Como calcular a área de um trapezoide: 8 passos

Consideremos um polígono contido em um plano (por exemplo, o plano horizontal) e um ponto V localizado fora desse plano. Uma Pirâmide é a reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade em P e a outra num ponto qualquer do polígono. O ponto V recebe o nome de vértice da pirâmide.

Como Calcular a Área de um Trapezoide: 8 Passos

Exemplo: As pirâmides do Egito, eram utilizadas para sepultar faraós, bem como as pirâmides no México e nos Andes, que serviam a finalidades de adoração aos seus deuses. As formas piramidais eram usadas por tribos indígenas e mais recentemente por escoteiros para construir barracas.

Elementos de uma pirâmide

Em uma pirâmide, podemos identificar vários elementos:

Como Calcular a Área de um Trapezoide: 8 Passos

  1. Base: A base da pirâmide é a região plana poligonal sobre a qual se apoia a pirâmide.

  2. Vértice: O vértice da pirâmide é o ponto isolado P mais distante da base da pirâmide.

  3. Eixo: Quando a base possui um ponto central, isto é, quando a região poligonal é simétrica ou regular, o eixo da pirâmide é a reta que passa pelo vértice e pelo centro da base.

  4. Altura: Distância do vértice da pirâmide ao plano da base.

  5. Faces laterais: São regiões planas triangulares que passam pelo vértice da pirâmide e por dois vértices consecutivos da base.

  6. Arestas Laterais: São segmentos que têm um extremo no vértice da pirâmide e outro extremo num vértice do polígono situado no plano da base.

  7. Apótema: É a altura de cada face lateral.

  8. Superfície Lateral: É a superfície poliédrica formada por todas as faces laterais.

  9. Aresta da base: É qualquer um dos lados do polígono da base.

Classificação das pirâmides pelo número de lados da base

triangular
quadrangular
pentagonal
hexagonal
Como Calcular a Área de um Trapezoide: 8 Passos
Como Calcular a Área de um Trapezoide: 8 Passos
Como Calcular a Área de um Trapezoide: 8 Passos
Como Calcular a Área de um Trapezoide: 8 Passos
base:triângulo
base:quadrado
base:pentágono
base:hexágono

Pirâmide regular reta é aquela que tem uma base poligonal regular e a projeção ortogonal do vértice V sobre o plano da base coincide com o centro da base.

Como Calcular a Área de um Trapezoide: 8 Passos
R
raio do circulo circunscrito
r
raio do círculo inscrito
l
aresta da base
ap
apótema de uma face lateral
h
altura da pirâmide
al
aresta lateral
As faces laterais são triângulos isósceles congruentes

Área Lateral de uma pirâmide

Às vezes podemos construir fórmulas para obter as áreas das superfícies que envolvem um determinado sólido. Tal processo é conhecido como a planificação desse sólido. Isto pode ser realizado se tomarmos o sólido de forma que a sua superfície externa seja feita de papelão ou algum outro material.

No caso da pirâmide, a idéia é tomar uma tesoura e cortar (o papelão d)a pirâmide exatamente sobre as arestas, depois reunimos as regiões obtidas num plano que pode ser o plano de uma mesa.

Como Calcular a Área de um Trapezoide: 8 Passos

  • As regiões planas obtidas são congruentes às faces laterais e também à base da pirâmide.
  • Se considerarmos uma pirâmide regular cuja base tem n lados e indicarmos por A(face) a área de uma face lateral da pirâmide, então a soma das áreas das faces laterais recebe o nome de área lateral da pirâmide e pode ser obtida por:
  • A(lateral) = n A(face)
  • Exemplo: Seja a pirâmide quadrangular regular que está planificada na figura acima, cuja aresta da base mede 6cm e cujo apótema mede 4cm.
  • Como A(lateral)=n.A(face) e como a pirâmide é quadrangular temos n=4 triângulos isósceles, a área da face lateral é igual à área de um dos triângulos, assim:
A(face) = b h/2 = 6.4/2 = 12
A(lateral) = 4.12 = 48 cm²
Como Calcular a Área de um Trapezoide: 8 Passos

Exemplo: A aresta da base de uma pirâmide hexagonal regular mede 8 cm e a altura 10 cm. Calcular a área lateral.

Como Calcular a Área de um Trapezoide: 8 Passos

Usaremos a notação R[z] para representar a raiz quadrada de um número z>0.

Tomaremos a aresta com a=8 cm e a altura com h=10 cm. Primeiro vamos calcular a medida do apótema da face lateral da pirâmide hexagonal. Calcularemos o raio r da base.
Como a base é um hexágono regular temos que r=(a/2)R[3], assim r=8R[3]/2=4R[3] e pela relação de Pitágoras, segue que (ap)²=r²+h², logo:

(ap)²= (4R[3])²+10² = 48+100 = 148 = 4·37 = 2R[37]

A área da face e a área lateral, são dadas por:

A(face) = 8.2[37]/2 = 8.R[37]
A(lateral) = n.A(face) = 6.8.R[37] = 48.R[37]

Área total de uma Pirâmide

A área total de uma pirâmide é a soma da área da base com a área lateral, isto é:

A(total) = A(lateral) + A(base)

Exemplo: As faces laterais de uma pirâmide quadrangular regular formam ângulos de 60 graus com a base e têm as arestas da base medindo 18 cm. Qual é a área total?

Já vimos que A(lateral)=n.A(face) e como cos(60º)=(lado/2)/a, então 1/2=9/a donde segue que a=18, assim:

A(face) = b.h/2 = (18.18)/2 = 162
A(lateral) = 4.162 = 648

  1. A(base) = 18² = 324
  2. Concluímos que:
  3. A(total) = A(lateral) + A(base) = 648+324 = 970
  4. Exemplo: Um grupo de escoteiros quer obter a área total de suas barracas, as quais têm forma piramidal quadrangular.

Para isso, eles usam medidas escoteiras. Cada dois passos de um escoteiro mede 1 metro. A barraca tem 4 passos escoteiros de lado da base e 2 passos de apótema. Calcular a área da base, área lateral e a área total.

A(base) = 2.2 = 4 m²
A(lateral) = 4.2.1 = 8 m³

Logo, a área total da barraca é

A(total) = A(lateral) + A(base) = 8+4 = 12 m²

Volume de uma Pirâmide

O volume de uma pirâmide pode ser obtido como um terço do produto da área da base pela altura da pirâmide, isto é:

Volume = (1/3) A(base) h

Exemplo: Juliana tem um perfume contido em um frasco com a forma de uma pirâmide regular com base quadrada. A curiosa Juliana quer saber o volume de perfume que o frasco contém. Para isso ela usou uma régua e tirou duas informações: a medida da aresta da base de 4cm e a medida da aresta lateral de 6cm.

Como V(pirâmide)=A(base).h/3, devemos calcular a área da base e a medida da altura. Como a base tem forma quadrada de lado a=4cm, logo A(base)=a²=4cm.4cm=16 cm².

A altura h da pirâmide pode ser obtida como a medida de um cateto de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é dada pela altura L=6cm da aresta lateral e o outro cateto Q=2×R[2] que é a metade da medida da diagonal do quadrado. Dessa forma h²=L²-Q², se onde segue que h²=36-8=28 e assim temos que h=2R[7] e o volume será dado por V=(1/3).16.2R[7]=(32/3)R[7].

Seção Transversal de uma pirâmide

Seção transversal de uma pirâmide é a interseção da pirâmide com um plano paralelo à base da mesma. A seção transversal tem a mesma forma que a base, isto é, as suas arestas correspondentes são proporcionais. A razão entre uma aresta da seção transversal e uma aresta correspondente da base é dita razão de semelhança.

Observações sobre seções transversais:

  1. Em uma pirâmide qualquer, a seção transversal e a base são regiões poligonais semelhantes. A razão entre a área da seção transversal e a área da base é igual ao quadrado da razão de semelhança.

  2. Ao seccionar uma pirâmide por um plano paralelo à base, obtemos outra pirâmide menor (acima do plano) semelhante em todos os aspectos à pirâmide original.

  3. Se duas pirâmides têm a mesma altura e as áreas das bases são iguais, então as seções transversais localizadas à mesma distância do vértice têm áreas iguais.

V(seção)
Volume da seção até o vértice
(volume da pirâmide menor)

V(piram)
Volume da pirâmide (maior)
A(seção)
Área da seção transversal
(base da pirâmide menor)
A(base)
Área da base da pirâmide (maior)
h
Distância do vértice à seção
(altura da pirâmide menor)
H
Altura da pirâmide (maior)

Assim:

V(seção) V(base)
 =
A(seção) A(piram)
 · 
h H

Então:

Exemplo: Uma pirâmide tem a altura medindo 9cm e volume igual a 108cm³. Qual é o volume do tronco desta pirâmide, obtido pelo corte desta pirâmide por um plano paralelo à base da mesma, sabendo-se que a altura do tronco da pirâmide é 3cm?

Como

V(pirMenor)/V(pirâmide) = h³/H³
V(pirMenor)/108 = 6³/9³
V(pirMenor) = 32

  • então
  • V(tronco)=V(pirâmide)-V(pirMenor)= 108cm³-2cm³ = 76 cm³
  • Construída por Daniela Harmuch e Ulysses Sodré.

Métodos numéricos

En los cursos de Cálculo Integral aprendemos a calcular una integral definida de una función continua haciendo uso del Teorema Fundamental del Cálculo que dice que si $fleft( x
ight)$ es una función continua en un intervalo [a, b] y $Fleft( x
ight)$ es una antiderivada de $fleft( x
ight)$ entonces:

$int_a^b {fleft( x
ight)dx} = Fleft( b
ight) – Fleft( a
ight)$

El problema en la práctica se presenta, cuando se nos hace imposible mediante métodos analíticos determinar la antiderivada requerida, aun cuando se trate de integrales aparentemente sencillas como $int_1^2 {{{{x^3}} over {1 + sqrt x }}dx} $, que son imposibles de resolver con el Teorema Fundamental del Cálculo. En estos casos, debemos de recurrir a la integración numérica que permite obtener aproximaciones bastantes exactas y que se pueden resolver con el uso de asistentes matemáticos como Maxima, Derive, Mathematica, entre otros.

En este módulo nos referiremos a la regla del trapecio y a la regla de Simpson.

Regla del trapecio

La regla del trapecio es uno de los métodos más utilizados para calcular aproximaciones numéricas de integrales definidas. Es la primera de las fórmulas cerradas de integración de  Newton – Cotes, para el caso cuando el polinomio interpolante es de grado uno.

  • Para el polinomio interpolante de primer grado se tiene:
  • $A = int_a^b {fleft( x
    ight)dx} cong int_a^b {{f_1}left( x
    ight)dx} $, donde ${f_1}left( x
    ight) = fleft( a
    ight) + {{fleft( b
    ight) – fleft( a
    ight)} over {b – a}}left( {x – a}
    ight)$
  • Precisamente el área bajo la recta es una aproximación de la integral $int_a^b {fleft( x
    ight)dx} $, es decir que $A = int_a^b {left[ {fleft( a
    ight) + {{fleft( b
    ight) – fleft( a
    ight)} over {b – a}}left( {x – a}
    ight)}
    ight]dx} $. Luego se tiene que la regla del trapecio viene dada por la fórmula:
  • $A = int_a^b {fleft( x
    ight)dx} approx left( {b – a}
    ight)left[ {{{fleft( a
    ight) + fleft( b
    ight)} over 2}}
    ight] $

El nombre regla del trapecio se debe a la interpretación geométrica que se hace de la fórmula. Cuando el polinomio interpolante es de grado uno, su gráfica representa una línea recta en el intervalo [a, b] que es el área del trapecio que se forma, como se muestra en la figura.

Como Calcular a Área de um Trapezoide: 8 Passos

Ejemplo 1

Calcular la integral de $fleft( x
ight) = {x^3} – 6{x^2} + 11x – 6$, en el intervalo [1.3, 1.8] aplicando la regla del trapecio.

Solución

  • Con la ayuda de una calculadora, evaluar la función en los extremos del intervalo $fleft( {1.3}
    ight) = 0.357$, $fleft( {1.8}
    ight) = 0.192$
  • Calcular $b – a = 1.8 – 1.3 = 0.5$
  • Aplicar la fórmula de la regla del trapecio $A = int_{1.3}^{1.8} {left( {{x^3} – 6{x^2} + 11x – 6}
    ight)dx} cong 0.5left[ {{{0.357 + 0.192} over 2}}
    ight] = 0.13725$

En la siguiente figura se muestra la gráfica de la función construida con el software libre Winplot.

Como Calcular a Área de um Trapezoide: 8 Passos

Cabe mencionar que el valor real de esta integral es aproximadamente 0.165375, como se muestra en la hoja de trabajo de Derive.

Como Calcular a Área de um Trapezoide: 8 Passos

Error de la regla del trapecio

Del ejemplo anterior se puede observar que si la función a integrar no es lineal, la regla del trapecio genera un error. La fórmula para calcular el error de truncamiento local de una sola aplicación de la regla del trapecio viene dada por:

${E_x} = – {1 over {12}}{f^{left( 2
ight)}}left( xi
ight){left( {b – a}
ight)^3}$

El valor $xi $ se encuentra en algún lugar del intervalo [a, b]. Si la función a integrar es lineal, entonces la regla del trapecio  será exacta.

En el ejemplo se tiene que $ xi = 0.5 $ y ${f^{left( 2
ight)}}left( x
ight) = 6x – 12 $, luego ${f^{left( 2
ight)}}left( {0.5}
ight) = – 9 $.

El error viene dado por: $ {E_x} = – {1 over {12}} cdot left( { – 9}
ight) cdot {left( {0.5}
ight)^3} = 0.

09375 $, lo que indica que, en las funciones a integrar que posean derivadas de segundo orden o de orden superior, la regla del trapecio genera un error.

Regla del trapecio compuesta

Para obtener una mejor aproximación de la integral con este método, la regla del trapecio se puede ampliar si se subdivide el intervalo [a, b] en $n $ subintervalos, todos de la misma longitud $h = {{b – a} over n}$. A este método se le conoce con el nombre de la regla del trapecio compuesta. Para aplicar este método  siga los siguientes pasos:

  1. Divida el intervalo [a, b] en subintervalos de igual medida.
  2. Aproxime en cada subintervalo la función $f(x)$ por una recta.
  3. Aproxime el área bajo la curva $f $ en el intervalo [a, b] mediante la suma de las áreas de los trapecios.
  4. Aplique la regla del trapecio compuesta que viene dada por:
  1. $int_a^b {fleft( x
    ight)dx} approx {h over 2}left[ {fleft( a
    ight) + 2mathop sum limits_{k = 1}^{n – 1} fleft( {{x_k}}
    ight) + fleft( b
    ight)}
    ight]$
  2. El error estimado viene dado por la fórmula:
  3. ${E_x} = – {{b – a} over {12}}{h^2}{f^{left( 2
    ight)}}left( xi
    ight)$
  4. Ejemplo 2

Calcular la integral de $fleft( x
ight) = {x^3} – 6{x^2} + 11x – 6$, en el intervalo [1.3, 1.8] aplicando la regla del trapecio compuesta. Haga 6 subintervalos de igual longitud.

Solución

Calcular el tamaño de los subintervalos, $h = {{1.8 – 1.3} over 6} = 0.083333$

Construir una tabla en Excel para calcular la integral. En la siguiente figura se muestran los cálculos realizados en esta hoja electrónica.

Como Calcular a Área de um Trapezoide: 8 Passos

El error asociado en la aproximación es igual a: ${E_x} = – {{1.8 – 1.3} over {12}} cdot {left( {0.08333333}
ight)^2} cdot left( { – 11.50000}
ight) = 3.327543x{10^{ – 3}}$.

El valor real de la integral es aproximadamente 0.165375 que es una mejor aproximación que la obtenida para $n = 1 $. Obsérvese la diferencia entre los errores obtenidos con la regla del trapecio simple y la compuesta.

Con la regla del trapecio también es posible calcular integrales cuya antiderivada no es posible obtener por los métodos analíticos tradicionales, como el que se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3

Calcular la integral de $fleft( x
ight) = {e^{{x^2}}}$ en el intervalo [0, 1] aplicando la regla del trapecio compuesta. Haga 10 subintervalos de igual longitud.

Los cálculos se hicieron en Excel y los comandos utilizados son semejantes a los del ejemplo anterior, como se muestra en la figura adjunta.

Como Calcular a Área de um Trapezoide: 8 Passos

El valor real aproximado de la integral fue calculado en el software Wolfram Alpha como se muestra en la figura adjunta.

Como Calcular a Área de um Trapezoide: 8 Passos

La gráfica de la función se muestra en la figura adjunta, construida en Winplot. Obsérvese el valor real aproximado del área bajo la curva.

Como Calcular a Área de um Trapezoide: 8 Passos

El error asociado en la aproximación es igual a: ${E_x} = – {{1 – 0} over {12}} cdot {left( {{1 over {10}}}
ight)^2}left[ {2 cdot {e^{{{left( {{1 over {10}}}
ight)}^2}}} cdot left( {2 cdot {{left( {{1 over {10}}}
ight)}^2} + 1}
ight)}
ight] = – 1.717085284x{10^{ – 3}}$. Este error indica que la aproximación obtenida es aceptable.

Regla de Simpson

Además de la regla del trapecio, otra manera de obtener una estimación más exacta de una integral es utilizar polinomios de orden superior para conectar los puntos. Por ejemplo, se pueden conectar con un polinomio de tercer orden los puntos $f(a) $, $f(b) $ y el punto medio entre ellos.

A las fórmulas que resultan de calcular la integral bajo estos polinomios se les llama reglas de Simpson.

Con la regla de Simpson es posible obtener una aproximación más precisa del área bajo una curva ya que se conectan grupos sucesivos de tres puntos sobre la curva mediante parábolas de segundo grado, y al sumar las áreas bajo las parábolas se obtiene el área aproximada bajo la curva.

Esta regla a diferencia de la regla del trapecio, donde a mayor número de subdivisiones se obtiene una mejor aproximación, lo que hace es ajustar una curva de orden superior en lugar de la línea recta como sucede con la regla del trapecio.

Suponga que se tiene la función $f(x) $ y los siguientes datos:

$a$ ${x_m}$ $b$
$f(a)$ $f({x_m})$ $f(b)$

Donde ${x_m}$ es el punto medio entre $a$ y $b$. Entonces es posible ajustar por puntos $f(a)$, $f(b)$ y $f({x_m})$ una parábola. De la misma forma, si existen dos puntos entre $f(a)$ y $f(b)$, entonces por esos cuatro puntos será posible ajustar una curva de grado tres, y así sucesivamente.

En la gráfica se muestra una parábola que aproxima a una función real. Observe que se calcula el área o la integral bajo la parábola que pasa por los tres puntos.

Como Calcular a Área de um Trapezoide: 8 Passos

  • Así entonces para calcular el área bajo la curva aplicando la regla de Simpson se utiliza la siguiente fórmula:
  • $int_a^b {fleft( x
    ight)dx} approx {h over 3}left[ {fleft( a
    ight) + 4fleft( {{x_m}}
    ight) + fleft( b
    ight)}
    ight]$, con $h = {{b – a} over 2}$
  • El error estimado viene dado por la fórmula:
  • ${E_x} = – {{{h^5}} over {90}}{f^{left( 4
    ight)}}left( xi
    ight)$
  • Observe que ${E_x}$ involucra la cuarta derivada, por lo que la regla es exacta para polinomios de grado menor o igual a tres.

Ejemplo 4

  1. Calcular la integral de $fleft( x
    ight) = {e^{{x^2}}}$ en el intervalo [0, 1] aplicando la regla Simpson 1/3.

  2. En este caso se tienen los siguientes datos:
  3. $eqalign{ & a = 0 cr & {x_m} = {{1 + 0} over 2} = {1 over 2} cr & b = 1 cr & h = {{1 – 0} over 2} = {1 over 2} cr & fleft( 0
    ight) = {e^{{0^2}}} = 1 cr & fleft( {{1 over 2}}
    ight) = {e^{{{left( {{1 over 2}}
    ight)}^2}}} = {e^{{1 over 4}}} cr
  4. & fleft( 1
    ight) = e cr} $
  5. Luego aplicando la regla de Simpson 1/3 se tiene que:
  6. $eqalign{ & int_0^1 {{e^{{x^2}}}dx} approx {1 over 3} cdot {1 over 2}left[ {fleft( 0
    ight) + 4fleft( {{1 over 2}}
    ight) + fleft( 1
    ight)}
    ight] cr & int_0^1 {{e^{{x^2}}}dx} approx {1 over 6}left[ {1 + 4 cdot {e^{{1 over 4}}} + e}
    ight] cr
  7. & int_0^1 {{e^{{x^2}}}dx} approx 1.475730583 cr} $
  8. Observe que el valor obtenido con la regla de Simpson 1/3 es una mejor aproximación que el obtenido con la regla del trapecio. Para calcular el error, hay que determinar primero la cuarta derivada de la función, la cual viene dada por:
  9. $eqalign{ & fleft( x
    ight) = {e^{{x^2}}} cr & {f^{left( 1
    ight)}}left( x
    ight) = 2x{e^{{x^2}}} cr & {f^{left( 2
    ight)}}left( x
    ight) = 2{e^{{x^2}}}left( {2{x^2} + 1}
    ight) cr & {f^{left( 3
    ight)}}left( x
    ight) = 4x{e^{{x^2}}}left( {2{x^2} + 3}
    ight) cr
  10. & {f^{left( 4
    ight)}}left( x
    ight) = 4{e^{{x^2}}}left( {4{x^4} + 12{x^2} + 3}
    ight) cr } $
  11. Luego ${E_x} = – {1 over {90}} cdot {left( {{1 over 2}}
    ight)^5}left[ {4{e^{{{left( {{1 over 2}}
    ight)}^2}}}left( {4{{left( {{1 over 2}}
    ight)}^4} + 12{{left( {{1 over 2}}
    ight)}^2} + 3}
    ight)}
    ight] = – 0.011146$

Regla de Simpson 3/8

De la misma manera como se hizo en la regla de trapecio, la regla de Simpson se puede ampliar si se subdivide el intervalo [a, b] en $n$ subintervalos, todos de la misma longitud $h = {{b – a} over n}$.

Cuando el número de subdivisiones que se haga sea igual a tres, entonces el método recibe el nombre de la Regla de Simpson 3/8. Se le da ese nombre debido al factor ${3 over 8}h$ que aparece en la fórmula.

Suponga que se tiene la función $f(x)$ y los siguientes datos:

$a$ ${x_m}$ ${x_n}$ $b$
$f(a)$ $f({x_m})$ $f({x_n})$ $f(b)$

Donde ${x_m}$, ${x_n}$ son los puntos  que dividen en tres partes iguales al intervalo [a, b].

En la gráfica se muestra una parábola que aproxima a una función real. Observe que se calcula el área o la integral bajo la parábola que pasa por los cuatro puntos.

Como Calcular a Área de um Trapezoide: 8 Passos

  • Para calcular el área bajo la curva aplicando la regla de Simpson 3/8 se utiliza la siguiente fórmula:
  • $int_a^b {fleft( x
    ight)dx} approx {3 over 8}hleft[ {fleft( a
    ight) + 3fleft( {{x_m}}
    ight) + 3fleft( {{x_n}}
    ight) + fleft( b
    ight)}
    ight]$, con $h = {{b – a} over 3}$
  • Es importante señalar que para la regla de Simpson 3/8 compuesta, el número de subintervalos  solo puede ser un múltiplo de 3, en caso contrario no es posible aplicar la regla.
  • El error estimado viene dado por la fórmula:
  • ${E_x} = – {{3{h^5}} over {80}}{f^{left( 4
    ight)}}left( xi
    ight)$

Ejemplo 5

Calcular la integral de $fleft( x
ight) = {e^x}ln x$ en el intervalo [1, 3] aplicando la regla Simpson 3/8.

En este caso se tienen los siguientes datos:

$eqalign{ & h = {{3 – 1} over 3} = {2 over 3} cr & a = 1 cr & {x_m} = 1 + {2 over 3} = {5 over 3} cr & {x_n} = {5 over 3} + {2 over 3} = {7 over 3} cr & b = 3 cr & fleft( 1
ight) = {e^1}ln 1 = 0 cr & fleft( {{5 over 3}}
ight) = {e^{{5 over 3}}} cdot lnleft( {{5 over 3}}
ight) = 2.7045611 cr & fleft( {{7 over 3}}
ight) = {e^{{7 over 3}}} cdot lnleft( {{7 over 3}}
ight) = 8.7375545 cr

  1. & fleft( 3
    ight) = {e^3} cdot lnleft( 3
    ight) = 22.06621769 cr } $
  2. Luego aplicando la regla de Simpson 3/8 se tiene que:

$eqalign{ & int_1^3 {{e^x}ln x} dx approx {3 over 8} cdot {2 over 3}left[ {fleft( 1
ight) + 3fleft( {{5 over 3}}
ight) + 3fleft( {{7 over 3}}
ight) + fleft( 3
ight)}
ight] cr & int_1^3 {{e^x}ln x} dx approx {1 over 4}left[ {0 + 3left( {2.7045611}
ight) + 3left( {8.7375545}
ight) + 22.06621769}
ight] cr

& int_1^3 {{e^x}ln x} dx approx 14.09814112 cr} $

En el graficador Winplot se muestra la gráfica de la curva $fleft( x
ight) = {e^x}ln x$. Observe el valor obtenido.

Como Calcular a Área de um Trapezoide: 8 Passos

Luego ${E_x} = – {3 over {80}} cdot {left( {{1 over 2}}
ight)^5}left[ {4{e^{{{left( {{1 over 2}}
ight)}^2}}}left( {4{{left( {{1 over 2}}
ight)}^4} + 12{{left( {{1 over 2}}
ight)}^2} + 3}
ight)}
ight] = – 0.0376179$

Resumen

  • A continuación, se resumen los métodos estudiados.
  • Regla del trapecio
  • Fórmula: $A = int_a^b {fleft( x
    ight)dx} approx left( {b – a}
    ight)left[ {{{fleft( a
    ight) + fleft( b
    ight)} over 2}}
    ight] $
  • Error: ${E_x} = – {1 over {12}}{f^{left( 2
    ight)}}left( xi
    ight){left( {b – a}
    ight)^3}$
  • Regla del trapecio compuesta
  • Fórmula: $int_a^b {fleft( x
    ight)dx} approx {h over 2}left[ {fleft( a
    ight) + 2mathop sum limits_{k = 1}^{n – 1} fleft( {{x_k}}
    ight) + fleft( b
    ight)}
    ight]$
  • Error: ${E_x} = – {{b – a} over {12}}{h^2}{f^{left( 2
    ight)}}left( xi
    ight)$
  • Regla de Simpson 1/3
  • Fórmula: $int_a^b {fleft( x
    ight)dx} approx {h over 3}left[ {fleft( a
    ight) + 4fleft( {{x_m}}
    ight) + fleft( b
    ight)}
    ight]$, con $h = {{b – a} over 2}$
  • Error: ${E_x} = – {{{h^5}} over {90}}{f^{left( 4
    ight)}}left( xi
    ight)$
  • Regla de Simpson 3/8
  • Fórmula: $int_a^b {fleft( x
    ight)dx} approx {3 over 8}hleft[ {fleft( a
    ight) + 3fleft( {{x_m}}
    ight) + 3fleft( {{x_n}}
    ight) + fleft( b
    ight)}
    ight]$, con $h = {{b – a} over 3}$
  • Error: ${E_x} = – {{3{h^5}} over {80}}{f^{left( 4
    ight)}}left( xi
    ight)$
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Área do trapézio – Mundo Educação

A área do trapézio está relacionada com a área do triângulo que é calculada utilizando a seguinte fórmula: A = b . h (b = base e h = altura).                                            2 Observe o desenho de um trapézio e os seus elementos mais importantes (elementos utilizados no cálculo da sua área):

Como Calcular a Área de um Trapezoide: 8 Passos Um trapézio é formado por uma base maior (B), por uma base menor (b) e por uma altura (h). Para fazermos o cálculo da área do trapézio é preciso dividi-lo em dois triângulos, veja como: Primeiro: completamos as alturas no trapézio: Como Calcular a Área de um Trapezoide: 8 Passos

Segundo: o dividimos em dois triângulos:

Como Calcular a Área de um Trapezoide: 8 Passos

A∆1 = B . h

               2 Cálculo da área do ∆CFD:

A∆2 = b . h

               2 Somando as duas áreas encontradas, teremos o cálculo da área de um trapézio qualquer: AT = A∆1 + A∆2

AT = B . h + b . h

             2         2

AT = B . h + b . h → colocar a altura (h) em evidência, pois é um termo comum aos dois fatores.

                  2

  • AT = h (B + b)
  • A = h (B + b)               2
  • b = base menor do trapézio

                  2 Portanto, no cálculo da área de um trapézio qualquer utilizamos a seguinte fórmula: h = altura B = base maior do trapézio

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Como Calcular a Área de um Trapezoide: 8 Passos Figura geométrica em forma de Trapézio.

Publicado por: Danielle de Miranda

Lista de Exercícios

Calcule a área de um trapézio que possui 20 centímetros de altura e bases de 40 e 30 centímetros, respectivamente.

Luiz é dono de um terreno em forma de trapézio que possui bases de 10 e 18 metros e altura de 8 metros, como indicado na figura a seguir:

Como Calcular a Área de um Trapezoide: 8 Passos

Dentro desse trapézio, Luiz planeja construir uma piscina retangular de 8 metros por 5 metros. Além disso, planeja colocar grama no restante do terreno. Quantos metros quadrados de grama Luiz deverá comprar?

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Cómo calcular el área de un trapezoide

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  1. 1

    Suma las longitudes de las bases. Las bases son los 2 lados del trapezoide que son paralelos entre sí. Si no te dan los valores para las longitudes de las bases, entonces usa una regla para medir cada una. Suma las 2 longitudes de modo que tengas 1 valor.[1]

    • Por ejemplo, si encuentras que la base superior (b1) es de 8 cm y la base inferior (b2) es de 13 cm, la longitud total de las bases es 21 (8 cm + 13 cm = 21 cm, lo cual refleja la parte “b = b1 + b2” de la ecuación).
  2. 2

    Mide la altura del trapezoide. La altura del trapezoide es la distancia entre las bases paralelas. Dibuja una línea entre las bases, y usa una regla u otro instrumento de medición para encontrar la distancia. Anota la altura para que no la olvides después en el cálculo.[2]

    • La longitud de los lados en ángulo, o las patas del trapezoide, no es lo mismo que la altura. La longitud de la pata solo es lo mismo que la altura si la pata es perpendicular a las bases.
  3. 3

    Multiplica la longitud total de las bases y la altura. Toma la suma de las longitudes de las bases que has encontrado (b) y la altura (h), y multiplícalas. Escribe el producto en las unidades cuadradas apropiadas para tu problema.[3]

    • En este ejemplo, 21 cm x 7 cm = 147 cm2, lo cual refleja la parte “(b)h” de la ecuación.
  4. 4

    Multiplica el producto por ½ para encontrar el área del trapezoide. Puedes multiplicar el producto por ½ o dividir el producto entre 2 para obtener el área final del trapezoide, ya que el resultado será el mismo. Asegúrate de poner la respuesta final en unidades cuadradas.[4]

    • Para este ejemplo, 147 cm2 / 2 = 73,5 cm2, lo cual es el área (A).
  1. 1

    Parte el trapezoide en 1 rectángulo y 2 triángulos rectángulos. Dibuja líneas rectas desde las esquinas de la base superior de modo que intersecten y formen ángulos de 90 grados con la base inferior.

    El interior del trapezoide tendrá 1 rectángulo en el medio y 2 triángulos en cada lado del mismo tamaño y que tienen ángulos de 90 grados.

    Dibujar las formas te ayuda a visualizar mejor el área y encontrar la altura del trapezoide.[5]

    • Este método solo funciona para trapezoides regulares.
  2. 2

    Encuentra la longitud de la base de uno de los triángulos. Resta la longitud de la base superior de la longitud de la base inferior para encontrar la cantidad que sobra. Divide la cantidad entre 2 para encontrar la longitud de la base del triángulo. Ahora debes tener la longitud de la base y la hipotenusa del triángulo.[6]

    • Por ejemplo, si la base superior (b1) es de 6 cm y la base inferior (b2) es de 12 cm, entonces la base del triángulo es de 3 cm (porque b = (b2 – b1)/2 y (12 cm – 6 cm)/2 = 6 cm, lo cual puede simplificarse a 6 cm/2 = 3 cm).
  3. 3

    Usa el teorema de Pitágoras para encontrar la altura del trapezoide.

    Añade los valores de la longitud de la base y la hipotenusa, o el lado más largo del triángulo, en A2 + B2 = C2, donde A es la base y C es la hipotenusa.

    Resuelve la ecuación para B a fin de encontrar la altura del trapezoide. Si la longitud de la base que has encontrado es de 3 cm y la longitud de la hipotenusa es de 5 cm, entonces en este ejemplo:[7]

    • llena las variables: (3 cm)2 + B2 = (5 cm)2;
    • simplifica los cuadrados: 9 cm +B2 = 25 cm;
    • resta 9 cm de cada lado: B2 = 16 cm;
    • saca la raíz cuadrada de cada lado: B = 4 cm.

    Consejo: si no tienes un cuadrado perfecto en la ecuación, entonces simplifícalo lo más que puedas y deja un valor con una raíz cuadrada. Por ejemplo, √32 = √(16)(2) = 4√2.

  4. 4

    Añade las longitudes de las bases y la altura en la fórmula del área, y simplifícala. Pon las longitudes de las bases y la altura en la fórmula A = ½(b1 +b2)h para encontrar el área del trapezoide. Simplifica el número tanto como puedas y ponle las unidades cuadradas.[8]

    • Escribe la fórmula: A = ½(b1+b2)h.
    • Llena las variables: A = ½(6 cm +12 cm)(4 cm).
    • Simplifica los términos: A = ½(18 cm)(4 cm).
    • Multiplica los números: A = 36 cm2.
  • Si conoces la mediana del trapezoide, que es una línea que va en paralelo con las bases y pasa por el medio de la figura, entonces multiplícala por la altura para obtener el área.[9]

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Como Calcular a Área de um Trapezoide

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O trapézio, também conhecido como trapezoide, é uma forma de quatro lados que contém duas bases paralelas de comprimentos distintos. A fórmula para o cálculo de sua área é A=12(b1+b2)h{displaystyle A={frac {1}{2}}left(b_{1}+b_{2}
ight)h}, onde b1{displaystyle b_{1}} e b2{displaystyle b_{2}} representam os comprimentos das bases e h{displaystyle h} representa sua altura. Ao conhecer apenas os comprimentos laterais de um trapézio regular, você poderá dividi-lo em formas simples para determinar a altura e finalizar os cálculos. Quando terminar, basta dar nome às unidades!

  1. 1

    Some os comprimentos das bases. Esses são os dois lados do trapézio que ficam paralelos entre si. Se você não conhece suas medidas, use uma régua para tomá-las. Some os dois valores a fim de obter um único resultado.[1]

    • Se você descobrir, por exemplo, que a base superior (b1{displaystyle b_{1}}) mede 8 cm{displaystyle 8 { ext{cm}}} e que a base inferior (b2{displaystyle b_{2}}) mede 13 cm{displaystyle 13 { ext{cm}}}, o comprimento somado das bases será igual a 21 cm{displaystyle 21 { ext{cm}}} (8+13=21{displaystyle 8+13=21}, o que reflete a parte b=b1+b2{displaystyle b=b_{1}+b_{2}} da equação).
  2. 2

    Meça a altura do trapézio. Essa é a distância entre as bases paralelas. Faça uma linha entre ambas e use uma régua ou outro dispositivo para determiná-la, anotando-a a seguir para não esquecer seu valor.[2]

    • O comprimento dos lados inclinados do trapézio não é igual à altura. Essa igualdade existirá apenas se o lado em particular for perpendicular às bases.
  3. 3

    Multiplique a base total pela altura. Pegue a soma das bases (b{displaystyle b}) e a altura (h{displaystyle h}) e multiplique os dois valores. Rotule o produto com as unidades de medida apropriadas ao problema.[3]

    • No exemplo, 21 cm×7 cm=147 cm2{displaystyle 21 { ext{cm}} imes 7 { ext{cm}}=147 { ext{cm}}^{2}}, referindo-se à parte (b)h{displaystyle left(b
      ight)h} da equação.
  4. 4

    Multiplique o produto por 12{displaystyle {frac {1}{2}}} para determinar a área do trapézio. Você pode multiplicar o produto por 12{displaystyle {frac {1}{2}}} ou dividi-lo por 2{displaystyle 2} para obter a área final do trapézio, uma vez que o resultado será o mesmo. Lembre-se de rotular a resposta final com unidades quadradas.[4]

    • No exemplo, 147 cm22=73,5 cm2{displaystyle {frac {147 { ext{cm}}^{2}}{2}}=73,5 { ext{cm}}^{2}}, que equivale à área (A{displaystyle A}).
  1. 1

    Divida a forma em um retângulo e dois triângulos retângulos. Faça linhas retas descendo dos cantos superiores até formar um ângulo de 90{displaystyle 90}° com a base inferior.

    O interior do trapézio regular terá um retângulo central e um triângulo em cada um de seus lados, ambos de igual tamanho e contendo ângulos de 90{displaystyle 90}°.

    Desenhar essas formas aprimora a visualização da área e ajuda na determinação da altura.[5]

    • Esse método funciona apenas com trapézios regulares.
  2. 2

    Determine o comprimento de uma das bases do triângulo. Subtraia o comprimento da base superior do comprimento da base inferior para definir o que sobrou. Divida a quantia por 2{displaystyle 2} para estipular o comprimento da base do triângulo. Você agora terá em mãos o comprimento da base e a hipotenusa do triângulo.[6]

    • Se, por exemplo, a base superior (b1{displaystyle b_{1}}) mede 6 cm{displaystyle 6 { ext{cm}}} e a base inferior (b2{displaystyle b_{2}}) mede 12 cm{displaystyle 12 { ext{cm}}}, a base do triângulo equivalerá a 3 cm{displaystyle 3 { ext{cm}}}, uma vez que b=(b2−b1)2{displaystyle b={frac {left(b_{2}-b_{1}
      ight)}{2}}} e (12 cm−6 cm)2=6 cm{displaystyle {frac {left(12 { ext{cm}}-6 { ext{cm}}
      ight)}{2}}=6 { ext{cm}}}, o que pode ser simplificado para 6 cm2=3 cm{displaystyle {frac {6 { ext{cm}}}{2}}=3 { ext{cm}}}.
  3. 3

    Use o teorema de Pitágoras para determinar a altura do trapézio.

    Insira os valores relativos ao comprimento da base e à hipotenusa, ou o maior lado do triângulo, na fórmula a2+b2=c2{displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}, onde a{displaystyle a} representa a base e c{displaystyle c} representa a hipotenusa.

    A seguir, encontre o valor de b{displaystyle b} para estipular a altura do trapézio. Se o comprimento da base foi calculado em 3 cm{displaystyle 3 { ext{cm}}} e o comprimento da hipotenusa é igual a 5 cm{displaystyle 5 { ext{cm}}}:[7]

    • Complete as variáveis: (3 cm)2+b2=(5 cm)2{displaystyle left(3 { ext{cm}}
      ight)^{2}+b^{2}=left(5 { ext{cm}}
      ight)^{2}}
    • Simplifique os quadrados: 9 cm+b2=25 cm{displaystyle 9 { ext{cm}}+b^{2}=25 { ext{cm}}}
    • Subtraia 9 cm{displaystyle 9 { ext{cm}}} de cada lado: b2=16 cm{displaystyle b^{2}=16 { ext{cm}}}
    • Extraia a raiz quadrada de ambos os lados: b=4 cm{displaystyle b=4 { ext{cm}}}

    Dica: se você não tem um quadrado perfeito na equação, simplifique o resultado tanto quanto possível e inclua no valor final uma raiz quadrada — exemplo: 32=(16)(2)=42{displaystyle {sqrt {32}}={sqrt {left(16
    ight)left(2
    ight)}}=4{sqrt {2}}}.

  4. 4

    Insira os valores relativos à altura e aos comprimentos na equação e simplifique o resultado. Coloque esses valores na fórmula A=12(b1+b2)h{displaystyle A={frac {1}{2}}left(b_{1}+b_{2}
    ight)h} para calcular a área do trapézio. Por fim, simplifique o resultado tanto quanto possível e rotule-o com as unidades quadradas apropriadas.[8]

    • Escreva a equação: A=12(b1+b2)h{displaystyle A={frac {1}{2}}left(b_{1}+b_{2}
      ight)h}
    • Preencha as variáveis: A=12(6 cm+12 cm)(4 cm){displaystyle A={frac {1}{2}}left(6 { ext{cm}}+12 { ext{cm}}
      ight)left(4 { ext{cm}}
      ight)}
    • Simplifique os termos: A=12(18 cm)(4 cm){displaystyle A={frac {1}{2}}left(18 { ext{cm}}
      ight)left(4 { ext{cm}}
      ight)}
    • Multiplique os números: A=36 cm2{displaystyle A=36 { ext{cm}}^{2}}
  • Se você conhece o valor da mediana, a linha paralela às bases que passa pelo meio do trapézio, multiplique-a pela altura para obter a medida da área.[9]

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Editor da Equipe wikiHow

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Categorias: Matemática

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