Como calcular a área da superfície de um prisma retangular

Prismas são figuras tridimensionais formadas por duas bases congruentes e paralelas, as bases, por sua vez, são formadas por polígonos convexos.

As outras faces que recebem o nome de faces laterais são formadas por paralelogramos.

Para determinar a área de um prisma, é necessário antes realizar sua planificação e, em seguida, calcular a área da figura planificada.

Leia também: Diferenças entre figuras planas e espaciais

Planificação de um prisma

A ideia da planificação é transformar uma figura de três dimensões em uma figura de duas dimensões. Na prática seria o equivalente a cortar sobre as arestas do prisma. Veja a seguir o exemplo de planificação de um prisma triangular.

Como Calcular a Área da Superfície de um Prisma Retangular

O mesmo processo pode ser adotado para todo prisma, entretanto, veja que, à medida que aumentamos o número de lados dos polígonos da base, a tarefa fica cada vez mais difícil. Por esse motivo, faremos as generalizações com base na planificação desse polígono.

Cálculo da área lateral

Observando a imagem do prisma triangular, temos que os paralelogramos ABFC, ABFD e ACDE são as faces laterais. Note que as faces laterais de um prisma sempre serão paralelogramos independentemente do número de lados dos polígonos da base, isso acontece, pois elas são paralelas e congruentes.

Observando a figura do prisma triangular, vemos também que temos três faces laterais.

Isso ocorre por conta do número de lados do polígono da base, ou seja, se as bases do prisma forem um quadrilátero, teremos quatro faces laterais, se as bases forem um pentágono, teremos cinco faces laterais, e assim sucessivamente. Dessa forma: o número de lados do polígono da base afeta a quantidade de faces laterais do prisma.

  • Portanto, a área lateral (AL) de qualquer prisma é dada pela área de uma face lateral multiplicada pela quantidade de faces laterais, ou seja, é a área do paralelogramo multiplicada pelo número de lados da face.
  • AL = (base · altura) · número de lados da face
  • Calcule a área lateral de um prisma hexagonal regular com aresta da base igual a 3 cm e altura igual a 11 cm.
  • O prisma em questão é representado por:

Como Calcular a Área da Superfície de um Prisma Retangular

  1. A área lateral então é calculada pela área do retângulo vezes a quantidade de lados do polígono da base, que é 6, logo:
  2. AL = (base · altura) · número de lados da face
  3. AL = (3 · 11) · 6
  4. AL = 198 cm2

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Cálculo da área base

Como Calcular a Área da Superfície de um Prisma Retangular Os prismas podem ter diferentes formatos.

A área da base (AB) de um prisma depende do polígono que a compõe. Como em um prisma temos duas faces paralelas e congruentes, a área da base é dada pela soma das áreas dos polígonos paralelos, isto é, duas vezes a área do polígono.

  • AB = 2 · área do polígono
  • Leia também: Áreas de figuras planas
  • Calcule a área da base do um prisma hexagonal regular com aresta da base igual a 3 cm e altura igual a 11 cm.

Como Calcular a Área da Superfície de um Prisma Retangular

A base desse prisma é um hexágono regular, e esse, visto de cima, fica:

Como Calcular a Área da Superfície de um Prisma Retangular

Observe que os triângulos formados no interior do hexágono são equiláteros, logo, a área do hexágono é dada por seis vezes a área do triângulo equilátero.

Como Calcular a Área da Superfície de um Prisma Retangular

Entretanto observe que, no prisma, temos dois hexágonos, logo, a área da base é duas vezes a área do polígono.

Como Calcular a Área da Superfície de um Prisma Retangular

Cálculo da área total

  1. A área total (AT) de um prisma é dada pela soma da área lateral (AL) com a área da base (AB).

  2. AT = AL + AB
  3. Calcule a área total do um prisma hexagonal regular com aresta da base igual a 3 cm e altura igual a 11 cm.
  4. Dos exemplos anteriores, temos que AL = 198 cm2 e AB = 27√3 cm2.

    Logo, a área total é dada por:

Como Calcular a Área da Superfície de um Prisma Retangular

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Um galpão tem o formato de um prisma que tem como base um trapézio, como mostra a figura.

Como Calcular a Área da Superfície de um Prisma Retangular

Deseja-se pintar esse galpão e sabe-se que o preço da tinta é de 20 reais por metro quadrado. Quanto será gasto para pintar esse galpão? (Dado: √2 = 1,4)

Solução

Inicialmente vamos determinar a área do galpão. Sua base é um trapézio, logo:

Como Calcular a Área da Superfície de um Prisma Retangular

  • Portanto, a área da base é:
  • AB = 2 ·Atrapézio
  • AB = 2 ·10
  • AB = 20 m2
  •             A área lateral em vermelho é um retângulo, e temos a parte de baixo, logo, essa área é:
  • AV = 2 · 4· 14
  • AV= 112 m2
  • A área em azul também é um retângulo, mas não temos sua base. Utilizando o teorema de Pitágoras no triângulo formado pelo trapézio, temos:
  • x2 = 22 + 22
  • x2 = 8
  • x = 2√2
  • Assim a área do retângulo em azul é:
  • AA = 2 ·14·2√2
  • AA = 54√2 m2
  • Portanto, a área lateral do prisma é igual a:
  • AL = 112 +  54√2
  • AL = 112 + 75,6
  • AL = 187,6 m2
  • E assim a área total desse prisma é:
  • AT= 20 + 187,6
  • AT= 207,6 m2
  • Como o preço da tinta é de 20 reais por metro quadrado, o valor gasto para pintar o galpão é:
  • 20 ·207,6 = 4.152 reais
  • Resposta: O valor gasto para pintar o galpão é de R$ 4.152,00
  • Por Robson Luiz
  • Professor de Matemática

Área do prisma

Se α e β são planos do espaço tridimensional, então o Prisma é um sólido geométrico definido como o conjunto de segmentos de retas paralelos que têm início em algum polígono do plano α e findam no plano β.

Para que essa definição seja válida, é necessário que o plano α seja paralelo ao plano β.

Dessa maneira, as faces do prisma contidas nos planos citados – chamadas de bases – são polígonos congruentes e as faces laterais são paralelogramos.

O cálculo da área do prisma depende do formato de suas bases, mas, em resumo, pode ser realizado somando-se a área das bases e as áreas laterais.

Primeiramente, discutiremos o cálculo da área das bases do prisma; posteriormente, a área lateral e, por fim, sua área total.

Área das bases do Prisma

Todo prisma possui duas bases iguais. Esse resultado decorre de sua definição, assim como aquela que garante que suas faces laterais são paralelogramos. O cálculo da área dessas duas bases depende de seu formato e deve ser realizado exatamente da maneira que é feito na Geometria Plana.

  • Se as bases forem triangulares, utilize a área do triângulo:
  • At = b·h        2
  • Como Calcular a Área da Superfície de um Prisma Retangular Prisma cujas bases são triângulos
  • Se forem paralelogramos, a fórmula para o cálculo é:
  • Ap = b·h
  • Como Calcular a Área da Superfície de um Prisma Retangular Prisma cujas bases são paralelogramos

Se as bases forem quadriláteros quaisquer ou polígonos com um número maior de lados, escolha um vértice e trace todas as diagonais do polígono que partam dele. Esse procedimento dividirá o polígono em triângulos, cuja fórmula para o cálculo da área é conhecida. Calculando a área dos triângulos, basta somá-las.

  1. Como Calcular a Área da Superfície de um Prisma Retangular As diagonais que partem de um único vértice dividem um polígono em triângulos
  2. A área total das bases de um prisma (Ab) é igual a duas vezes a área de uma de suas bases, uma vez que as bases de um mesmo prisma são congruentes.
  3. Área lateral do prisma
  4. As faces laterais de um prisma sempre serão paralelogramos, pois suas extremidades superior e inferior estão em planos paralelos e suas extremidades laterais são, por definição, segmentos paralelos.

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  • A área do paralelogramo é calculada pela seguinte fórmula:
  • Ap = b·h
  • Com b = base e h = altura do paralelogramo.
  • A área lateral do prisma pode ser calculada pela seguinte fórmula:
  • Al = n·Ap

*n é o número de lados de uma das bases. Isso acontece porque o número de lados de uma das bases é justamente o número de faces laterais do prisma. A fórmula acima também pode ser escrita na forma expandida seguinte:

Al = n·b·h

Área total do prisma

Para calcular a área total de um prisma, basta somar a área de suas bases e a área lateral.

Não existe uma fórmula geral para essa soma, pois o número de faces de um prisma é variável e não existem fórmulas para áreas de polígonos que possuem mais de quatro lados.

Entretanto, exibiremos uma expressão para simbolizar esse cálculo e escreveremos as fórmulas específicas para os casos de prismas triangulares cujas bases são paralelogramos.

  1. A área do prisma pode ser lembrada pela expressão:
  2. A = 2Ab + Al
  3. Ab é a área de uma das bases e Al é a área lateral.
  4. Área do prisma triangular
  5. Para o prisma triangular, a fórmula da área é:
  6. A = 2·b·h1 + 3·b·h 2      
  7. A = b·h1 + 3·b·h
  8. A = b(h1 + 3h)
  • b = medida da base do triângulo e aresta do prisma que também pertence a uma de suas faces laterais;
  • h1 = altura do triângulo;
  • h = altura do prisma, conforme retrata a figura a seguir:
  • Como Calcular a Área da Superfície de um Prisma Retangular Prisma com destaque para as medidas de h, h1 e b
  • Área do prisma cuja base é um paralelogramo
  • Essa área pode ser calculada pela fórmula seguinte:
  • A = 2·b·h1 + 4·b·h
  • A = 2b(h1 + 2h)
  • b é a largura da base do prisma e é a mesma medida para a largura da face lateral;
  • h1 é o comprimento da base do prisma;
  • h é o comprimento da face lateral.

Essas medidas podem ser encontradas na imagem abaixo:

Como Calcular a Área da Superfície de um Prisma Retangular Prisma com destaque para as medidas de h, h1 e b

Publicado por: Luiz Paulo Moreira Silva

Área do prisma

Para calcular a área de um prisma, devemos calcular a área de cada uma de suas faces e, depois, somá-las. Matematicamente, podemos escrever:

A = AB + AF

  • AB: a soma das áreas das bases;
  • AF: soma das áreas das faces laterais.

Como Calcular a Área da Superfície de um Prisma Retangular

Encontrar o valor de AF é fácil, pois as faces laterais dos prismas sempre são paralelogramos.

Entretanto, é necessário calcular uma por uma, exceto nos casos em que os prismas possuem bases regulares.

Nesses casos, basta calcular a área de uma face lateral e multiplicar o resultado pelo número de faces laterais do prisma.

Calcular AB nem sempre é tarefa tão fácil.

Quando o prisma for triangular ou quadrangular, a área da base será determinada pelas já conhecidas fórmulas da área do triângulo e do paralelogramo.

Quando a base do prisma for um polígono com cinco ou mais lados, será preciso analisar as informações dadas pelo problema para conseguir calcular a área da figura.

De modo geral, calcula-se a área de uma das bases e multiplica-se esse resultado por 2, pois as bases do prisma são sempre congruentes.

Exemplos:

1º) Um prisma de base retangular possui as medidas dadas na figura a seguir. Calcule sua área.

Como Calcular a Área da Superfície de um Prisma Retangular

Observe que as duas bases são retangulares. Podemos calcular sua área multiplicando as medidas da base pela altura do retângulo.

  • AB = 2Ab
  • AB = 2bh
  • AB = 2·5·3
  • AB = 2·15
  • AB = 30 cm2
  • Agora vamos calcular a área das faces laterais:
  • Af1 = Af Af1 = bh Af1 = 5·10 Af1 = 50 cm2
  • Af2 = 3·10 Af2 = 30 cm2
  • Devemos multiplicar essas áreas por dois:
  • AF = 2Af1 + 2Af2
  • AF = 2·50 + 2·30

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  1. AF = 100 + 60
  2. AF = 160 cm2
  3. Por fim, a área do prisma é:
  4. A = AB + AF
  5. A = 30 + 160
  6. A = 190 cm2
  7. 2º) Calcule a área do prisma triangular da imagem a seguir:

Como Calcular a Área da Superfície de um Prisma Retangular

Primeiramente, calcularemos AB. Para isso, é necessário saber a altura do triângulo, que é base desse prisma.

Como se trata de um triângulo isósceles, a altura divide a base desse triângulo em dois segmentos com medidas iguais. Perceba que essa base mede 8 cm, assim, metade desse segmento possui 4 cm.

Logo, por meio do teorema de Pitágoras, podemos calcular a altura da base:

  • x2 + 42 = 52
  • x2 = 52 – 42
  • x2 = 25 – 16
  • x2 = 9
  • x = 3
  • A área de uma base, portanto, será:
  • AB1 = 8·3           2
  • AB1 = 24          2
  • AB1 = 12 cm2
  • Já a área AB será:
  • 2AB1 = 2·12 = 24 cm2

Agora vamos calcular as áreas laterais. Perceba que existem três faces laterais. A altura de todas elas é igual a 10 cm. Já a base de uma delas mede 8 cm e a de duas delas mede 5 cm. A área AF é igual à soma dessas três áreas. Observe:

  1. AF1 = 8·10 = 80 cm2
  2. AF2 = 5·10 = 50 cm2
  3. AF3 = 5·10 = 50 cm2
  4. AF = 50 + 50 + 80 = 180 cm2
  5. A área total desse prisma é a seguinte:
  6. A = AB + AF
  7. A = 24 + 180
  8. A = 204 cm2
  9. Aproveite para conferir nossas videoaulas sobre o assunto:

Volume do Prisma: fórmula e exercícios

Rosimar Gouveia

Professora de Matemática e Física

O volume do prisma é calculado pela multiplicação entre a área da base e a altura.

O volume determina a capacidade que possui uma figura geométrica espacial. Vale lembrar que, geralmente, ele é dado em cm3 (centímetros cúbicos) ou m3 (metros cúbicos).

Fórmula: Como Calcular?

  • Para calcular o volume do prisma utiliza-se a seguinte expressão:
  • V = Ab.h
  • Onde,
  • Ab: área da baseh: altura

Obs: Não se esqueça que para calcular a área da base é importante saber o formato que a figura apresenta.

Por exemplo, num prisma quadrangular a área da base será um quadrado. Já num prisma triangular, a base é formada por um triângulo.

Você Sabia?

O paralelepípedo é um prisma de base quadrangular que tem como base os paralelogramos.

Leia também:

Princípio de Cavalieri

O Princípio de Cavalieri foi criado pelo matemático italiano (1598-1647) Bonaventura Cavalieri no século XVII. É utilizado até hoje para calcular áreas e volumes dos sólidos geométricos.

Como Calcular a Área da Superfície de um Prisma Retangular

  1. O enunciado do Princípio de Cavalieri é o seguinte:
  2. “Dois sólidos nos quais todo plano secante, paralelo a um dado plano, determina superfícies de áreas iguais são sólidos de volume iguais.”
  3. Segundo esse princípio, o volume de um prisma é calculado pelo produto da altura pela área da base.

Exemplo: Exercício Resolvido

Calcule o volume de um prisma hexagonal cujo lado da base mede x e sua altura 3x. Note que x é um número dado.

Como Calcular a Área da Superfície de um Prisma Retangular

  • Inicialmente, vamos calcular a área da base para, em seguida, multiplicá-la pela sua altura.
  • Para isso, precisamos saber do apótema do hexágono, que corresponde à altura do triângulo equilátero:
  • a = x√3/2
  • Lembre-se que o apótema é o segmento de reta que parte do centro geométrico da figura e é perpendicular a um dos seus lados.

Como Calcular a Área da Superfície de um Prisma Retangular

  1. Logo,
  2. Ab= 3x . x√3/2
    Ab = 3√3/2 x2
  3. Por conseguinte, calcula-se o volume do prisma pela fórmula:
  4. V = 3/2 x2 √3 . 3xV = 9√3/2 x3

Exercícios de Vestibular com Gabarito

1. (UE-CE) Com 42 cubos de 1 cm de aresta formamos um paralelepípedo cujo perímetro da base é 18 cm. A altura deste paralelepípedo, em cm, é:

  • a) 4
    b) 3
    c) 2
  • d)1
  • 2. (UF-BA) Em relação a um prisma pentagonal regular, é correto afirmar:

(01) O prisma tem 15 arestas e 10 vértices.
(02) Dado um plano que contém uma face lateral, existe uma reta que não intercepta esse plano e contém uma aresta da base.

(04) Dadas duas retas, uma contendo uma aresta lateral e outra contendo uma aresta da base, elas são concorrentes ou reversas.

(08) A imagem de uma aresta lateral por uma rotação de 72° em torno da reta que passa pelo centro de cada uma das bases é outra aresta lateral.

(16) Se o lado da base e a altura do prisma medem, respectivamente, 4,7 cm e 5,0 cm, então a área lateral do prisma é igual a 115 cm2.

(32) Se o volume, o lado da base e a altura do prisma medem, respectivamente, 235,0 cm3, 4,7 cm e 5,0 cm, então o raio da circunferência inscrita na base desse prisma mede 4,0 cm.

3. (Cefet-MG) De uma piscina retangular com 12 metros de comprimento por 6 metros de largura, foram retirados 10 800 litros de água. É correto afirmar que o nível de água baixou:

  1. a) 15 cm
    b) 16 cm
    c) 16,5 cm
    d) 17 cm
  2. e) 18,5 cm

4. (UF-MA) Conta uma lenda que a cidade de Delos, na Grécia Antiga, estava sendo assolada por uma peste que ameaçava matar toda a população.

Para erradicar a doença, os sacerdotes consultaram o Oráculo e este ordenou que o altar do Deus Apolo tivesse seu volume duplicado.

Sabendo-se que o altar tinha forma cúbica com aresta medindo 1 m, então o valor em que a mesmo deveria ser aumentado era:

  • a) 3√2
    b) 1
  • c) 3√2 – 1
  • e) 1 – 3√2

d) √2 -1

5. (UE-GO) Uma indústria deseja fabricar um galão no formato de um paralelepípedo retângulo, de forma que duas de suas arestas difiram em 2 cm e a outra meça 30 cm. Para que a capacidade desses galão não seja inferior a 3,6 litros, a menor de suas arestas deve medir no mínimo:

  1. a) 11 cm
    b) 10,4 cm
    c) 10 cm
  2. d) 9,6 cm

Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.

Área do Cubo: Aprenda a Calcular! – Matemática Básica

A área do cubo é a medida correspondente a superfície desse poliedro.

O cubo é um poliedro por ser um figura geométrica tridimensional (três dimensões). Poliedro é o nome que se da a uma figura geométrica espacial formada por polígonos.

Os polígonos são figuras formadas por muitos lados e ângulos, no caso do cubo, ele é formado por vários quadrados planos unidos dois a dois pelas suas arestas.

O cubo possui 12 arestas e 8 vértices. As faces e suas arestas possuem as mesmas medidas e são perpendiculares.

Como Calcular a Área da Superfície de um Prisma Retangular

Dependendo da finalidade, pode ser necessário calcular a área total, a área da base e a área lateral.

Área Total

Para calcular a área total do cubo precisamos apenas calcular a área de uma de suas faces. Como o cubo é formado por 6 quadrados regulares e congruentes, então pegamos a área equivalente a um desses quadrados e multiplicamos por 6.

A fórmula da área de um quadrado é igual a medida de uma de suas arestas ao quadrado, ou seja, A = a². Como o cubo é formado por quadrados, então a fórmula da área total de um cubo é equivalente a área do quadrado multiplicado por 6.

Fórmula da Área Total

Para calcular a área total usamos a seguinte fórmula:

Onde:

  • At: é a área total;
  • a: é a medida de uma de suas arestas.

Área da Base

A base do cubo é a face do cubo que fica para baixo. A área da base do cubo corresponde a medida de uma de suas bases. Como o cubo também é um prisma, ele possui duas bases, a face de baixo e a de cima.

Fórmula da Área da Base

Para calcularmos a área referente a base do cubo, usamos a seguinte fórmula:

Onde:

  • Ab: é a área da base do cubo;
  • a: é a medida de uma de suas arestas da base.

Calcular a área da base é equivalente a calcular a área de um quadrado.

Área Lateral

A lateral do cubo são os quadrados que ficam na vertical, ou seja, os quadrados que não são bases. A área da lateral é a soma das áreas de todos esses quadrados.

Fórmula da Área Lateral

  • Para calcular a área lateral, precisamos apenas calcular a área de um dos quadrados que formam a lateral desse poliedro regular. Assim, chegamos a seguinte fórmula:
  • Al = 4 . a²
  • Onde:
  • Al: é a medida referente a área da base.
  • a: é a medida de uma de suas arestas da lateral.

Diagonal

Para calcularmos a diagonal do cubo, usaremos o Teorema de Pitágoras para chegar a uma fórmula geral.

Para isso precisamos apenas encontrar a medida da diagonal de uma de suas faces.

Podemos aplicar o Teorema de Pitágoras porque a digonal de uma de suas faces é a diagonal de um quadrado. Essa diagonal forma um triângulo retângulo.

  1. Exemplo:
  2. Considere um cubo de arestas com medida a a seguir, calcule a sua diagonal.

Como Calcular a Área da Superfície de um Prisma Retangular
Como Calcular a Área da Superfície de um Prisma Retangular

Vamos calcular a medida b da diagonal da face que é a base do cubo acima. No triângulo BAD, temos:

  • b² = a² + a² ⇒ b² = 2 . a² ⇒ b = a√2

Com a medida da diagonal b podemos calcular agora a medida referente a diagonal d. Assim, no triângulo BDD’, temos:

  • d² = a² + b² ⇒ d² = a² + 2 . a² ⇒ d² = 3 . a² ⇒ d = a√3

Fórmula da Diagonal

Bom, é isso.

Exercícios

  • Exercícios sobre a área do cubo


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Prisma

 Nota: Para outros significados, veja Prisma (desambiguação).
Como Calcular a Área da Superfície de um Prisma Retangular Um prisma

Um prisma é o sólido geométrico formado pela união de todos os segmentos de reta congruentes e paralelos a um segmento dado, com uma extremidade nos pontos de um polígono fixo não paralelo a esse.[1] Ou seja, um prisma é um poliedro com duas faces congruentes e paralelas (bases) e cujas demais faces (faces laterais) são paralelogramos.[2][3] Os prismas são classificados de acordo com a forma de suas bases. Por exemplo, se temos pentágonos nas bases, teremos um prisma pentagonal. O prisma pode ser classificado em reto quando suas arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases, e oblíquo quando não são.[4]

Definição

Ilustração da definição.

Um prisma (limitado) é o sólido geométrico formado pela união de todos os segmentos de reta congruentes e paralelos a um segmento dado

P
Q

¯

{displaystyle {overline {PQ}}}

(chamado de segmento de reta suporte), com uma extremidade nos pontos de um polígono fixo não paralelo a

P
Q

¯

{displaystyle {overline {PQ}}}

.[1] Desta forma, o sólido formado é um poliedro com duas faces congruentes e paralelas (chamadas de bases) e cujas demais faces (chamadas faces laterais) são paralelogramos.[2][3]

O termo prisma também pode significar prisma ilimitado, que é o sólido formado pela união de todas as retas paralelas a uma reta dada

r

{displaystyle r}

e que interceptam um polígono fixo não paralelo a

r

{displaystyle r}

.[1] Salvo menção, usaremos o termo prisma para significar um prisma limitado.

Elementos

Um prisma

n

{displaystyle n}

-poligonal é formado por duas bases congruentes e paralelas,

n

{displaystyle n}

faces laterais,

3
n

{displaystyle 3n}

diedros,

3
n

{displaystyle 3n}

arestas,

2
n

{displaystyle 2n}

triedros e

2
n

{displaystyle 2n}

vértices.[1] Em um espaço orientado, as bases são comumente classificadas em base inferior ou superior, conforme a orientação dada.[2]

Classificação

Prisma triangular reto.

Os prismas são classificados conforme as propriedades dos polígonos que formam suas bases. Assim, prismas de bases convexas são chamados de prismas convexos.

Prismas triangulares, quadrangulares, pentagonais,

n

{displaystyle n}

-poligonais, são aqueles cujas bases são triângulos, quadriláteros, pentágonos, polígonos com

n

{displaystyle n}

lados, respetivamente.[1]

Prismas quadrangulares seguem classificação específica. Um prisma cujas bases são paralelogramos é chamado de paralelepípedo.[3] Um paralelepípedo cujas arestas são todas congruentes entre si é chamado de romboedro.[1]

Os prismas também são classificados quanto ao ângulo que a reta suporte faz com os planos que contém suas bases.

Ou seja, um prisma é dito ser oblíquo quando sua reta suporte faz um ângulo oblíquo com os planos das bases. É dito ser reto quando a reta suporte faz um ângulo reto com os planos das bases.

Neste caso, as faces laterais são retângulos.[2] Especificamente, um romboedro reto cujas bases são retângulos é chamado cubo.[1]

Além disso, um prisma reto cujos polígonos das bases são regulares é chamado de prisma regular.[1]

Altura

A altura de um prisma é a distância entre suas bases.[1]Desta forma, observamos que a altura de um prisma reto é igual ao comprimento de qualquer uma de suas arestas laterais.

Área da superfície

A superfície (total) de um prisma é a união de todas as suas faces. A união apenas de suas faces laterais é chamada de superfície lateral.

A área da superfície lateral

A

l

{displaystyle A_{l}}

é a soma das áreas de cada face lateral do prisma.

A área da superfície total

A

T

{displaystyle A_{T}}

é dada por:

A

T

=

A

l

+
2

A

b

{displaystyle A_{T}=A_{l}+2A_{b}}

onde,

A

b

{displaystyle A_{b}}

é a área de qualquer uma das bases do prisma.[1]

Volume

  • O volume

    V

    {displaystyle V}

    de um prisma é dado por[1][3]:

  • V
    =

    A

    b

    h

    {displaystyle V=A_{b}h}

  • onde,

    A

    b

    {displaystyle A_{b}}

    é a área de qualquer uma de suas bases e

    h

    {displaystyle h}

    é sua altura.

Ver também

  • Sólido
  • Poliedro
  • Polígono
  • Plano
  • Reta
  • Antiprisma
  • Prisma (óptica)

Referências

  1. a b c d e f g h i j k Dolce, Osvaldo Pompeo (2013). Fundamentos de Matemática Elementar – Vol. 10 7 ed. [S.l.]: Atual.

    ISBN 9788535717587 

  2. a b c d Weisstein, Eric W. «Prism — from MathWorld –A Wolfram Web Resource».

    Consultado em 10 de novembro de 2014 

  3. a b c d Lima, Elon Lages (2006). A matemática do ensino médio – volume 2 6 ed. [S.l.]: SBM.

    ISBN 8585818115 

  4. ↑ Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Degenszajn, David; Périgo, Roberto (2013). «10». Matemática. ciência e aplicações. 2 7 ed. São Paulo: Saraiva. p. 187. 320 páginas. ISBN 978-85-02-19426-7 

Bibliografia

  • Anthony Pugh (1976). Polyhedra: A visual approach (em inglês). Califórnia: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7 

Noção e Cálculo da Área de Superfície de um Prisma Triangular

fórmula real da área de superfície do prisma, vamos ver as definições de prisma e prisma triangular.

Prisma é a figura geométrica construída com dois poligonais idênticos, superior e inferior, chamados de bases. As faces restantes são chamadas laterais. Os planos das bases são paralelos. As faces laterais são paralelogramos.

Se a base do prisma é um triângulo, então este é um prisma triangular. Se a base do prisma é retangular, então este é um prisma retangular e assim por diante. Existem também prismas decagonais e icosagonais.

O prisma triangular é um prisma com três faces laterais em geometria. Este poliedro tem base triangular como faces, sua cópia obtida por transição paralela e três faces unindo os lados correspondentes.

O prisma triangular direto tem lados retangulares, caso contrário, o prisma é chamado de prisma inclinado.

O prisma triangular homogêneo é um prisma triangular direto com base equilátera e lados quadrados.

O prisma é um pentaedro, quando suas duas faces são paralelas, enquanto a normal de outras três está em um plano (que não é necessariamente paralelo às bases). Essas três faces são paralelogramos. Todas as seções paralelas às bases são triângulos idênticos.

Como encontrar a área de superfície de um prisma triangular?

A computação da área de superfície de um prisma triangular pode ser uma tarefa difícil se você nunca fez isso antes. No entanto, as fórmulas para calcular as áreas de superfície de muitas dessas figuras são bastante compreensíveis. Ao encontrar a área da superfície, é necessário calcular a área de cada lado, as bases e resumir os valores obtidos.

Existem quatro métodos para calcular a área de superfície de um prisma triangular, então vamos discutir cada um deles abaixo.

Como já descobrimos acima, o prisma triangular é uma figura tridimensional que consiste em duas bases triangulares e três lados quadrados ou retangulares. Ao encontrar a área da superfície de um prisma triangular, você precisa resumir os valores de três lados e duas bases.

Note que a figura tridimensional com quatro lados triangulares e uma base quadrada é chamada de pirâmide, ao invés de um prisma triangular.

Fórmula Principal

A principal fórmula para calcular a área de superfície de um prisma triangular: SA = L + 2 * B, onde SA é a área de superfície, L é a superfície lateral (a superfície lateral é a área dos três lados retangulares soma dos quadrados), e B é a área da base.Desde haver duas bases e elas são as mesmas, você precisa multiplicar essa área por 2.

Fórmula expandida

Uma versão mais detalhada desta mesma fórmula pode ser escrita como: SA = ah + bh + ch + 2 * (1/2 * A * b), onde

  • A é a altura do triângulo (que fica na base do prisma).
  • B é a base do triângulo (um lado triangular, no qual a altura é abaixada).
  • H é a altura do prisma.
  • a, bec são os lados do triângulo (situados na base do prisma). Observe que a e A na fórmula têm dois valores diferentes.
  • A fórmula para encontrar a superfície lateral: ah + bh + ch.
  • A fórmula para encontrar a área de superfície das duas bases triangulares: 2 * (1/2 * A * b).

Normalmente, uma fórmula para calcular a área de superfície de um prisma triangular é escrita como: SA = h * (a + b + c) + (A * b), onde h é a retirada dos colchetes no registro ah + bh + ch Os números 2 e 1/2 na expressão 2 * (1/2 * A * b) são simplesmente cortados e só há A * b.

O cálculo da área de bases triangulares

Como foi mostrado acima, a fórmula para a área de superfície de um prisma triangular é: (A * b), onde A é a altura do triângulo; b é a base do triângulo. Por exemplo: A = 2 cm eb = 4 cm.

Multiplique a altura e a base do triângulo, por exemplo: A * b = 2 * 4 = 8 cm2.

Esta fórmula não é a mesma que a fórmula padrão para calcular a área de superfície de um prisma triangular, porque esta é a fórmula para encontrar a área de dois triângulos. Para encontrar a área de um triângulo, usamos a seguinte fórmula: 1/2 * A * b. No entanto, no nosso caso, é necessário resumir as áreas das duas bases de prismas triangulares.

Cálculo da superfície lateral

Como foi mostrado acima, a fórmula para a área da superfície lateral de um prisma triangular pode ser escrita como: h * (a + b + c), onde h é a altura do prisma (o lado mais longo do retângulo ); a, bec são os lados do triângulo (na base do prisma). Por exemplo: h = 7 cm, b = 4 cm, a = 6 cm ec = 5 cm.

Resuma os valores dos três lados do triângulo: a + b + c = 6 + 4 + 5 = 15 cm.

Em seguida, multiplique esse valor pela altura do prisma. Como resultado, obtemos a área de superfície de um prisma triangular. Como em um exemplo: h * (a + b + c) = 7 * (6 + 4 + 5) = 7 * 105 = 15 cm2.

Assim, a área de superfície lateral de um prisma triangular é a soma de três lados de um prisma triangular.

  • A fórmula padrão para calcular a área de um retângulo é o comprimento multiplicado pela largura.
  • Aqui, cada retângulo tem um comprimento total. Na fórmula para calcular a área da superfície lateral, o comprimento do retângulo se torna a altura do prisma, ou seja, h.
  • Cada retângulo no prisma triangular tem uma largura que corresponde a um lado do triângulo a, b ou c. Assim, aqui o lado do triângulo substitui a largura do retângulo.

Somando Juntos

Lembre-se de que a área de superfície de um prisma triangular é a soma das áreas de duas bases triangulares e superfície lateral do prisma: SA = L + 2 * B. A fórmula detalhada é a seguinte: SA = h * (a + b + c) + (A * b).

Agora, some os valores encontrados para a área de superfície lateral do prisma e a área da base. Por exemplo: SA = L + 2 * B = 105 + 8 ou SA = h * (a + b + c) + (A * b) = 7 * (6 + 4 + 5) + 2 = 7 * 4 * 15 * 2 + 4 + 8 = 105 + 8. Assim, você encontrou com sucesso a área de superfície de um prisma triangular: SA = L + 2 * B = 105 + 8 = 113 cm2.

Volume de um prisma triangular

O volume de qualquer prisma é igual ao produto da área de base pela distância entre as bases. No nosso caso, quando a base é triangular, você só precisa calcular a área de um triângulo e multiplicá-la pelo comprimento do prisma: V = 1/2 * bhl, onde b é o comprimento da base, h é o altura do triângulo, e l é a distância entre os triângulos.

Uma breve história das figuras geométricas

Os primeiros conceitos geométricos se originaram em tempos pré-históricos, quando um homem observou diferentes formas de corpos materiais na natureza: as formas de plantas e animais, montanhas e meandros do rio, círculos e retangulares, etc. As pessoas não só observaram passivamente a natureza , mas praticamente domina e usa sua riqueza.

As pessoas acumularam informações geométricas. As necessidades materiais encorajavam as pessoas a produzir ferramentas, cortar pedras e construir casas, esculpir cerâmica e puxar a corda na proa.

As atividades humanas práticas serviram de base para um longo processo de desenvolvimento de conceitos abstratos, fundando as mais simples restrições e relações geométricas.

A base da geometria foi colocada nos tempos antigos quando se lida com tarefas puramente práticas. Eventualmente, quando um grande número de fatos geométricos se acumulou, as pessoas tiveram a necessidade de resumir alguns elementos e estabelecer conexões e evidências lógicas. A ciência geométrica foi gradualmente criada.

Grande parte do conhecimento geométrico foi estabelecido há quase 2.200 anos nos «Elementos» de Euclides. Naturalmente, é bem conhecido que Euclides em sua obra aplicou as obras de dezenas de seus predecessores, entre os quais Thales e Pitágoras, Demócrito, Hipócrates, Arquitas, Teeteto, Eudoxo e outros.

À custa de grandes esforços, baseados nas informações geométricas selecionadas acumuladas durante milhares de anos na prática das pessoas, estes grandes cientistas foram capazes de levar a ciência geométrica a um alto nível de perfeição por 3 a 4 séculos.

O mérito histórico de Euclides é que ele, ao criar seus «Elementos», combinou os resultados de seus predecessores, simplificados, e reuniu em um único sistema o principal conhecimento geométrico da época. Por dois milênios, a geometria foi estudada nessa extensão, maneira e estilo, como foi descrito nos «Elementos» por Euclides.

Muitos livros didáticos de geometria elementar em todo o mundo eram (e muitos ainda são) apenas informações de processamento contidas no livro de Euclides.

No século 17, Descartes, devido ao método de coordenadas, tornou possível estudar as propriedades de figuras geométricas usando álgebra. Desde então, a geometria analítica começou a se desenvolver.

Nos séculos XVII-XVIII, a geometria diferencial que estuda as propriedades das figuras por meio de métodos de análise matemática foi concebida e desenvolvida.

Nos séculos XVIII-XIX, o desenvolvimento da arte e da arquitetura militar levou ao desenvolvimento de métodos de exibição precisa de figuras espaciais em uma figura plana, em conexão com a qual a geometria descritiva foi fundada, cujas bases científicas foram estabelecidas por o matemático francês G. Monge. Ao mesmo tempo, a geometria projetiva foi fundada, cujos fundamentos foram criados nos escritos dos matemáticos franceses D. Dezarga e B. Pascal.

Área de un prisma rectangular

  • El área de un prisma rectangular se calcula sabiendo los lados de la base rectangular (a y b) y su altura (h).
  • Un prisma rectangular (u ortoedro) es un poliedro cuya superficie está formada por dos rectángulos iguales y paralelos llamados bases y por cuatro caras laterales que son también rectángulos paralelos e iguales dos a dos.
  • Su área se calcula por la siguiente fórmula:

Ejercicio

  1. Sea un prisma rectangular de dimensiones conocidas, siendo los lados contiguos de la base a=3 cm y b=1,5 cm y la altura h=4 cm.
  2. ¿Cuál es su área?
  3. Su área se calcula mediante la suma de los seis rectángulos de su superficie, que al seri guales dos a dos, será el doble de la suma de los tres rectángulos diferentes.

Y se obtiene que el área de este prisma rectangular es de 45 cm2.

¿Cómo se obtiene?

La fórmula del área del prisma rectangular se obtiene como resultado de sumar el área de los seis rectángulos de la superficie del prisma.

És decir, el área del prisma rectangular es el sumatorio del área de las dos bases B (rectángulos PTWR y QUZS), los dos rectángulos laterales R1 (PQSR y TUZW) y los dos R2 (RSZW y PQUT).

Aplicando la fórmula del área del rectángulo, el área de los rectángulos B, R1 y R2 son:

El área del prisma rectangular es la suma del área de los seis rectángulos (dos bases B, dos R1 y dos R2). Por tanto, será la suma del área de los tres rectángulos multiplicada por dos, obteniendo la fórmula.

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