrar a aresta, ainda falta substituir x na expressão dada no início:
• 2x + 5 =
• 2·2 + 4 = 9 cm
• Gabarito: alternativa D.

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Resposta Questão 4

A base de um cubo é um quadrado. Seu lado é igual à aresta do cubo. Logo, podemos calcular a área desse quadrado se descobrirmos primeiro a medida da aresta do cubo. Para tanto, usaremos a expressão a seguir:

1. A = 6·a2
2. 1536 = 6·a2
3. 1536 = a2 6       
4. 256 = a2
5. √a2 = √256
6. a = 16 cm
7. Agora basta calcular a área do quadrado, que possui lado igual a 16 cm. Essa área é determinada pela seguinte expressão:
8. A = l2
9. A = 162
10. A = 256 cm2
11. Gabarito: letra E.

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