Como calcular o número de termos de uma progressão aritmética

A fórmula do termo geral de uma progressão aritmética nos permite encontrar qualquer termo de uma PA conhecendo apenas o valor de a1, e da razão r da progressão. Além disso, a progressão aritmética possui algumas propriedades, que também podem ajudar na resolução de diversos exercícios! 

Olá, pessoal! Tudo bem com vocês?

O texto de hoje é imprescindível para quem quer se dar bem nas provas do ENEM e dos vestibulares.

Vamos falar sobre uma das fórmulas mais importantes relacionadas a progressão aritmética, aquela que nos possibilita encontrar qualquer termo dessa sequência conhecendo apenas outros dois valores.

Além disso, estudaremos também algumas propriedades da PA. Quem acompanhar o texto até o final, vai entender qual é a relação dessa sequência numérica com a média aritmética!

Beleza, pessoal?! Sei que estão ansiosos para iniciarmos os estudos, contudo, antes de seguirmos o texto, gostaria de dar uma dica.

É mais fácil compreender a fórmula do termo geral da PA quando conhecemos os conceitos introdutórios da progressão aritmética.

Portanto, quem nunca ouviu falar da PA, pode clicar aqui, e dar uma olhadinha no texto Definição e Classificação de uma Progressão Aritmética. Depois, é só continuar comigo!

1. CAMINHANDO RUMO A FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA PA

Como Calcular o Número de Termos de uma Progressão Aritmética

Uma PA é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é igual a soma do anterior com uma constante r dada. Também podemos dizer que uma sequência numérica é uma progressão aritmética, quando cada termo, a partir do penúltimo, é igual a diferença entre o seu termo sucessor e a razão r.

Como Calcular o Número de Termos de uma Progressão Aritmética

A partir deste conceito, nós costumávamos encontrar cada termo de uma determinada PA com base no valor de sua razão r e do seu termo sucessor ou antecessor, tal como mostram os exemplos abaixo.

Como Calcular o Número de Termos de uma Progressão Aritmética

Contudo, a verdade é que nem sempre temos a disposição o valor de todos os termos de uma progressão aritmética. Digamos, por exemplo, que vocês procurassem pelo 7º termo de uma certa PA, mas não conhecessem o seu 6º termo e muito menos o seu 8º termo.

Estariam a disposição, apenas o valor do primeiro termo da sequência, o a1, e o valor da razão r da progressão. Não parece, mas esse enigma tem solução.

Tudo que precisamos fazer, é ficar de olho nos saltos que a razão dá na sequência, partindo do termo a1, e seguindo rumo ao termo desejado!

Como Calcular o Número de Termos de uma Progressão Aritmética

Incrível, não é mesmo? Podemos dizer, por exemplo, que o 7º termo da PA que vocês procuravam, é igual ao valor do primeiro termo da sequência acrescido de 6 razões.

Como Calcular o Número de Termos de uma Progressão Aritmética

Nem pensar, pessoal! Se repararmos melhor nas fórmulas que acabamos de montar, podemos chegar a uma conclusão muito interessante. Acompanhem comigo!

Como Calcular o Número de Termos de uma Progressão Aritmética

Entenderam a ideia? A expressão genérica que representa tudo aquilo que acabamos de observar é a fórmula do termo geral da PA. Vem comigo!

2. FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Como Calcular o Número de Termos de uma Progressão Aritmética

A fórmula que aparece na imagem acima é a expressão que nos permite obter qualquer termo de uma progressão aritmética conhecendo apenas os valores da razão r e do primeiro termo da progressão, o a1. Por isso, r e a1 vão estar sempre na fórmula.

an, é o termo geral da PA, aquele que ocupa a n-ésima posição na sequência. Isso significa, por exemplo, que se procurarmos pelo 8º termo da sequência, o a8, n valerá 8.

Da mesma forma, se procurarmos pelo décimo segundo termo da sequência, o a12,  n valerá 12. Ainda, caso a ideia seja obter o trigésimo terceiro termo da sequência, o a33, então n será igual a 33.

O valor de n menos uma unidade é o número que multiplicará a razão r na fórmula. É isso que os seguintes exemplos mostram:

Como Calcular o Número de Termos de uma Progressão Aritmética

Até aí tudo certo, pessoal? Essa fórmula já vai nos ajudar muito a resolver os exercícios que envolvem a progressão aritmética no ENEM e nos vestibulares.

Contudo, não podemos deixar de cogitar a seguinte possibilidade: e se a1 não for conhecido? A verdade é que com base na fórmula do termo geral da PA, podemos obter uma segunda fórmula que vai solucionar essa questão. Sigam comigo!

2.1 Fórmula do termo geral da PA quando a1 não é conhecido

Como Calcular o Número de Termos de uma Progressão Aritmética

Os saltos que a razão r dá na sequência, sejam para frente ou para trás, também irão nos ajudar a encontrar o n-ésimo termo de uma PA quando já se conhece pelo menos um de seus termos, que não necessariamente o a1, e a razão r da progressão. Dado que as sequências apresentadas abaixo são progressões aritméticas, vamos entender melhor essa situação através de alguns exemplos.

Como Calcular o Número de Termos de uma Progressão Aritmética

Quando estávamos chegando perto de definir a fórmula do termo geral da PA, nós contamos quantos saltos a razão caminhou para frente na sequência, sempre partindo do a1, o seu primeiro termo.

Mas não há problema algum em fazer o mesmo partindo de qualquer outro termo da sequência. Inclusive, nada impede que façamos o cálculo do termo geral da PA voltando na sequência, como mostra a imagem seguinte.

  • Independente da ideia escolhida, reparem, o mesmo padrão que identificamos anteriormente se repete:

Por isso, a fórmula que a nosso amiga mostrou logo no início desse item, corresponde ao termo geral da PA quando não conhecemos o valor do a1.

Já que a1 não corresponde mais a base do cálculo, mas sim qualquer outro termo da progressão, chamaremos esse termo qualquer de ak.

Assim, sabendo que o fator que multiplicava a razão r na fórmula original era n­ – 1, teremos agora o produto entre r e o fator n – k.

E aí, o que acharam desta ideia, pessoal? A extensão da fórmula do termo geral da PA facilita bastante a resolução de questões, porque elimina a necessidade de conhecermos o termo a1. Para que tudo isso fique mais claro, partiremos agora para o famoso exercício resolvido. Venham comigo!

2.2 Exercício resolvido sobre o termo geral da progressão aritmética

Qual é a razão de uma PA na qual o quarto termo é 30 e o décimo segundo termo é 62?

O primeiro passo rumo a resolução de qualquer questão matemática é entender que dados foram apresentados no enunciado. Fala-se de uma progressão aritmética cujo quarto termo vale 30 e cujo décimo segundo termo vale 62. Isso só pode significar que:

  1. a4= 30
  2. a12= 62
  3. Já que o objetivo é encontrar a razão r da progressão, e os termos a4 e a12 não são consecutivos, precisaremos da ajuda da fórmula do termo geral da PA. Mas como o valor de a1 não foi dado, na verdade, utilizaremos a extensão da fórmula do termo geral:
  4. an = ak + (n – k)·r

Nesse momento, vocês poderiam optar por 2 caminhos: considerar que n vale 12 e que k vale 4, ou o contrário. Independente da ordem escolhida, seguindo a fórmula corretamente, o resultado é exatamente o mesmo. Eu garanto!

Feito, pessoal? Assim, antes de finalizarmos o texto, vamos conhecer algumas propriedades da PA. Os conceitos que envolvem essas propriedades também podem nos ajudar a resolver diversos exercícios sobre o assunto. Vamos lá!

3. PROPRIEDADES DA PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Analisando as sequências numéricas que formam progressões aritméticas, é possível encontrar algumas relações interessantes, que envolvem, inclusive, uma das medidas de tendência central mais conhecida e mais utilizada na matemática: a média aritmética. Vou explicar cada uma das propriedades com clareza nos próximos itens. Vem comigo!

1º Propriedade

Numa PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos.

Dois termos equidistantes dos extremos são dois termos que possuem a mesma distância do primeiro e do último termo da sequência. Observem na imagem acima, que os extremos da PA apresentada são os números 3 e 18.

Tanto o número 6 quanto o número 15 estão a apenas uma razão de distância destes extremos. Da mesma forma, tanto 9 quanto 12 se encontram a duas razões de distância dos extremos. Assim, não podemos negar que 6 e 15 e 9 e 12 são termos equidistantes dos extremos.

 Por isso, a soma entre 3 e 18, 6 e 15 e 9 e 12 resulta no mesmo valor: 21.

A imagem acima mostra um segundo exemplo da aplicação da primeira propriedade da PA. Neste caso, 7 e 19 são os termos extremos da progressão, e sua soma resulta no valor 26.

9 e 17 estão a uma razão de distância dos extremos, enquanto que 11 e 15 estão a duas razões de distância de 7 e 19.

Por isso, podemos dizer que 9 e 17 e 11 e 15 são termos equidistantes dos extremos, o que explica o fato de sua soma também resultar em 26.

2º Propriedade

Em uma PA, tomando-se três termos consecutivos, o termo central é a média dos seus vizinhos.

Quem ficou de olho na imagem acima, reparou que escolhemos uma série de três termos consecutivos dentro da mesma progressão aritmética. Em todos os casos, o valor do termo central foi exatamente igual a média aritmética entre os valores dos seus vizinhos.

Interessante, não é mesmo? E se eu contar para vocês que dependendo do número de termos que uma PA possui, é possível encontrar uma segunda relação da sequência com a média aritmética?

IMPORTANTE

  • Em uma PA finita cujo número de termos é ímpar, a média aritmética entre os extremos e entre os termos equidistantes dos extremos, sempre será igual ao valor do termo central da sequência.
  • Observem na imagem acima, que 35 não só é igual a média aritmética entre seus vizinhos, como também é igual a média aritmética entre os termos equidistantes dos extremos 25 e 45, e entre os próprios termos extremos, 20 e 50.
Leia também:  Como agir perto da sua paquera (com imagens)

Certinho, pessoal?! Chegamos ao final de mais um texto! Espero que ele tenha sido muito importante para o aprendizado de vocês! Estou disponibilizando abaixo, algumas questões para vocês resolverem e se prepararem para os vestibulares e o ENEM que estão logo aí. A resolução em vídeo dessas questões também vai ficar disponível!

Depois de fazer os exercícios, vale revisar todo conteúdo vendo a videoaula que também está em anexo. Com essa preparação, não há PA que os detenha nas provas do ENEM e dos vestibulares!

Bons estudos à todos! Nos vemos logo mais!

4. PREPARAÇÃO PARA O ENEM E OS VESTIBULARES

  1. 1) (UERJ) 
  2. Na situação apresentada nos quadrinhos, as distâncias, em quilômetros, dAB, dBC e dCD formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. O vigésimo termo dessa progressão corresponde a:
    a) −50
    b) −40
    c) −30
    d) −20

2) (ENEM) O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33 000 passagens; em fevereiro, 34 500; em março, 36 000. Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes.

  • Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado?
    a) 38 000
    b) 40 500
    c) 41 000  
    d) 42 000
    e) 48 000
  • 3) (UPE-SSA) As medidas dos lados AB, BC e CA de um triângulo ABC formam, nessa ordem, uma progressão aritmética.
  • Qual é a medida do perímetro desse triângulo?
    a) 5
    b) 6
    c) 7             
    d) 8             
    e) 9

Gostou deste conteúdo? Clique aqui para saber como a Plataforma do Professor Ferretto funciona!

Deseja ter uma preparação completa em matemática e ciências da natureza? Então conheça os planos e cursos da Plataforma do Professor Ferretto. Clique aqui e vem com a gente garantir a sua vaga no ensino superior!

Relacionado

Soma dos n termos de uma PA

Você está em Ensino médio > Progressões ▼

  • Considere a PA finita:
  • (5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19).
  • Note que:
  • 5 e 19 são extremos;
  • 7 e 17 são termos equidistantes dos extremos;
  • 9 e 15 são termos equidistantes dos extremos;
  • 11 e 13 são termos equidistantes dos extremos.
  1. Observe:
  2. 5 + 19 = 24 → soma dos extremos
  3. 7 + 17 = 24 → soma de dois termos equidistantes dos extremos
  4. 9 + 15 = 24 → soma de dois termos equidistantes dos extremos
  5. 11 + 13 = 24 → soma de dois termos equidistantes dos extremos
  6. Baseada nessa ideia, existe a seguinte propriedade:
  7. Numa PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos.
  8. Através dessa propriedade, podemos descobrir a fórmula para a soma dos n termos de uma PA:

 Vamos considerar a PA finita Como Calcular o Número de Termos de uma Progressão Aritmética. Podemos representar por a soma dos termos dessa PA.

Como a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos, a soma da PA é dada pela soma dos extremos vezes a metade do número de termos , pois em cada soma estão envolvidos dois termos.

Como Calcular o Número de Termos de uma Progressão Aritmética
Como Calcular o Número de Termos de uma Progressão Aritmética

Assim, temos a fórmula da soma dos n termos de uma PA:

Como Calcular o Número de Termos de uma Progressão Aritmética
  • = soma dos n termos 
  • = primeiro termo
  • = enésimo termo
  • n = número de termos

Observação: Através dessa fórmula, podemos calcular a soma dos n primeiros termos de uma PA qualquer, basta determinarmos o número de termos que queremos somar.

Exemplo 1

Qual a soma dos 10 primeiros termos da PA  (1, 4, 7, …) ?

Resolução Primeiramente, temos de descobrir qual é o 10º termo dessa PA:

Como Calcular o Número de Termos de uma Progressão Aritmética

Conhecendo o valor do 10º termo, podemos calcular a soma dos 10 primeiros termos dessa PA:

Como Calcular o Número de Termos de uma Progressão Aritmética
Portanto, a soma dos 10 primeiros termos da PA (1, 4, 7, …) é 145.

Exemplo 2

A soma dos n primeiros números pares positivos de uma PA é 132. Encontre o valor de n.

  • Resolução
  • Primeiramente, vamos descobrir qual é o enésimo termo:

Como Calcular o Número de Termos de uma Progressão Aritmética

Substituindo na fórmula da soma dos termos:

Como Calcular o Número de Termos de uma Progressão Aritmética

Portanto, a soma dos 11 primeiros números pares positivos é 132.

Como referenciar: “Progressões” em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2020. Consultado em 15/06/2020 às 23:04. Disponível na Internet em https://www.somatematica.com.br/emedio/pa/pa4.php

Soma dos termos de uma PA

 A soma dos termos de uma progressão aritmética (PA) pode ser obtida por meio da seguinte fórmula:

Como Calcular o Número de Termos de uma Progressão Aritmética

Nessa fórmula, Sn representa a soma dos termos, a1 é o primeiro termo e an é o último termo da PA em questão, n é o número de termos que serão somados. Para somar os termos de uma progressão aritmética, basta substituir os valores nessa fórmula.

Exemplos de soma dos termos de uma PA

  • A seguir, veja dois exemplos de como a fórmula apresentada acima pode ser usada para obter a soma dos termos de uma PA.
  • → Exemplo 1
  • Determine a soma dos termos da seguinte PA: (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40).
  • Para usar a fórmula dada, observe que:
  • a1 = 2
  • an = 40
  • n = 20
  • Esse último dado (número de termos) foi obtido contando os termos da PA. Aplicando esses dados na fórmula, teremos:
  • Como Calcular o Número de Termos de uma Progressão Aritmética
  • Assim, a soma dos termos dessa PA é 420.

Note que essa fórmula só é válida para progressões aritméticas que possuem um número finito de termos. Se a PA for infinita, será necessário limitar o número de termos que serão somados. Quando isso ocorrer, pode ser necessário usar outros conhecimentos sobre PA para se obter o último termo a ser somado.

  1. Observe a seguir um exemplo de soma dos termos de uma PA infinita:
  2. → Exemplo 2
  3. Determine a soma dos 50 primeiros termos da PA a seguir: (5, 10, 15, …).

Note que essa PA é infinita, isso é evidenciado pelas reticências. O primeiro termo é 5, assim como a razão da PA, pois 10 – 5 = 5. Como queremos descobrir a soma dos 50 primeiros termos, o 50º termo será representado por a50. Para descobrir seu valor, podemos usar a fórmula do termo geral da PA:  

  • Como Calcular o Número de Termos de uma Progressão Aritmética
  • Nessa fórmula, r é a razão da PA. Substituindo os valores dados no enunciado nessa fórmula, teremos:
  • Como Calcular o Número de Termos de uma Progressão Aritmética
  • Sabendo que o 50º termo é 250, podemos usar a fórmula da soma dos termos para obter a soma dos 50 primeiros termos (S50) dessa PA:
  • Como Calcular o Número de Termos de uma Progressão Aritmética

Gauss e a soma dos termos de uma PA

Conta-se que o matemático alemão Gauss foi o primeiro a usar um método alternativo para somar termos de uma PA, sem precisar somar termo por termo. Posteriormente, sua ideia de simplificação de passos acabou tornando-se a fórmula usada para encontrar a soma.

  1. Conta a história que, quando criança, Gauss teve um professor que aplicou um castigo para toda a turma: somar todos os números de 1 até 100.
  2. Gauss percebeu que as somas do primeiro número com o último, do segundo com o penúltimo e assim por diante davam o mesmo resultado:
  3. 1 + 100 = 101
  4. 2 + 99 = 101
  5. 3 + 98 = 101 …

Seu maior trabalho foi observar que, como estava somando dois números, encontraria 50 resultados iguais a 101, ou seja, a soma de todos os números de 1 até 100 poderia ser encontrada fazendo 50 .101 = 5050.

O resultado obtido por Gauss, pode ser conferido por meio da fórmula da soma dos termos de uma PA. Observe:

Como Calcular o Número de Termos de uma Progressão Aritmética 

PA: Progressão Aritmética

Progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que o próximo elemento da sequência é o número anterior somando a uma constante r.

Este r é chamado de razão da P.A. Para sabermos qual a razão de uma P.A. basta subtrair um elemento qualquer pelo seu antecessor.

Índice do Artigo

Exemplos de progressão aritmética

Considere as seguintes sequências:

  • (1, 2, 3, 4, 5, 6, …) é uma P.A. infinita crescente, razão desta P.A. é 1 pois 3 – 2 = 1.
  • (1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, …) é uma P. A. infinita crescente, razão desta P.A. é 3 pois 7 – 4 = 3.
  • (3, 3, 3, 3, …) é uma P.A. infinita constante, razão desta P.A. é 0 pois 3 – 3 = 0.
  • (10, 5, 0, …) é uma P.A. infinita decrescente, razão desta P.A. é -5 pois 5 – 10 = -5.

Tipos de progressões aritméticas (P.A.)

  • Crescente: É toda P.A. em que o próximo termo, a partir do segundo, é sempre maior que o antecessor, ou seja, com r > 0.Exemplo: (1, 3, 5, 7, 9, 11, …) é uma P.A. com razão r = 2.
  • Decrescente: É toda P.A. em que o próximo termo, a partir do segundo, é sempre menor que o seu antecessor, ou seja, r < 0.Exemplo: (7, 5, 3, 1, -1, -3, …) é uma P.A. com r = -2.
  • Constante: toda P.A. em que seus termos são iguais, o seja, com r = 0.Exemplo: (1, 1, 1, 1, 1, …) é uma P.A. com r = 0.

Termo geral de uma progressão aritmética (P.A)

Podemos encontrar qualquer termo de uma P.A. ou o total de termos da seguinte forma:

Seja a P.A. com razão r a seguir:

  • (a1, a2, a3, …, an-1, an, …)

A partir da P.A. acima, sabemos que:

  • a1 = a1
  • a2 = a1 + r
  • a3 = a2 + r
  • a4 = a3 + r
  • a5 = a4 + r
    .
    .
    .
  • an = an-1 + r
  • Se somarmos as igualdades acima, membro a membro, teremos:
  • (a1 + a2 + a3 + … + an-1) + (an = a1 + a2 + a3 + … an-1) + r + r + r + … + r ((n – 1) vezes)
  • Com isso chegaremos a seguinte fórmula, após simplificarmos os termos:
  • Onde:
  • an: é o termo geral;
  • a1: é o primeiro termo da P.A.;
  • n: é o número de termos ou o total de termos;
  • r: é a razão.
Leia também:  Como agir em caso de apagão ou falta de energia

A fórmula acima é conhecida como a fórmula do termo geral da P.A., com ela podemos encontrar qualquer termo em uma P.A., desde que conheçamos a1, n e r.

Exemplo:

  1. Encontre o 5 termo de uma P.A. sabendo que o primeiro termo a1 = 2 e r = 5.
    1. De acordo com o enunciado: a1 = 2, r = 5, n = 5.
    2. Assim, substituindo na fórmula do termo geral, temos que:
    3. a5 = 2 + (5 – 1).5
    4. a5 = 2 + 4 x 5
    5. a5 = 2 + 20
    6. a5 = 22
    7. Vamos conferir: (2, 7, 12, 17, 22, …) Correto!
  2. Determine o total de termos da P.A.: (2, 7, 12, 17, 22, …, 57)
    • Pela questão temos que an = 57, a1 = 2 e r = 5. Então, substituindo na fórmula do termo geral, temos que:
    • 57 = 2 + (n – 1).5
    • 57 = 2 + (5n – 5) (distributiva da multiplicação)
    • 57 = 2 + 5n – 5 (-5 + 2 = -3)
    • 57 = -3 + 5n (passa o -3 trocando o sinal)
    • 57 + 3 = 5n
    • 60 = 5n (passa dividindo)
    • n = 60⁄5
    • n = 12

    Dessa forma, o número de termos dessa P.A. é 12.

    Vamos conferir: 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47, 52 e 57

  3. Determine a razão de uma P.A. sabendo que an = 31, a1 = 10 e n = 8
    1. 31 = 10 + (8 – 1).r
    2. 31 = 10 + 7r
    3. 31 – 10 = 7r
    4. 21 = 7r
    5. r = 21⁄7
    6. r = 3

    Portanto, a razão para a P.A. da questão é r = 3

Soma dos termos de uma progressão aritmética finita

A soma de todos os termos de uma progressão aritmética é dada pela fórmula:

Como Calcular o Número de Termos de uma Progressão Aritmética

Exemplo:

Calcule a soma dos 20 primeiros termos da P.A. (1, 5, 9, 13, 17, 21, …)

  • Primeiramente precisamos saber qual é o termo a20:
  • an = a1 + (n – 1)r ⇒ a20 = 1 + (20 – 1).4 ⇒ a20 = 1 + 76 ⇒ a20 = 77
  • Assim, podemos calcular a soma dos 20 primeiros termos, então:

Como Calcular o Número de Termos de uma Progressão Aritmética

Propriedade da Progressão Aritmética (P.A.)

  • Cada termo, a partir do segundo, é uma média aritmética dos termos sucessor e antecessor. Assim, considerando uma P.A (a, b, c, d, …), então: b = (a + c)/2

Exercícios

Veja os exercícios que preparamos no link abaixo:

Bons estudos!

  1. Veja mais…
  2. Progressão Geométrica
  3. Tabuada
  4. Razão e Proporção


Encontrou algum erro? Avise-nos

clicando aqui

Progressão Aritmética, PA – Algo Sobre

94
O que e aritmética, o que e progressão aritmética encontre as respostas pa
https://www.algosobre.com.br/matematica/progressao-aritmetica-pa.html

Chama-se sequência ou sucessão numérica, a qualquer conjunto ordenado de números reais ou complexos. Assim, por exemplo, o conjunto ordenado A = ( 3, 5, 7, 9, 11, … , 35) é uma sequência cujo primeiro termo é 3, o segundo termo é 5, o terceiro termo é 7 e assim sucessivamente.

Uma sequência pode ser finita ou infinita. O exemplo dado acima é de uma sequência finita.

Já a sequência P = (0, 2, 4, 6, 8, … ) é infinita.

Uma sequência numérica pode ser representada genericamente na forma: (a1, a2, a3, … , ak, … , an, …) onde a1 é o primeiro termo, a2 é o segundo termo, … , ak é o k-ésimo termo, … , an é o n-ésimo termo. (Neste caso, k < n).

Por exemplo, na sequência Y = ( 2, 6, 18, 54, 162, 486, … ) podemos dizer que a3 = 18,  a5 = 162, etc.

São de particular interesse, as sequências cujos termos obedecem a uma lei de formação, ou seja é possível escrever uma relação matemática entre eles.

Assim, na sequência Y acima, podemos observar que cada termo a partir do segundo é igual ao anterior multiplicado por 3. A lei de formação ou seja a expressão matemática que relaciona entre si os termos da sequência, é denominada termo geral.

Considere por exemplo a sequência S cujo termo geral seja dado por an = 3n + 5, onde n é um número natural não nulo.  Observe que atribuindo-se valores para n, obteremos o termo an (n – ésimo termo) correspondente.  Assim por exemplo, para n = 20, teremos

an = 3.20 + 5 = 65, e portanto o vigésimo termo dessa sequência (a20) é igual a 65.

Prosseguindo com esse raciocínio, podemos escrever toda a sequência S que seria:

S = ( 8, 11, 14, 17, 20, … ).

Dado o termo geral de uma sequência, é sempre fácil determiná-la. Seja por exemplo a sequência de termo geral an = n2 + 4n + 10, para n inteiro e positivo.  Nestas condições, podemos concluir que a sequência poderá ser escrita como:

(15, 22, 31, 42, 55, 70, … ).

Por exemplo:

 a6 = 70 porque a6 = 62 + 4.6 + 10 = 36 + 24 + 10 = 70.

Conceito de Progressão Aritmética – PA

Chama-se Progressão Aritmética – PA – à toda sequência numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão.

Exemplos: A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, … ) razão = 4 (PA crescente) B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, … ) razão = 9 (PA crescente) C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, … ) razão = 0 (PA constante)

D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, … ) razão = -10 ( PA decrescente)

Termo Geral de uma Progressão Aritmética

Seja a PA genérica (a1, a2, a3, … , an, …) de razão r. De acordo com a definição podemos escrever:

a2 = a1 + 1.r

a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r ……………………………………………..

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que: ………….. an = a1 + (n – 1) . r A expressão an = a1 + (n – 1) .

r é denominada termo geral da PA.

Nesta fórmula, temos que an é o termo de ordem n (n-ésimo termo) , r é a razão e a1 é o primeiro termo da Progressão Aritmética – PA.

Exemplos:

Qual o milésimo número ímpar positivo? Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, … ) onde o primeiro termo a1= 1, a razão r = 2 e queremos calcular o milésimo termo a1000. Nestas condições, n = 1000 e poderemos escrever: a1000 = a1 + (1000 – 1).2 = 1 + 999.2 = 1 + 1998 = 1999. Portanto, 1999 é o milésimo número ímpar.

Qual o número de termos da PA: ( 100, 98, 96, … , 22) ? Temos a1 = 100, r = 98 -100 = – 2 e an = 22 e desejamos calcular n. Substituindo na fórmula do termo geral, fica: 22 = 100 + (n – 1). (- 2) ; logo, 22 – 100 = – 2n + 2 e, 22 – 100 – 2 = – 2n de onde conclui-se que – 80 = – 2n ,  de onde vem n = 40.

  • Portanto, a PA possui 40 termos.
  • Através de um tratamento simples e conveniente da fórmula do termo geral de uma Progressão Aritmética, podemos generaliza-la da seguinte forma:
  • Sendo aj o termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA e ak o termo de ordem k ( k-ésimo termo) da PA, poderemos escrever a seguinte fórmula genérica: aj = ak + (j – k).r
  • Exemplos:

Se numa Progressão Aritmética o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60, qual a razão? Temos a5 = 30 e a20 = 60. Pela fórmula anterior, poderemos escrever:

a20 = a5 + (20 – 5) . r e substituindo fica: 60 = 30 + (20 – 5).r ;

60 – 30 = 15r ; logo, r = 2.

Numa Progressão Aritmética de razão 5, o vigésimo termo vale 8. Qual o terceiro termo? Temos r = 5, a20 = 8. Logo, o termo procurado será: a3 = a20 + (3 – 20).5 a3 = 8 –17.5 = 8 – 85 = – 77.

Propriedades das Progressões Aritméticas

Numa PA, cada termo (a partir do segundo) é a média aritmética dos termos vizinhos deste.

Exemplo: PA : ( m, n, r ) ; portanto, n = (m + r) / 2

Assim, se lhe apresentarem um problema de PA do tipo: Três números estão em PA, … , a forma mais inteligente de resolver o problema é considerar que a PA é do tipo: (x – r, x, x + r), onde r é a razão da PA.

  1. Numa PA, a soma dos termos equidistantes dos extremos é constante.
  2. Exemplo: PA : ( m, n, r, s, t); portanto, m + t = n + s = r + r = 2r
  3. Estas propriedades facilitam sobremaneira a solução de problemas.

5 – Soma dos n primeiros termos de uma Progressão Aritmética

Seja a PA ( a1, a2, a3, …, an-1, an). A soma dos n primeiros termos Sn = a1 + a2 + a3 + … + an-1 + an , pode ser deduzida facilmente, da aplicação da segunda propriedade acima.

Temos: Sn = a1 + a2 + a3 + … + an-1 + an

É claro que também poderemos escrever a igualdade acima como: Sn = an + an-1 + … + a3 + a2 + a1

Somando membro a membro estas duas igualdades, vem: 2. Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + … + (an + a1)

Logo, pela segunda propriedade acima, as n parcelas entre parênteses possuem o mesmo valor ( são iguais à soma dos termos extremos a1 + an ) , de onde concluímos inevitavelmente que: 2.Sn = (a1 + an).n , onde n é o número de termos da PA.

Daí então, vem finalmente que:

Como Calcular o Número de Termos de uma Progressão Aritmética

Exemplo: Calcule a soma dos 200 primeiros números ímpares positivos. Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, … )

Precisamos conhecer o valor de a200 .

Mas, a200 = a1 + (200 – 1).r = 1 + 199.2 = 399 Logo, Sn = [(1 + 399). 200] / 2 = 40.000 Portanto, a soma dos duzentos primeiros números ímpares positivos é igual a 40000.

Exercícios de progressão aritmética resolvidos e propostos:

1 – Qual é o número mínimo de termos que se deve somar na P.A. 🙁 7/5 , 1 , 3/5 , … ) , a partir do primeiro termo, para que a soma seja negativa? *a) 9 b) 8 c) 7 d ) 6

e) 5

SOLUÇÃO: Temos: a1 = 7/5 e r = 1 – 7/5 = 5/5 – 7/5 = -2/5, ou seja: r = -2/5. Poderemos escrever então, para o n-ésimo termo an: an = a1 + (n – 1).r = 7/5 + (n – 1).(-2/5) an = 7/5 – 2n/5 + 2/5 = (7/5 + 2/5) –2n/5 = 9/5 –2n/5 = (9 – 2n)/5

A soma dos n primeiros termos, pela fórmula vista anteriormente será então: Sn = (a1 + an). (n/2) = [(7/5) + (9 – 2n)/5].(n/2) = [(16 – 2n)/5].(n/2) Sn = (16n – 2n2) / 10

  • Ora, nós queremos que a soma Sn seja negativa; logo, vem: (16n – 2n2) / 10 < 0
  • Como o denominador é positivo, para que a fração acima seja negativa, o numerador deve ser negativo. Logo, deveremos ter: 16n – 2n2 < 0
  • Portanto, n(16 – 2n ) < 0 Ora, como n é o número de termos, ele é um número inteiro e positivo. Portanto, para que o produto acima seja negativo, deveremos ter:
  • 16 – 2n < 0, de onde vem 16 < 2n ou 2n > 16 ou n > 8.
Leia também:  Como beijar com aparelho dentário: 9 passos (com imagens)

Como n é um número inteiro positivo, deduzimos imediatamente que n = 9. Portanto, a alternativa correta é a letra A.

2 – As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x , x2 – 5 e estão em P.A. , nesta ordem. O perímetro do triângulo vale: a) 8 b) 12 c) 15 *d) 24

e) 33

SOLUÇÃO:Ora, se x + 1, 2x , x2 – 5 formam uma P.A. , podemos escrever: 2x – (x + 1) = (x2 – 5) – 2x 2x – x –1 + 5 – x2 + 2x = 0 3x + 4 – x2 = 0

Multiplicando por (-1) ambos os membros da igualdade acima, fica: x2 – 3x – 4 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos x = 4 ou x = – 1.

Assim, teremos: x = 4: os termos da P.A . serão: x+1, 2x, x2 – 5 ou substituindo o valor de x encontrado: 5, 8, 11, que são as medidas dos lados do triângulo. Portanto, o perímetro do triângulo (soma das medidas dos lados) será igual a 5+8+11 = 24.

O valor negativo de x não serve ao problema, já que levaria a valores negativos para os lados do triângulo, o que é uma impossibilidade matemática, pois as medidas dos lados de um triângulo são necessariamente positivas.

Portanto, a alternativa correta é a letra D.

3 – UFBA – Um relógio que bate de hora em hora o número de vezes correspondente a cada hora, baterá , de zero às 12 horas x vezes. Calcule o dobro da terça parte de x. Resp: 60

SOLUÇÃO: Teremos que: 0 hora o relógio baterá 12 vezes. (Você não acha que bateria 0 vezes, não é?). 1 hora o relógio baterá 1 vez 2 horas o relógio baterá 2 vezes 3 horas o relógio baterá 3 vezes ……………………………………………. …………………………………………….

12 horas o relógio baterá 12 vezes.

Logo, teremos a seguinte sequência: (12, 1, 2, 3, 4, 5, … , 12)

A partir do segundo termo da sequência acima, temos uma PA de 12 termos, cujo primeiro termo é igual a 1, a razão é 1 e o último termo é 12.

Portanto, a soma dos termos desta PA será: S = (1 + 12).(12/2) = 13.6 = 78

A soma procurada será igual ao resultado anterior (a PA em vermelho acima) mais as 12 batidas da zero hora. Logo, o número x será igual a x = 78 + 12 = 90. Logo, o dobro da terça parte de x será: 2. (90/3) = 2.30 = 60, que é a resposta do problema proposto.

4 – UFBA – Numa progressão aritmética, o primeiro termo é 1 e a soma do n-ésimo termo com o número de termos é 2. Calcule a razão dessa progressão. Resp: r = -1

SOLUÇÃO: Temos: a1 = 1 e an + n = 2, onde an é o n-ésimo termo. Fazendo n = 2, vem: a2 + 2 = 2, de onde vem imediatamente que a2 = 0. Daí, r = a2 – a1 = 0 – 1 = -1, que é a resposta procurada.

  1. 5 – A soma dos múltiplos positivos de 8 formados por 3 algarismos é: a) 64376 b) 12846 c) 21286 d) 112
  2. *e) 61376
  3. SOLUÇÃO: Números com 3 algarismos: de 100 a 999. Primeiro múltiplo de 8 maior do que 100 = 104 (que é igual a 8×13)
  4. Maior múltiplo de 8 menor do que 999 = 992 (que é igual a 8×124)

Temos então a PA: (104, 112, 120, 128, 136, … , 992). Da fórmula do termo geral an = a1 + (n – 1) . r poderemos escrever: 992 = 104 + (n – 1).8, já que a razão da PA é 8.

Daí vem: n = 112

Aplicando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA, teremos finalmente: Sn = S112 = (104 + 992).(112/2) = 61376 A alternativa correta é portanto, a letra E.

  • 6 – Determinar o centésimo termo da progressão aritmética na qual a soma do terceiro termo com o sétimo é igual a 30 e a soma do quarto termo com o nono é igual a 60. Resp: 965
  • SOLUÇÃO: Podemos escrever:
  • a3 + a7 = 30

a4 + a9 = 60

Usando a fórmula do termo geral, poderemos escrever: a1 + 2r + a1 + 6r = 30 ou 2.a1 + 8r = 30a1 + 3r + a1 + 8r = 60 ou 2.a1 + 11r = 60

Subtraindo membro a membro as duas expressões em negrito, vem: 3r = 30 , de onde concluímos que a razão é igual a r = 10.

Substituindo numa das equações em negrito acima, vem: 2.a1 + 8.10 = 30, de onde tiramos a1 = – 25.

Logo, o centésimo termo será: a100 = a1 + 99r = – 25 + 99.10 = 965

Agora resolva estes:

UFBA – Considere a P.A. de razão r , dada por (log4 , log12 , log36 , … ). Sendo a22 = k, determine 10k + r : 320. Resposta: 36 Para revisar logaritmos, clique AQUI.

Determine três números em PA tais que a soma deles seja 15 e a soma dos seus quadrados seja 83. Resposta: 3, 5 e 7.

Soma dos termos de uma PA

Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência numérica que segue a lógica a seguir: um elemento é igual ao anterior somado com uma constante real.

Assim, é uma propriedade das progressões aritméticas que a diferença entre dois termos consecutivos quaisquer tenha sempre o mesmo resultado. Esse resultado é chamado de razão.

A soma dos termos de uma PA pode ser calculada de maneira fácil por meio de uma fórmula, que será discutida a seguir.

O primeiro a somar termos

Gauss, matemático alemão, foi o primeiro a somar os termos de uma PA sem precisar somar todos os termos um por um. Quando criança, sua turma na escola sofreu um castigo do professor: eles deveriam somar todos os números de 1 a 100. Gauss foi o primeiro a terminar, em tempo recorde, e o único a acertar o resultado: 5050.

A explicação para isso está no fato de Gauss ter percebido que a soma do primeiro número com o último tinha 101 como resultado e que o mesmo acontecia para o segundo e penúltimo, terceiro e antepenúltimo e assim por diante. Não passou muito tempo para ele calcular que, ao final, teria 50 resultados iguais a 101 e que a soma exigida pelo professor era igual ao produto 50 por 100.

  • O pensamento de Gauss norteia a ideia central usada para demonstrar a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA.
  • Fórmula para a soma dos n primeiros termos de uma PA
  • Dada a PA (a1, a2, a3, …, an – 2, an – 1, an), que possui n termos, observe que o primeiro termo é a1, o segundo é a2, …, o penúltimo é an – 1 e o último é an.
  • Representando a soma desses termos por Sn, teremos a seguinte expressão:
  • Sn = a1 + a2 + a3 + … + an – 2 + an – 1 + an
  • Em vez de somar os termos do mesmo modo que Gauss, reescreveremos a soma como outra soma de termos de PA logo abaixo dessa, de modo que o último termo fique abaixo do primeiro, o penúltimo fique abaixo do segundo e assim por diante.
  • Sn = a1 + a2 + a3 + … + an – 2 + an – 1 + an
  • Sn = an + an – 1 + an – 2 + … + a3 + a2 + a1

Não pare agora… Tem mais depois da publicidade 😉

  1. Observe que, se somarmos as duas expressões, teremos o dobro da mesma soma que Gauss fez.
  2. Sn = a1 + a2 + a3 + … + an – 2 + an – 1 + an
  3. + Sn = an + an – 1 + an – 2 + … + a3 + a2 + a1
  4. 2Sn = (a1 + an) + (a2 + an – 1) + (a3 + an – 2) + … + (an – 2 + a3) + (an – 1 + a2) + (an + a1)

Mantendo o mesmo pensamento de Gauss, os resultados dessas somas entre parênteses serão iguais aos do primeiro termo somado ao último. Podemos substituir, portanto, todos os termos por (a1 + an). Observe:

2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + … + (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an)

Para finalizar, observe que a soma que obtivemos aqui é diferente da soma que Gauss obteve, pois possui exatamente os n termos que a PA possui. A de Gauss possuía apenas metade, pois ele somou os termos de uma mesma PA.

A soma que desenvolvemos, contudo, possui todos, pois nós duplicamos cada termo antes de somá-los. Desse modo, podemos trocar toda a soma acima pela multiplicação por n, que é o número inicial de termos.

Assim, resolvendo a equação, teremos a fórmula pretendida:

2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + … + (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an)

  • 2Sn = n(a1 + an)
  • Sn = n(a1 + an)        2
  • *n é o número de termos; a1 e an são o primeiro e o último termo, respectivamente.
  • Exemplo
  • Dada a PA (2, 4, 6, 8, 10, …), calcule a soma dos seus 100 primeiros termos.

Para calcular essa soma, é necessário conhecer o último termo dessa PA. Para tanto, usaremos a fórmula do termo geral de uma PA.

  1. an = a1 + (n – 1)r
  2. a100 = 2 + (100 – 1)2
  3. a100 = 2 + (99)2
  4. a100 = 2 + 198
  5. a100 = 200
  6. Agora, usando a fórmula para soma dos n primeiros termos de uma PA, teremos:
  7. S100 = 100(2 + 200)          2
  8. S100 = 100(202)           2
  9. S100 = 20200           2
  10. S100 = 10100

Publicado por: Luiz Paulo Moreira Silva

Seja o primeiro a comentar

Faça um comentário

Seu e-mail não será publicado.


*