Como calcular a fatoração de números primos: 14 passos

O conjunto dos números primos é objeto de estudo na matemática desde a Grécia Antiga.

Euclides, em seu grande trabalho “Os elementos”, já discutia sobre o assunto conseguindo demonstrar que esse conjunto é infinto.

Como sabemos, os números primos são aqueles que possuem como divisor o número 1 e eles mesmos, assim, encontrar números primos muito grandes não é uma tarefa fácil, e o crivo de Eratóstenes facilita esse encontro.

Como Calcular a Fatoração de Números Primos: 14 Passos Números primos entre 1 e 100.

  • Sabemos que um número primo é aquele que possui como divisor o número 1 e ele mesmo, sendo assim, um número que, em sua lista de divisores, possuir números além do 1 e de si próprio não será primo, veja:
  • Ao listar os divisores de 11 e 30, temos:
  • D(11) = {1, 11}
  • D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 30}

Veja que o número 11 possui somente o número 1 e a si próprio como divisores, logo, o número 11 é um número primo. Agora, veja os divisores do número 30, ele possui, além do número 1 e de si mesmo, os números 2, 3, 5, 6 e 10 com divisores. Portanto, o número 30 não é primo.

  1. Exemplo: Liste os primos menores que 15.
  2. Para isso, listaremos os divisores de todos os números compreendidos entre 2 e 15.
  3. D(2) = {1, 2}
  4. D(3) = {1, 3}
  5. D(4) = {1, 2, 4}
  6. D(5) = {1, 5}
  7. D(6) = {1, 2, 3, 6}
  8. D(7) = {1, 7}
  9. D(8) = {1, 2, 4, 8}
  10. D(9) = {1, 3, 9}
  11. D(10) = {1, 2, 5, 10}
  12. D(11) = {1, 11}
  13. D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
  14. D(13) = {1, 13}
  15. D(14) = {1, 2, 7, 14}
  16. D(15) = {1, 3, 5, 15}
  17. Desse modo, os primos menores que 15 são:
  18. 2, 3, 5, 7, 11 e 13

Convenhamos que essa tarefa não seria muito agradável, por exemplo, se fôssemos escrever todos os primos entre 2 e 100. Para evitá-la, aprenderemos a usar, no próximo tópico, o crivo de Eratóstenes.

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Crivo de Eratóstenes

O crivo de Eratóstenes é uma ferramenta que tem por objetivo facilitar a determinação de números primos. O crivo consiste em quatro passos, e é necessário, para compreendê-los, ter em mente os critérios de divisibilidade. Antes de iniciarmos o passo a passo, devemos criar uma tabela do número 2 até o número desejado, já que o número 1 não é primo. Então:

Passo 1: Do critério de divisibilidade por 2, temos que os números pares são todos divisíveis por ele, ou seja, o número 2 aparecerá na lista de divisores, logo, esses números não serão primos e devemos excluí-los da tabela. São eles:

4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1000, 1002, 1004, …

Passo 2: Do critério de divisibilidade por 3, sabemos que um número é divisível por 3 se a soma dos seus algarismos também o é. Assim, devemos excluir esses números da tabela, já que eles não são primos pelo fato da existência de um número além do 1 e dele próprio na listagem de divisores. Assim, devemos excluir os números:

  • 6, 9, 12, 15, 18, …, 2133, 2136, …
  • Passo 3: Do critério de divisibilidade por 5, sabemos que todos os números terminados em 0 ou 5 são divisíveis por 5, logo, devemos excluí-los da tabela.
  • 10, 15, 20, 25, …, 655, 670,…
  • Passo 4: De modo análogo, devemos excluir os números que são múltiplos de 7 da tabela.
  • 14, 21, 28, …, 546, …
  • – Conhecendo o crivo de Eratóstenes, vamos determinar os primos entre 2 e 100.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
  1. → Não são primos     → Números primos
  2. Assim, os números primos entre 2 e 100 são:
  3. {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}
  4. Leia também: Cálculo MMC e MDC: como fazer?

Decomposição em fatores primos

A decomposição em fatores primos é conhecida formalmente como teorema fundamental da aritmética.

Esse teorema afirma que qualquer número inteiro diferente de 0 e maior que 1 pode ser representado pelo produto de números primos.

Para determinar a forma fatorada de um número inteiro, devemos realizar sucessivas divisões até que cheguemos ao resultado igual a 1. Veja o exemplo:

→ Determine a forma fatorada dos números 8, 20 e 350.

Para fatorar o número 8, devemos dividi-lo pelo primeiro número primo possível, no caso, por 2. Em seguida, realizamos outra divisão também pelo primo que seja possível, esse processo é repetido até que cheguemos ao número 1 como resposta da divisão. Veja:

  • 8: 2 = 4
  • 4: 2 = 2
  • 2: 2 = 1
  • Portanto, a forma fatorada do número 8 é 2 · 2 · 2 = 23. A fim de facilitar esse processo, adotaremos o seguinte método:
  • Portanto, o número 8 pode ser escrito como: 23.
  • → Para fatorar o número 20, utilizaremos o mesmo método, ou seja: dividi-lo por números primos.

Como Calcular a Fatoração de Números Primos: 14 Passos

Assim, o número 20, em sua forma fatorada, é: 2 · 2 · 5 ou 22 · 5.

→ De maneira análoga, faremos com o número 350.

Como Calcular a Fatoração de Números Primos: 14 Passos

Portanto, o número 350, em sua forma fatorada, é: 2 · 5 · 5 · 7 ou 2 · 52 · 7.

Veja também: Notação científica: para que serve?

Exercícios resolvidos

  1. Questão 1 – Simplifique a expressão:
  2. Solução
  3. Primeiramente, vamos fatorar a expressão a fim de facilitar.

Como Calcular a Fatoração de Números Primos: 14 Passos

Desse modo, 1024 = 210, e, portanto, podemos substituir um pelo outro na expressão do exercício. Assim:

Como Calcular a Fatoração de Números Primos: 14 Passos

Por Robson Luiz Professor de Matemática

Números primos: como identificar e exemplos

Números primos são aqueles divisíveis apenas por um e por eles mesmos. Estão presentes na Matemática desde a Antiguidade, e vários métodos foram desenvolvidos a fim de verificar se um número é de fato primo, como o Crivo de Erastóstenes.

O estudo dos números primos acabou resultando no Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que todo número inteiro positivo e maior que 1 pode ser representado de maneira única como um produto de fatores primos. Atualmente os números primos têm um papel fundamental no campo da criptografia e computação.

Leia também: Curiosidades sobre os números

Como Calcular a Fatoração de Números Primos: 14 Passos Números primos entre 1 e 100.

Uma das maneiras de descobrir se um número é primo é pela listagem dos seus divisores. Caso apareça mais números além do 1 e do número a ser verificado, o número não é primo e é chamado de número composto.

1. Verifique quais dos números entre 2, 3, 10, 20, 35 e 100 são primos.

  • Para isso, vamos escrever os divisores de cada um desses números.
  • D(2) = {1;2}
  • D(3) = {1;3}
  • D(10) = {1;2;5;10}
  • D(20) = {1;2;4;5;10;20}
  • D(35) = {1;5;7;35}
  • D(100) = {1;2;4;5;10;20;25;50;100}

Perceba que, de todos os números listados, somente os números 2 e 3 possuem como divisores o 1 e si próprio. Logo, da listagem acima, somente os números 2 e 3 são primos e 10, 20, 35 e 100 são compostos.

Mas você percebeu que, à medida que o valor dos números cresce, mais complicado fica de listar os seus divisores? Nos dias atuais, é um grande desafio para matemáticos e computadores determinar se um número é ou não primo.

Existe uma ferramenta que possibilita verificarmos se números maiores são primos ou não, mas mesmo essa ferramenta possui limitações para números relativamente maiores. Essa ferramenta foi desenvolvida por Erastóstenes, matemático grego, e foi denominada como Crivo de Erastóstenes.

Veja também: 3 erros comuns ao resolver expressões numéricas

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O Crivo de Erastóstenes consiste em criar uma tabela com números que vão de 2 até o número desejado, visto que o número 1 não é primo. Em seguida, realizamos os seguintes passos:

Passo 1 – Tendo em vista as regras de divisibilidade, sabemos que o único número par primo é o número dois. Então, excluímos todos os demais pares da tabela, ou seja, os múltiplos de 2.

4,6,8,10,12,…

Passo 2 – De acordo com as regras de divisibilidade por 3, sabemos que um número é divisível por 3 caso a soma dos algarismos também seja. Assim, vamos excluir todos os números que são múltiplos de 3.

6,9,12,15,18,…, 321,324,…

Passo 3 – Do critério de divisibilidade por 5, sabemos que um número é divisível por 5 caso ele termine em 0 ou em 5.Vamos excluir todos os números que terminam em 0 e em 5.

10,15,20,15,30,…,5920,5925,…

Passo 4 – De maneira análoga, verificando o critério de divisibilidade, vamos excluir todos os múltiplos de 7.

14,21,28,35,…,539,546,…

  1. Feito todo esse processo, os números que sobrarem são os primos de 2 até o número desejado.
  2. Determine os números primos menores que 100.
  3. Inicialmente vamos construir uma tabela de 2 até 100:
Leia também:  Como alterar a velocidade de reprodução do youtube no iphone ou ipad

Como Calcular a Fatoração de Números Primos: 14 Passos

Aplicando todos os passos, vamos ter a seguinte tabela:

Como Calcular a Fatoração de Números Primos: 14 Passos Os números em amarelo são os números primos e os vermelhos são os excluídos pelo passo a passo do crivo de Erastóstenes.

O Teorema Fundamental da Aritmética é muito importante quando se fala de decomposição em fatores primos. O teorema afirma que:

Todo número inteiro maior que 1 pode ser representado como uma multiplicação de fatores primos.

Leia também: Múltiplos e divisores: o que são e como encontrar

Decomposição em fatores primos

  • Como dito, o Teorema Fundamental da Aritmética garante que todo número composto, com exceção do 1, pode ser escrito como forma de multiplicação de números primos.
  • Para encontrar a forma fatorada de determinado número primo, basta realizar divisões sucessivas por números primos.
  • Vamos determinar a forma fatorada do número composto 630.
  • Passo 1 – Dividir o número dado pelo primeiro possível, nesse caso o número 2, por se tratar de um número par. Assim:
  • 630 = 315 ∙ 2

Passo 2 – Pegamos o resultado da divisão e realizamos o mesmo processo. Note que 315 não é divisível por 2, então buscamos outro número primo. Pode ser o número 3, já que a soma de seus algarismos é divisível por 3. Assim:

  1. 630 = 105 ∙ 3
  2. Passo 3 – O mesmo processo deve ser aplicado ao 105, ou seja, vamos dividi-lo por 3 novamente. Logo,
  3. 105 = 35 ∙ 3
  4. Passo 4 – Dividindo o número 35 por 5, temos:
  5. 35 = 7 ∙ 5
  6. Passo 5 – Dividindo o 7 por ele mesmo, pois, por ser primo, só pode ser divisível por 1 e ele mesmo, temos:
  7. 7 = 1 ∙ 7
  8. Quando o quociente, que é o resultado da divisão, for igual a 1, o processo de decomposição chega ao fim. Assim, o número 630 na forma fatorada é:
  9. 630 = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7
  10. 630 = 2 ∙ 32 ∙ 5 ∙ 7
  11. Existe uma notação que simplifica todo o processo de decomposição. Veja a seguir:

Como Calcular a Fatoração de Números Primos: 14 Passos

Publicado por: Robson Luiz

Algoritmo de Euclides

Como Calcular a Fatoração de Números Primos: 14 Passos Animação do algoritmo de Euclides para os inteiros 252 e 105. As barras representam múltiplos de 21, o máximo divisor comum (MDC). Em cada passo, o número menor é subtraído ao maior, até um número ser reduzido a zero. O número restante é o MDC.

Em matemática, o algoritmo de Euclides[a] é um método simples e eficiente de encontrar o máximo divisor comum entre dois números inteiros diferentes de zero. É um dos algoritmos mais antigos, conhecido desde que surgiu nos Livros VII e X da obra Elementos de Euclides[1] por volta de 300 a.C.. O algoritmo não exige qualquer fatoração.

O MDC de dois números inteiros é o maior número inteiro que divide ambos sem deixar resto. O algoritmo de Euclides é baseado no princípio de que o MDC não muda se o menor número for subtraído ao maior.

Por exemplo, 21 é o MDC de 252 e 105 (252 = 21 × 12; 105 = 21 × 5); já que 252 − 105 = 147, o MDC de 147 e 105 é também 21. Como o maior dos dois números é reduzido, a repetição deste processo irá gerar sucessivamente números menores, até convergir em zero.

Nesse momento, o MDC é o outro número inteiro, maior que zero.

Ao reverter os passos do algoritmo de Euclides, o MDC pode ser expresso como soma dos dois números originais, cada um multiplicado por um número inteiro positivo ou negativo, por exemplo:
21 = 5 × 105 + (−2) × 252. Esta importante propriedade é denominada identidade de Bézout.

A mais antiga descrição que se conhece do método usado no algoritmo de Euclides é da sua obra Elementos (c. 300 a.C.), o que o torna um dos algoritmos numéricos mais antigos ainda em uso corrente.

O algoritmo original foi descrito apenas para números naturais e comprimentos geométricos, mas foi generalizado no século XIX para outras classes de números como os inteiros gaussianos e polinómios de uma variável. Isto conduziu a noções da moderna álgebra abstrata tais como os domínios euclidianos.

O algoritmo de Euclides foi ainda generalizado mais a outras estruturas matemáticas, como os nós e polinómios multivariados.

O algoritmo tem muitas aplicações teóricas e práticas. Ele pode ser usado para gerar quase todas as importantes aplicações tradicionais usados em diferentes culturas em todo o mundo.

[2] Ele é um elemento-chave dos algoritmos RSA, um método de criptografia de chave pública usado no comércio eletrônico.

Ele é usado para resolver as equações de diofantina, tal como na descoberta de números que seja safistatório em múltiplas congruências (teorema chinês do resto) ou inverso multiplicativo de um número finito.

Ele pode também ser usado para construir frações contínuas, em um método para o teorema de Sturm para descobrir raízes reais em um polinômio, e em vários algoritmos modernos em fatoração de inteiros. Finalmente, é uma ferramenta básica para obter
na teoria dos números modernas, tal como teorema de Fermat-Lagrange e no teorema fundamental da aritmética.

História do desenvolvimento do algoritmo

Esta figura na obra “Escola de Atenas” de Rafael retrata muito provavelmente Euclides.

O algoritmo de Euclides é um dos mais antigos algoritmos ainda em uso.[3] Surge na sua obra Os Elementos (c. 300 a.C.), especificamente nos Livros 7 (Proposições 1–2) e 10 (Proposições 2–3). No Livro 7, o algoritmo é formulado para inteiros, enquanto no Livro 10 é formulado para comprimentos de segmentos lineares (dir-se-ia hoje que estaria formulado para números reais). Comprimentos, áreas e volumes, representados como números reais hoje em dia, não são medidos nas mesmas unidades, e não existe uma unidade natural de comprimento, área ou volume. O conceito de número real era desconhecido à época de Euclides. O último algoritmo é geométrico. O MDC de dois comprimentos a e b corresponde ao maior comprimento g que mede propriamente a e b; por outras palavras, os comprimentos a e b são o resultado da multiplicação do comprimento g por números inteiros.

O algoritmo não foi provavelmente concebido por Euclides, que compilou resultados de matemáticos anteriores nos seus Elementos.

[4][5] O matemático e historiador Bartel van der Waerden sugere que o Livro VII provém de um texto em teoria dos números escrito por matemáticos da escola de Pitágoras.[6] O algoritmo era provavelmente conhecido por Eudoxo de Cnido (cerca de 375 a.C.).

[3][7] Poderá ainda ser anterior a Eudoxo,[8][9] a julgar pelo uso do termo técnico ἀνθυφαίρεσις (anthyphairesis, subtração recíproca) em trabalhos de Euclides e Aristóteles.[10]

Séculos mais tarde, o algoritmo de Euclides terá sido reinventado de forma independente na Índia e China,[11] sobretudo para resolver equações diofantinas que surgiram relacionadas com a Astronomia e a elaboração de calendários precisos.

No final do século V, o matemático indiano e astrónomo Aryabhata descreveu o algoritmo como o “pulverizador”,[12] por causa da sua eficácia a resolver equações diofantinas.

[13] Embora um caso especial do teorema chinês do resto já fora descrito pelo matemático e astrónomo chinês Sun Tzu,[14] a solução geral foi publicada por Ch’in Chiu-Shao na sua obra de 1247 chamada Shushu Jiuzhang (數書九章 Tratado Matemático em Nove Partes).

[15] O algoritmo de Euclides foi descrito pela primeira vez na Europa na segunda edição de Problèmes plaisants et délectables (Problemas aprazíveis e deleitáveis, 1624) de Bachet de Méziriac .[12] Na Europa, era usado para resolver equações diofantinas e desenvolvimento de frações contínuas. O algoritmo de Euclides estendido foi publicado pelo matemático inglês Nicholas Saunderson, que o atribuiu a Roger Cotes como método para calcular frações contínuas de forma eficiente.[16]

Descrição do algoritmo

Definição do algoritmo

  • A ideia principal no Algoritmo de Euclides é que o MDC pode ser calculado recursivamente, usando o resto da divisão como entrada para o próximo passo, o que é baseado na seguinte propriedade do MDC:
  • M
    D
    C
    (
    a
    ,
    b
    )
    =
    M
    D
    C
    (
    b
    ,
    r
    )

    {displaystyle MDC(a,b)=MDC(b,r)}

  • onde

    r

    {displaystyle r}

    é o resto da divisão de

    a

    {displaystyle a}

    por

    b

    {displaystyle b}

    .

  • Isso quer dizer que o resto da divisão em uma chamada do algoritmo será usado como entrada para a próxima chamada.
  • Sabemos que esse resto é calculado da seguinte forma:

    r
    =
    a

    b
    q

    {displaystyle r=a-bq}

    , onde

    q
    =

    a
    b

    {displaystyle q={frac {a}{b}}}

    é uma divisão inteira.

  • Desta forma, podemos substituir as variáveis para obter uma sequência: usando

    a
    =

    r

    k

    1

    {displaystyle a=r_{k-1}}

    ,

    b
    =

    r

    k

    {displaystyle b=r_{k}}

    e

    r
    =

    r

    k
    +
    1

    {displaystyle r=r_{k+1}}

    , temos a seguinte sequência:

  • r

    k
    +
    1

    =

    r

    k

    1

    r

    k

    q

    {displaystyle r_{k+1}=r_{k-1}-r_{k}q}

  • que nos diz que para calcular o próximo resto, basta multiplicar o resto atual por

    q
    =

    r

    k

    1

    r

    k

    {displaystyle q={frac {r_{k-1}}{r_{k}}}}

    e depois subtrair do resto anterior.

  • Quando o próximo resto for igual a zero, o algoritmo termina a execução e o resto atual (

    r

    k

    {displaystyle r_{k}}

    ) é o máximo divisor comum.

  • A partir dessas observações, podemos facilmente derivar uma versão completa do algoritmo:
  • MDC (a, b)

if (b == 0)
return a
else
return MDC(b, a % b)

Desta versão recursiva, é fácil derivar a versão iterativa: é necessário apenas observar que a condição de parada

b
=
0

{displaystyle b=0}

e que na chamada subsequente do algoritmo, o valor de

a

{displaystyle a}

é o valor antigo de

b

{displaystyle b}

e o valor do novo

b

{displaystyle b}

é o valor do resto.

MDC(a, b)

while (b != 0)
r = a % b
a = b
b = r
return a;

Versão original (geométrica)

Representação do número de passos necessários no algoritmo de Euclides.

Na concepção grega da matemática, os números eram entendidos como magnitudes geométricas.

Um tema recorrente na geometria grega era o da comensurabilidade de dois segmentos: dois segmentos (números) AB e CD são comensuráveis quando existe um terceiro segmento PQ que cabe exactamente um número inteiro de vezes nos primeiros dois, ou seja, PQ «mede» (mensura: medida) os segmentos AB e CD.

Nem todos os pares de segmentos são comensuráveis, como observaram os pitagóricos quando estabeleceram que

2

{displaystyle {sqrt {2}}}

não é um número racional, mas no caso de dois segmentos comensuráveis pretende-se determinar a maior medida comum possível.

Euclides descreveu na proposição VII.2 dos seus Elementos um método que permite determinar a maior medida comum de dois números (segmentos) que não sejam primos entre si, embora na época tal método se explicasse em termos geométricos, o que se ilustra na transcrição seguinte:

Para encontrar a máxima medida comum de dois números que não sejam primos entre si.

Sejam AB e CD os dois números que não são primos entre si. É necessário então encontrar a máxima medida comum de AB e CD.

Se CD mede AB então é uma medida comum já que CD se mede a si mesmo. É manifesto que também é a maior medida pois nada maior que CD pode medir CD.

Mas se CD não mede AB então algum número restará de AB e CD, o menor sendo continuamente resto do maior e que medirá o número que o precede.

Porque uma unidade não ficará pois se assim não for, AB e CD serão primos entre si [Prop. VII.1], o que é contrário ao que se supôs.

Portanto, ficará algum número que medirá o número que o precede. E seja CD a medir BE deixando EA menor que si mesmo e seja EA medindo DF deixando FC menor que si mesmo e seja FC medida de AE.

Então, como FC mede AE e AE mede DF, FC será então medida de DF. E também se mede a si mesmo. Portanto também medirá todo o segmento CD. e CD mede BE. Então CF mede BE e também mede EA. Assim mede todo o segmento BA e também mede CD.

Isto é, CF mede tanto AB como CD, pelo que é uma medida comum de AB e CD.

Afirmo que também é a maior medida comum possível porque se não o fosse, então um número maior que CF mede os números AB e CD. Seja este G. Dado que G mede CD e CD mede BE, G também mede BE.

Além disso, mede todo o segmento BA pelo que mede também o resíduo AE. E AE mede DF pelo que G também mede DF.

Mede ainda todo o segmento DC pelo que mede também o resíduo CF, ou seja, o maior mede o menor, o que é impossível.

Portanto, nenhum número maior que CF pode medir os números AB e CD. Então CF é a maior medida comum de AB e CD, o que era o que se queria demonstrar.— Euclides. Elementos VII.2

Numa linguagem mais moderna, o algoritmo poderia ser descrito da seguinte forma:

  1. Dados dois segmentos AB e CD (com AB>CD), retira-se CD de AB tantas vezes quanto possível. Se não houver resto, então CD é a máxima medida comum.
  2. Se se obtém um resto EF, este é menor que CD e podemos repetir o processo: retira-se EF tantas vezes quanto possível de CD. Se no final não restar nada, EF é a medida comum. No caso contrário obtém-se um novo resíduo GH menor que EF.
  3. O processo repete-se até não haver nenhum resto. O último resto obtido é a maior medida comum.

O facto de os segmentos serem comesuráveis é a chave para assegurar que o processo termina sempre, como se prova de seguida.

Demonstração da terminação e exatidão do algoritmo

A própria definição da série

(

a

n

)

{displaystyle (a_{n})}

por divisão euclidiana mostra que, para qualquer

n

{displaystyle n}

tal que

a

n
+
1

{displaystyle a_{n+1}}

é não nulo, existe um inteiro

q

n
+
2

{displaystyle q_{n+2}}

tal que :

a

n

=

q

n
+
2

×

a

n
+
1

+

a

n
+
2

{displaystyle a_{n}=q_{n+2} imes a_{n+1}+a_{n+2}}

e ainda

0

a

n
+
2

Como Calcular a Fatoração de Números Primos

  1. 1

    Entenda a fatoração. Esse é o processo de “quebrar” um número em partes menores. Essas partes, ou fatores, se multiplicam entre si para chegar ao valor inicial.

    • Por exemplo, para fatorar o número 18{displaystyle 18}, reduza-o a 1×18{displaystyle 1 imes 18}, a 2×9{displaystyle 2 imes 9} ou, ainda, a 3×6{displaystyle 3 imes 6}.
  2. 2

    Revise o conceito de números primos. Um número primo possui somente dois fatores: ele mesmo e o número 1{displaystyle 1}. O número 5{displaystyle 5}, por exemplo, é o produto entre 5{displaystyle 5} e 1{displaystyle 1}. Você não pode dividi-lo por quaisquer outros valores. O objetivo da fatoração de números primos é continuar essa redução até que só restem valores primos. Isso é bastante útil ao lidar com frações, o que as torna mais fáceis de comparar e de usar em equações.[1]

  3. 3

    Comece com um número. Escolha qualquer valor maior do que 3{displaystyle 3}. Não há finalidade em começar com um número primo, pois é impossível fatorá-lo.

    • Exemplo: Nesse guia, será determinada a fatoração de primos em 24{displaystyle 24}.
  4. 4

    Fatore-o em dois números. Encontre dois valores que se multiplicam para chegar ao valor original. Você pode fazer qualquer escolha, mas um número primo facilitará o trabalho. Uma boa estratégia é tentar dividir o valor por 2{displaystyle 2}, por 3{displaystyle 3} e por 5{displaystyle 5}, subindo pelos números primos até encontrar aquele para uma divisão equivalente.

    • Exemplo: Se você não conhece os fatores de 24{displaystyle 24}, experimente dividi-lo por números primos pequenos. Comecemos por uma divisão por 2{displaystyle 2} para obter 24=2×12{displaystyle 24=2 imes 12}. O cálculo não terminou, mas esse é um bom início.
    • Uma vez que 2{displaystyle 2} é um número primo, essa é uma forma fácil de começar ao fatorar qualquer número par.
  5. 5

    Comece fazendo uma árvore de fatores. Essa é uma forma simples de se visualizar um problema de fatoração.[2] Para fazer uma, desenhe dois “ramos” bifurcados a partir do número original. Escreva ambos na extremidade desses ramos.

    • Exemplo:
    •    24{displaystyle 24}
    •     /
    • 2{displaystyle 2}    12{displaystyle 12}
  6. 6

    Fatore a próxima linha de números. Veja os dois novos números (segunda linha na árvore de fatores). São ambos primos? Se um deles não for um valor primo, fatore-o novamente da mesma forma. Faça mais ramos e escreva os novos fatores em uma terceira linha.

    • Exemplo: 12{displaystyle 12} não é um número primo e, por isso, o fatoraremos novamente. Use 12=2×6{displaystyle 12=2 imes 6} e some o valor à árvore de fatores:
    •    24{displaystyle 24}
    •     /
    • 2{displaystyle 2}   12{displaystyle 12}
    •        /
    •    2{displaystyle 2} ×{displaystyle imes } 6{displaystyle 6}
  7. 7

    Desça o número primo. Se um dos fatores for primo, desça-o para a próxima linha em seu próprio “ramo”. Não há meio de reduzi-lo ainda mais e, por isso, basta deixá-lo anotado.

    • Exemplo: 2{displaystyle 2} é um número primo. Desça esse número da segunda linha para a terceira.
    •      24{displaystyle 24}
    •       /
    •    2{displaystyle 2}   12{displaystyle 12}
    •   /       /
    • 2{displaystyle 2}     2{displaystyle 2}   6{displaystyle 6}
  8. 8

    Continue a fatoração até restar apenas com números primos. Confira cada nova linha na árvore de fatores ao tê-la escrito. Se qualquer dos números puder ser fatorado novamente, faça uma nova linha. Quando restarem apenas valores primos, isso significa que você terminou.

    • Exemplo: 6{displaystyle 6} não é um número primo e precisa ser fatorado novamente. Por outro lado, 2{displaystyle 2} é um número primo e descerá para a próxima linha.
    •         24{displaystyle 24}
    •          /
    •       2{displaystyle 2}    12{displaystyle 12}
    •      /        /
    •    2{displaystyle 2}     2{displaystyle 2}    6{displaystyle 6}
    •   /      /       /
    • 2{displaystyle 2}     2{displaystyle 2}    2{displaystyle 2}   3{displaystyle 3}
  9. 9

    Escreva a linha final com os fatores primos encontrados. Em algum momento, você restará apenas com números primos. Quando isso ocorrer, o processo estará terminado. A fatoração dos números primos será representada por toda a última linha, escrita em forma de uma sentença de multiplicações.

    • Confira o seu trabalho multiplicando os números da última linha. O resultado deverá ser o valor original.
    • Exemplo: A linha final da árvore de fatores não tem nada além de valores 2{displaystyle 2} e 3{displaystyle 3}. Ambos são primos e, por essa razão, o processo está terminado. É possível escrever a fatoração dos primos de 24{displaystyle 24} como 24=2×2×2×3{displaystyle 24=2 imes 2 imes 2 imes 3}.
    • A ordem dos fatores não importa. 2×3×2×2{displaystyle 2 imes 3 imes 2 imes 2} também será uma resposta correta.
  10. 10

    Simplifique usando potências (opcional). Se souber como potenciar, você pode tornar a fatoração de números primos ainda mais fácil de ler. Lembre-se de que a potência nada mais é do que um número-base seguido por um valor elevado que representa quantas vezes essa base será multiplicada por si mesma.

    • Exemplo: Na fatoração 2×2×2×3{displaystyle 2 imes 2 imes 2 imes 3}, quantas vezes o número 2{displaystyle 2} aparece? Como a resposta é “três vezes”, basta simplificar 2×2×2{displaystyle 2 imes 2 imes 2} por 23{displaystyle 2^{3}}. A fatoração de números primos simplificada será representada por 23×3{displaystyle 2^{3} imes 3}.

Fatoração de Polinômios: tipos, exemplos e exercícios

Rosimar Gouveia

Professora de Matemática e Física

  • Fatoração é um processo utilizado na matemática que consiste em representar um número ou uma expressão como produto de fatores.
  • Ao escrever um polinômio como a multiplicação de outros polinômios, frequentemente conseguimos simplificar a expressão.
  • Confira abaixo os tipos de fatoração de polinômios:

Fator Comum em Evidência

  1. Usamos esse tipo de fatoração quando existe um fator que se repete em todos os termos do polinômio.
  2. Esse fator, que pode conter número e letras, será colocado na frente dos parênteses.

  3. Dentro dos parênteses ficará o resultado da divisão de cada termo do polinômio pelo fator comum.
  4. Na prática, vamos fazer os seguintes passos:

1º) Identificar se existe algum número que divide todos os coeficientes do polinômio e letras que se repetem em todos os termos.

2º) Colocar os fatores comuns (número e letras) na frente dos parênteses (em evidência).

3º) Colocar dentro dos parênteses o resultado da divisão de cada fator do polinômio pelo fator que está em evidência. No caso das letras, usamos a regra da divisão de potências de mesma base.

  • Exemplos
  • a) Qual é a forma fatorada do polinômio 12x + 6y – 9z?
  • Primeiro, identificamos que o número 3 divide todos os coeficientes e que não existe nenhuma letra que se repete.
  • Colocamos o número 3 na frente dos parênteses, dividimos todos os termos por três e o resultado iremos colocar dentro dos parênteses:
  • 12x + 6y – 9z = 3 (4x + 2y – 3z)
  • b) Fatore 2a2b + 3a3c – a4.
  • Como não existe número que divide ao mesmo tempo 2, 3 e 1, não iremos colocar nenhum número na frente dos parênteses.

A letra a se repete em todos os termos. O fator comum será o a2, que é o menor expoente do a na expressão.

  1. Dividimos cada termo do polinômio por a2:
  2. 2a2 b : a2 = 2a2 – 2 b = 2b
  3. 3a3c : a2 = 3a3 – 2 c = 3ac
  4. a4 : a2 = a2
  5. Colocamos o a2 na frente dos parênteses e os resultados das divisões dentro dos parênteses:
  6. 2a2b + 3a3c – a4 = a2 (2b + 3ac – a2)

Agrupamento

  • No polinômio que não exista um fator que se repita em todos os termos, podemos usar a fatoração por agrupamento.
  • Para isso, devemos identificar os termos que podem ser agrupados por fatores comuns.
  • Nesse tipo de fatoração, colocamos os fatores comuns dos agrupamentos em evidência.
  • Exemplo
  • Fatore o polinômio mx + 3nx + my + 3ny

Os termos mx e 3nx tem como fator comum o x.

Já os termos my e 3ny possuem como fator comum o y.

  1. Colocando esses fatores em evidência:
  2. x (m + 3n) + y (m + 3n)
  3. Note que o (m + 3n) agora também se repete nos dois termos.
  4. Colocando novamente em evidência, encontramos a forma fatorada do polinômio:
  5. mx + 3nx + my + 3ny = (m + 3n) (x + y)

Trinômio Quadrado Perfeito

  • Trinômios são polinômios com 3 termos.
  • Os trinômios quadrados perfeitos a2 + 2ab + b2 e a2 – 2ab + b2 resultam do produto notável do tipo (a + b)2 e (a – b)2.
  • Assim, a fatoração do trinômio quadrado perfeito será:
  • a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (quadrado da soma de dois termos)
  • a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 (quadrado da diferença de dois termos)
  • Para saber se realmente um trinômio é quadrado perfeito, fazemos o seguinte:

1º) Calcular a raiz quadrada dos termos que aparecem ao quadrado.
2º) Multiplicar os valores encontrados por 2.

3º) Comparar o valor encontrado com o termo que não apresenta quadrados. Se forem iguais, é um quadrado perfeito.

  1. Exemplos
  2. a) Fatorar o polinômio x2 + 6x + 9
  3. Primeiro, temos que testar se o polinômio é quadrado perfeito.
  4. √x2 = x e √9 = 3

Multiplicando por 2, encontramos: 2 . 3 . x = 6x

  • Como o valor encontrado é igual ao termo que não está ao quadrado, o polinômio é quadrado perfeito.
  • Assim, a fatoração será:
  • x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
  • b) Fatorar o polinômio x2 – 8xy + 9y2
  • Testando se é trinômio quadrado perfeito:
  • √x2 = x e √9y2 = 3y

Fazendo a multiplicação: 2 . x . 3y = 6xy

O valor encontrado não coincide com o termo do polinômio (8xy ≠ 6xy).

Como não é um trinômio quadrado perfeito, não podemos usar esse tipo de fatoração.

Diferença de Dois Quadrados

  1. Para fatorar polinômios do tipo a2 – b2 usamos o produto notável da soma pela diferença.
  2. Assim, a fatoração de polinômios desse tipo será:
  3. a2 – b2 = (a + b) . (a – b)
  4. Para fatorar, devemos calcular a raiz quadrada dos dois termos.

  5. Depois, escrever o produto da soma dos valores encontrados pela diferença desses valores.
  6. Exemplo
  7. Fatorar o binômio 9×2 – 25.

  8. Primeiro, encontrar a raiz quadrada dos termos:
  9. √9×2 = 3x e √25 = 5
  10. Escrever esses valores como produto da soma pela diferença:
  11. 9×2 – 25 = (3x + 5) . (3x – 5)

Cubo Perfeito

  • Os polinômios a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 e a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 resultam do produto notável do tipo (a + b)3 ou (a – b)3.
  • Assim, a forma fatorada do cubo perfeito é:
  • a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
  • a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3
  • Para fatorar polinômios desse tipo, devemos calcular a raiz cúbica dos termos ao cubo.
  • Depois, é necessário confirmar se o polinômio é cubo perfeito.
  • Se for, elevamos ao cubo a soma ou a subtração dos valores das raízes cúbicas encontradas.
  • Exemplos
  • a) Fatorar o polinômio x3 + 6×2 + 12x + 8
  • Primeiro, vamos calcular a raiz cúbica dos termos ao cubo:
  • 3√ x3 = x e 3√ 8 = 2
  • Depois, confirmar se é cubo perfeito:

3 . x2 . 2 = 6×2

3 . x . 22 = 12x

  1. Como os termos encontrados são iguais aos termos do polinômio, então é um cubo perfeito.
  2. Assim, a fatoração será:
  3. x3 + 6×2 + 12x + 8 = (x + 2)3
  4. b) Fatorar o polinômio a3 – 9a2 + 27a – 27
  5. Primeiro vamos calcular a raiz cúbica dos termos ao cubo:
  6. 3√ a3 = a e 3√ – 27 = – 3
  7. Depois confirmar se é cubo perfeito:

3 . a2 . (- 3) = – 9a2

3 . a . (- 3)2 = 27a

  • Como os termos encontrados são iguais aos termos do polinômio, então é um cubo perfeito.
  • Assim, a fatoração será:
  • a3 – 9a2 + 27a – 27 = (a – 3)3
  • Leia também:

Exercícios Resolvidos

  1. Fatore os seguintes polinômios:
  2. a) 33x + 22y – 55z
    b) 6nx – 6ny
    c) 4x – 8c + mx – 2mc
  3. d) 49 – a2

e) 9a2 + 12a + 4

Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.

Fatoração: Transformando os números em multiplicação

A fatoração é um recurso usado para analisar e estudar melhor os números com o objetivo de aperfeiçoar o cálculo. É uma técnica fácil e até divertida de ser apreendida, desde que fiquem claros alguns procedimentos.O primeiro é o exercício de transformarmos qualquer número, diferente de zero, em uma multiplicação com pelo menos dois números, em outras palavras, em dois fatores.

O conceito de fatoração vem justamente desse procedimento de transformarmos um número em fatores, isto é, em números que se multiplicam. Se esses números não forem primos, poderão ser transformados em nova uma multiplicação de outros dois números permitindo a construção de um jogo de cálculo mental.

É um bom caminho para testarmos a condição de um número ser primo ou não. Se no desafio de transformarmos um número em dois fatores, depararmos com a situação de esses dois fatores serem obrigatoriamente o 1 e o próprio número, que está sendo fatorado, estaremos diante de um número primo.Assim, o 17, por exemplo, é um número primo porque – na tentativa de reescrevê-lo – com dois fatores só há a possibilidade de fazê-lo sob a forma 1 x 17.Partindo dessas noções e desses procedimentos, podemos tentar fatorar o número 1.000 perguntando: Qual a multiplicação entre dois números que possui o resultado igual a 1.000?Temos várias respostas, sendo uma delas 100 x 10.Além de descobrirmos que o número 1.000 não é primo, podemos construir uma nova pergunta para os dois números que compõe a multiplicação do 1.000, que no caso são o 10 e o 100.Quais as multiplicações que possuem como resultado o 100 e o 10? Para o 100, podemos responder que é 10 x 10. Para o 10, a resposta é 2 x 5.Esse jogo de cálculo mental permite escrever o número 1.000 em várias etapas, sendo a primeira 1000 = 100 x 10, a segunda como 1.000 = (10 x 10) x (2 x 5) e, continuando a brincadeira, finalizamos como 1.000 = (2 x 5) x (2 x 5) x (2 x 5). O jogo termina quando todos os fatores forem primos. Neste exemplo, eles são somente o 2 e o 5.Escrever 1.000 sob a forma de 2 x 5 x 2 x 5 x 2 x 5 é escrevê-lo sob a forma fatorada.

A partir desse resultado, não custa recordarmos que toda multiplicação pode ser escrita, por sua vez, na forma de potência quando há repetição dos fatores. Assim, concluímos que o número 1.000 – ao ser fatorado em 2 x 5 x 2 x 5 x 2 x 5, finalmente pode ser escrito como 23 x 53.

Mas você poderia ainda perguntar: não seria mais fácil escrever 1.000 na forma de 103? Sim, só que não será uma fatoração completa.

O 103 é uma fatoração incompleta do número 1.000 porque a base não é um número primo.

Então, não esqueça que fatorar um determinado número é escrevê-lo na forma de multiplicação ou potenciação, na condição de que os fatores ou as bases sejam números primos.

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