Como calcular funções lineares: 8 passos (com imagens)

A função determina uma relação entre os elementos de dois conjuntos. Podemos defini-la utilizando uma lei de formação, em que, para cada valor de x, temos um valor de f(x). Chamamos x de domínio e f(x) ou y de imagem da função.

A formalização matemática para a definição de função é dada por: Seja X um conjunto com elementos de x e Y um conjunto dos elementos de y, temos que:

f: x → y

Como Calcular Funções Lineares: 8 Passos (com Imagens)

Assim sendo, cada elemento do conjunto x é levado a um único elemento do conjunto y. Essa ocorrência é determinada por uma lei de formação.

A partir dessa definição, é possível constatar que x é a variável independente e que y é a variável dependente. Isso porque, em toda função, para encontrar o valor de y, devemos ter inicialmente o valor de x.

Tipos de funções

As funções podem ser classificadas em três tipos, a saber:

  • Função injetora ou injetiva

Nessa função, cada elemento do domínio (x) associa-se a um único elemento da imagem f(x). Todavia, podem existir elementos do contradomínio que não são imagem. Quando isso acontece, dizemos que o contradomínio e imagem são diferentes. Veja um exemplo:

  • Conjunto dos elementos do domínio da função: D(f) = {-1,5, +2, +8}
  • Conjunto dos elementos da imagem da função: Im(f) = {A, C, D}
  • Conjunto dos elementos do contradomínio da função: CD(f) = {A, B, C, D}

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  • Função Sobrejetora ou sobrejetiva Na função sobrejetiva, todos os elementos do domínio possue um elemento na imagem. Pode acontecer de dois elementos do domínio possuírem a mesma imagem. Nesse caso, imagem e contradomínio possuem a mesma quantidade de elementos.
  • Conjunto dos elementos do domínio da função: D(f) = {-10, 2, 8, 25}
  • Conjunto dos elementos da imagem da função: Im (f) = {A, B, C}
  • Conjunto dos elementos do contradomínio da função: CD (f) = {A, B, C} Como Calcular Funções Lineares: 8 Passos (com Imagens)
  • Função bijetora ou bijetiva Essa função é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, pois, cada elemento de x relaciona-se a um único elemento de f(x). Nessa função, não acontece de dois números distintos possuírem a mesma imagem, e o contradomínio e a imagem possuem a mesma quantidade de elementos.
  • Conjunto dos elementos do domínio da função: D(f) = {-12, 0, 1, 5}                                                                                          2
  • Conjunto dos elementos da imagem da função: Im (f) = {A, B, C, D}
  • Conjunto dos elementos do contradomínio da função: CD (f) = {A, B, C, D}

Como Calcular Funções Lineares: 8 Passos (com Imagens)

As funções podem ser representadas graficamente. Para que isso seja feito, utilizamos duas coordenadas, que são x e y. O plano desenhado é bidimensional. A coordenada x é chamada de abscissa e a y, de ordenada. Juntas em funções, elas formam leis de formação. Veja a imagem do gráfico do eixo x e y:

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  • Do último ano do Fundamental e ao longo do Ensino Médio, geralmente estudamos doze funções, que são:
  • 1 – Função constante;
  • 2 – Função par;
  • 3 – Função ímpar;
  • 4 – Função afim ou polinomial do primeiro grau;
  • 5 – Função Linear;
  • 6 – Função crescente;
  • 7 – Função decrescente;
  • 8 – Função quadrática ou polinomial do segundo grau;
  • 9 – Função modular;
  • 10 – Função exponencial;
  • 11 – Função logarítmica;
  • 12 – Funções trigonométricas;
  • 13 – Função raiz.
  • Mostraremos agora o gráfico e a fórmula geral de cada uma das funções listadas acima:
  • 1 – Função constante
  • Na função constante, todo valor do domínio (x) tem a mesma imagem (y).
  • Fórmula geral da função constante:
  • f(x) = c
  • x = Domínio
  • f(x) = Imagem
  • c = constante, que pode ser qualquer número do conjunto dos reais.
  • Exemplo de gráfico da função constante: f(x) = 2

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2 – Função Par

A função par é simétrica em relação ao eixo vertical, ou seja, à ordenada y. Entenda simetria como sendo uma figura/gráfico que, ao dividi-la em partes iguais e sobrepô-las, as partes coincidem-se perfeitamente.

  1. Fórmula geral da função par:
  2. f(x) = f(- x)
  3. x = domínio
  4. f(x) = imagem
  5. – x = simétrico do domínio
  6. Exemplo de gráfico da função par: f(x) = x2

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  • 3 – Função ímpar
  • A função ímpar é simétrica (figura/gráfico que, ao dividi-la em partes iguais e sobrepô-las, as partes coincidem-se perfeitamente) em relação ao eixo horizontal, ou seja, à abscissa x.
  • Fórmula geral da função ímpar
  • f(– x) = – f(x)
  • x = domínio
  • f(x) = imagem
  • – f(x) = simétrico da imagem
  • Exemplo de gráfico da função ímpar: f(x) = 3x

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4 – Função afim ou polinomial do primeiro grau

Para saber se uma função é polinomial do primeiro grau, devemos observar o maior grau da variável x (termo desconhecido), que sempre deve ser igual a 1. Nessa função, o gráfico é uma reta. Além disso, ela possui: domínio x, imagem f(x) e coeficientes a e b.

  1. Fórmula geral da função afim ou polinomial do primeiro grau
  2. f(x) = ax + b
  3. x = domínio
  4. f(x) = imagem
  5. a = coeficiente
  6. b = coeficiente
  7. Exemplo de gráfico da função polinomial do primeiro grau: f(x) = 4x + 1

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5 – Função Linear

A função linear tem sua origem na função do primeiro grau (f(x) = ax + b). Trata-se de um caso particular, pois b sempre será igual a zero.

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  • Fórmula geral da função linear
  • f(x) = ax
  • x = domínio
  • f(x) = imagem
  • a = coeficiente
  • Exemplo de gráfico da função linear: f(x) = -x/3

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  1. 6 – Função crescente
  2. A função polinomial do primeiro grau será crescente quando o coeficiente a for diferente de zero e maior que um (a > 1).
  3. Fórmula geral da função crescente
  4. f(x) = + ax + b
  5. x = domínio
  6. f(x) = imagem
  7. a = coeficiente sempre positivo
  8. b = coeficiente
  9. Exemplo de gráfico da função crescente: f(x) = 5x
  10. 7 – Função decrescente
  11. Na função decrescente, o coeficiente a da função do primeiro grau (f(x) = ax + b) é sempre negativo.
  12. Fórmula geral da função decrescente
  13. f(x) = – ax + b
  14. x= domínio/ incógnita
  15. f(x) = imagem
  16. – a = coeficiente sempre negativo
  17. b = coeficiente
  18. Exemplo de gráfico da função decrescente: f(x) = – 5x
  19. 8 – Função quadrática ou polinomial do segundo grau

Identificamos que uma função é do segundo grau quando o maior expoente que acompanha a variável x (termo desconhecido) é 2. O gráfico da função polinomial do segundo grau sempre será uma parábola. A sua concavidade muda de acordo com o valor do coeficiente a. Sendo assim, se a é positivo,aconcavidade é para cima e, se for negativo, é para baixo.

  • Fórmula geral da função quadrática ou polinomial do segundo grau
  • f(x) = ax2 + bx + c
  • x = domínio
  • f(x) = imagem
  • a = coeficiente que determina a concavidade da parábola.
  • b = coeficiente.
  • c = coeficiente.
  • Exemplo de gráfico da função polinomial do segundo grau: f(x) = x2 – 6x + 5
  • 9 – Função modular

A função modular apresenta o módulo, que é considerado o valor absoluto de um número e é caracterizado por (| |). Como o módulo sempre é positivo, esse valor pode ser obtido tanto negativo quanto positivo. Exemplo: |x| = + x ou |x| = – x.

  1. Fórmula geral da função modular
  2. f(x) = x, se x≥ 0 ou
  3. f(x) = – x, se x < 0
  4. x = domínio
  5. f(x) = imagem
  6. – x = simétrico do domínio
  7. Exemplo de gráfico da função modular: f(x) =
  8. 10 – Função exponencial

Uma função será considerada exponencial quando a variável x estiver no expoente em relação à base de um termo numérico ou algébrico. Caso esse termo seja maior que 1, o gráfico da função exponencial é crescente. Mas se o termo for um número entre 0 e 1, o gráfico da função exponencial é decrescente.

  • Fórmula geral da função exponencial
  • f(x) = ax
  • a > 1 ou 0

Coeficiente Angular da Função Afim: Saiba O Que É e Como Calcular

O coeficiente angular de uma função do 1º grau está intimamente ligado a inclinação da reta – a forma gráfica da função afim – em relação ao eixo x. Além disso, também podemos entender o coeficiente angular como uma taxa de variação constante, que pode ser positiva ou negativa.

Olá, pessoal! Tudo bem com vocês?

Hoje nós vamos falar sobre o coeficiente angular da função afim, que também costuma ser chamada de função polinomial do 1º grau.

A função do primeiro grau é uma das mais funções mais abordadas no ENEM e nos vestibulares tradicionais, visto que ela representa um comportamento linear, que se aplica a muitos fenômenos do nosso cotidiano.

Mas não se preocupem! Depois de ler este texto, vocês entenderão direitinho o que é o coeficiente angular, onde ele se localiza na função afim e claro, como é possível calculá-lo.

Entendido, pessoal? Então, que tal iniciarmos os estudos? Fiquem à vontade para anotar todos os conceitos que vamos aprender daqui pra frente. Venham comigo!

1. O QUE É O COEFICIENTE ANGULAR DA FUNÇÃO AFIM?

Como Calcular Funções Lineares: 8 Passos (com Imagens)

A fórmula matemática da função afim possui dois coeficientes, ou seja, dois termos que costumam assumir valores numéricos.

 O coeficiente angular a é o coeficiente que está junto da variável x, e o coeficiente linear b é o chamado termo independente da função.

Neste texto, nós iremos tratar apenas do coeficiente angular da função afim. Portanto, ficaremos de olho no que o valor de a nos traz de informação acerca desta função e da representação gráfica dela.

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O gráfico da função afim f: ℝ → ℝ dada por ƒ(x) = ax +b, em que a ≠ 0, é uma reta. O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular ou declividade da reta e está ligado a sua inclinação em relação ao eixo x, o eixo das abscissas.

Como Calcular Funções Lineares: 8 Passos (com Imagens)

Observem os dois gráficos acima e fiquem atentos a diferença entre eles. Quando o coeficiente angular de uma função afim é um valor positivo ou maior que zero (a > 0), o gráfico da função é uma reta crescente. Do contrário, ou seja, quando o coeficiente angular é um valor negativo ou menor que zero (a < 0), o gráfico da função é uma reta decrescente.

1.1 O ângulo de inclinação da reta de acordo com o valor do coeficiente angular a

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Na imagem acima, vemos 3 gráficos de funções do 1º grau diferentes. Reparem na mudança de comportamento das retas de acordo com o valor do coeficiente angular a, quando este é positivo.

Quanto mais próximos de zero são os valores de a, mais próximo de 0º é o ângulo de inclinação da reta com relação ao eixo x.

Na medida em que os valores do coeficiente a vão aumentando, o ângulo de inclinação da reta em relação ao eixo x vai se aproximando de 90º.

Como Calcular Funções Lineares: 8 Passos (com Imagens)

Já quando o valor de a é negativo, ou seja, quando o gráfico da função afim é uma reta decrescente, na medida em que os valores de a são muito negativos, o ângulo de inclinação da reta com o eixo x é muito próximo de 90º. Contudo, na medida em que os valores de a são cada vez menos negativos e se aproximam de zero, o ângulo de inclinação da reta com o eixo x se aproxima de 180º.

Incrível, não é, pessoal? Reparem que em nenhum momento foi apresentado o comportamento do gráfico da função afim para um coeficiente a de valor zero. Isso aconteceu porque, vocês sabem, a não pode ser um valor nulo. Quando a vale zero, tem-se o que chamamos de função constante. O gráfico da função constante é uma reta horizontal, paralela ao eixo x.

Bom, já sabemos como o valor do coeficiente angular influencia no comportamento do gráfico da função afim. Agora chegou o momento de aprendermos a calcular este coeficiente.

 É isso que faremos no próximo item, mas antes, fica o seguinte conselho: se vocês não entenderam como encontrar o coeficiente angular a na função afim, cliquem aqui! Este e vários outros aspectos importantes da função do 1º grau são abordados aqui no blog!

Entendido? Então, sigam comigo!

2. COMO CALCULAR O COEFICIENTE ANGULAR?

Como Calcular Funções Lineares: 8 Passos (com Imagens)

É possível calcular o coeficiente angular da função afim de 3 formas diferentes. Graficamente, aplicando o conceito de taxa de variação, conhecendo dois pontos de uma reta, ou então, o ângulo de inclinação da reta com o eixo x. Vamos estudar cada uma delas logo mais. Vem comigo!

2.1 O coeficiente angular como taxa de variação

Como Calcular Funções Lineares: 8 Passos (com Imagens)

A taxa de variação de uma função afim nada mais é do que a razão entre a variação no eixo y e a variação correspondente no eixo x. Dessa forma, para calcular o coeficiente angular de uma função afim conhecendo apenas o gráfico desta função, basta seguir os seguintes passos, olhem só!

1º Passo: observe se a reta é crescente ou decrescente

Como Calcular Funções Lineares: 8 Passos (com Imagens)

Indiscutivelmente, a reta que vemos acima é crescente. Dessa forma, sabemos que o seu coeficiente angular é um valor positivo (a > 0). Caso a reta deste exemplo fosse decrescente, saberíamos que o seu coeficiente angular seria negativo (a < 0), e assim, seria necessário acrescentar o sinal negativo ao final do cálculo.

2º Passo: escolha quaisquer dois pontos do gráfico

Como Calcular Funções Lineares: 8 Passos (com Imagens)

Neste exemplo, escolhemos os pontos (0,1) e (2,5), mas poderíamos ter optado por quaisquer outros dois pontos da reta. Na função do primeiro grau, a taxa de variação é sempre constante, de forma que o coeficiente angular pode ser calculado a partir de qualquer região do gráfico. Agora estamos prontos para seguir até o próximo passo. Vem comigo!

3º Passo: Identifique qual é a variação no eixo y e a qual é a variação no eixo x entre os dois pontos escolhidos e obtenha a razão entre esses dois valores

Como Calcular Funções Lineares: 8 Passos (com Imagens)

Analisando o gráfico, podemos perceber que a variação nos eixos x e y entre os pontos escolhidos é, respectivamente, 2 e 4. Isso porque no eixo x, saímos do ponto zero e chegamos ao ponto 2, ou seja, percorremos 2 unidades. No eixo y saímos do ponto 1 e fomos até o 5, percorrendo 4 unidades.

Quem não conseguiu perceber essas variações apenas observando o gráfico, pode utilizar diretamente o próximo método que nos permite encontrar o coeficiente angular a. Acompanhem!

2.2 O coeficiente angular quando dois pontos de uma reta são conhecidos

Como Calcular Funções Lineares: 8 Passos (com Imagens)

Quando pelo menos dois pontos de uma reta são conhecidos, fica ainda mais fácil determinar o seu coeficiente angular. Basta utilizar a fórmula apresentada no quadro acima! Um dos pontos conhecidos terá coordenadas (x1, y1) e o outro terá coordenadas (x2, y2).

Um detalhe importante nesse caso, é que o cálculo do coeficiente angular a pode ser feito de duas formas diferentes.

No caso do exemplo, consideramos que o ponto P teria as coordenadas (x1, y1) e o ponto Q teria as coordenadas (x2, y2).

Vamos refazer o cálculo considerando que o ponto Q terá coordenadas (x1, y1)  e que o ponto P terá as coordenadas (x2, y2). Fiquem de olho no resultado desse cálculo:

Legal, não é pessoal? Agora, vamos a última maneira de calcular o coeficiente angular a. Sigam comigo!

2.3 O coeficiente angular quando o ângulo de inclinação da reta é conhecido

Até agora, apesar de sabermos que o coeficiente angular a está intimamente ligado ao ângulo que a reta, o gráfico da função afim, forma em relação ao eixo x, pensamos nele apenas como um valor real, não envolvemos os ângulos no assunto. Mas a verdade é que toda vez que escolhemos dois pontos em uma reta, podemos construir ali um triângulo retângulo. As medidas dos catetos deste triângulo retângulo são as variações em y e em x.

  • Ora, se as medidas dos catetos oposto e adjacente ao ângulo de inclinação da reta são conhecidas, é claro que podemos encontrar o ângulo ???? através da razão trigonométrica tangente.

E aí, qual é o coeficiente angular da reta acima? Muito simples, basta descobrirmos quanto vale a tangente do ângulo de 45º.

a = tan (45º) = 1

Conforme essa ideia, vamos voltar nossa atenção a reta que utilizamos para calcular o coeficiente angular a diversas vezes neste texto. Qual será o valor do ângulo de inclinação ????, sabendo que o coeficiente angular que encontramos é igual a 2? Neste caso, basta aplicarmos a tangente inversa ao coeficiente angular.

  1. ???? = tan-1(a)
  2. ???? = tan-1(2) = 63,43º

E aí, o que acharam deste texto, pessoal? Espero que ele tenha sido proveitoso para a preparação de vocês rumo as provas do ENEM e dos vestibulares! Para que o conteúdo aprendido hoje fique ainda mais claro, deixo aqui embaixo algumas questões para vocês resolverem. Não deixem de conferir a resolução em vídeo depois!

3. EXERCÍCIOS DO ENEM E DE VESTIBULARES RESOLVIDOS EM VÍDEO

1) (ENEM) Uma cisterna de 6 000 L foi esvaziada em um período de 3 h. Na primeira hora foi utilizada apenas uma bomba. Mas, nas duas horas seguintes, a fim de reduzir o tempo de esvaziamento, outra bomba foi ligada junto com a primeira. O gráfico, formado por dois segmentos de reta, mostra o volume de água presente na cisterna, em função do tempo.

  • Qual é a vazão, em litro por hora, da bomba que foi ligada no início da segunda hora?
    a) 1 000
    b) 1 250
    c) 1 500
    d) 2 000
    e) 2 500

2) (UERJ) Os veículos para transporte de passageiros em determinado município têm vida útil que varia entre 4 e 6 anos, dependendo do tipo de veículo. Nos gráficos está representada a desvalorização de quatro desses veículos ao longo dos anos, a partir de sua compra na fábrica.

  1. Com base nos gráficos, o veículo que mais desvalorizou por ano foi:
    a) I                          
    b) II                         
    c) III                        
    d) IV

Bem tranquilo, não é? Se você gostou desta abordagem, clique aqui para saber como a Plataforma do Professor Ferretto funciona!

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E agora, para fecharmos o assunto com chave de ouro, deixo um vídeo que aborda o coeficiente angular. Nele, vocês também conferem tudo sobre o coeficiente linear da função afim. Assistam este vídeo e eu garanto: não restará mais nenhuma dúvida sobre a construção da função do primeiro grau!

Leia também:  Como cancelar sua inscrição em listas de spam: 13 passos

Um abraço! Vejo vocês no próximo post!

Relacionado

Funções: conceitos, características, gráficos

Estabelecemos uma função quando relacionamos uma ou mais grandezas. Parte dos fenômenos naturais pode ser estudada graças ao desenvolvimento nessa área da matemática.

O estudo das funções é dividido em duas partes, temos a parte geral, em que estudamos os conceitos gerais, e a parte específica, em que estudamos os casos particulares, como as funções polinomiais e as funções exponenciais.

Veja também: Como construir o gráfico de uma função?

O que são as funções?

Uma função é uma aplicação que relaciona os elementos de dois conjuntos não vazios. Considere dois conjuntos não vazios A e B, em que uma função f relaciona cada elemento de A a um único elemento de B.

Para entender melhor essa definição, imagine uma corrida de táxi. Para cada viagem, ou seja, para cada distância percorrida, existe um preço diferente e único, isto é, não tem sentido uma viagem ter dois preços diferentes.

Podemos representar essa função que leva elementos do conjunto A para o conjunto B das seguintes maneiras.

Como Calcular Funções Lineares: 8 Passos (com Imagens)

Observe que, para cada elemento do conjunto A, existe um único elemento relacionado com ele no conjunto B. Agora podemos pensar, afinal, quando uma relação entre dois conjuntos não será uma função? Bom, quando um elemento do conjunto A relacionar-se com dois elementos distintos de B, ou quando sobrar elementos do conjunto A sem se relacionarem com elementos de B. Veja:

Como Calcular Funções Lineares: 8 Passos (com Imagens)

  • De modo geral, podemos escrever uma função de maneira algébrica assim:
  • f: A → B
  • x → y
  • Note que a função pega elementos do conjunto A (representados por x) e leva-os aos elementos de B (representados por y). Podemos também dizer que os elementos do conjunto B são dados em função dos elementos do conjunto A, logo, podemos representar y por:
  • y = f(x)
  • Lê-se: (y igual f de x)

Como Calcular Funções Lineares: 8 Passos (com Imagens) As representações mais comuns das funções ocorrem no plano cartesiano.

  1. Quando temos uma função f, os conjuntos que estão sendo relacionados recebem nomes especias. Assim, considere uma função f que leva elementos do conjunto A para os elementos do conjunto B:
  2. f: A → B

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  • O conjunto A, do que partem as relações, é denominado domínio da função, e o conjunto que recebe as “flechas” dessa relação é chamado de contradomínio. Denotamos esses conjuntos da seguinte maneira:
  • Df = A → Domínio de f CDf = B → Contradomínio de f
  • O subconjunto do contradomínio de uma função formado por elementos que se relacionam com elementos do conjunto é denominado imagem da função e é denotado por:
  • Imf → Imagem de f
  • Considere a função f: A → B representada no diagrama a seguir e determine o domínio, o contradomínio e a imagem.

Como Calcular Funções Lineares: 8 Passos (com Imagens)

  1. Como foi dito, o conjunto A = {1, 2, 3, 4} é o domínio da função f, enquanto o conjunto B = {0, 2, 3, –1} é o contradomínio da mesma função. Agora, observe que o conjunto formado por elementos que recebem a flecha (em laranja) formado pelos elementos {0, 2, –1} é subconjunto do contradomínio B, esse conjunto é a imagem da função f, assim:
  2. Df = A = {1, 2, 3, 4}
  3. CDf = B = {0, 2, 3, –1}
  4. Imf = {0, 2, –1}

Dizemos que o 0 é imagem do elemento 1 do domínio, assim como o 2 é imagem dos elementos 2 e 3 do domínio, e –1 é imagem do elemento 4 do domínio. Para saber mais detalhes sobre esses três conceitos, leia: Domínio, contradomínio e imagem.

Função sobrejetiva

Uma função f: A → B será sobrejetiva ou sobrejetora se, e somente se, o conjunto imagem coincidir com o contradomínio, ou seja, se todos elementos do contradomínio são imagens.

Como Calcular Funções Lineares: 8 Passos (com Imagens)

Dizemos então que uma função é sobrejetora quando todos elementos do contradomínio recebem flechas. Se quiser aprofundar-se mais nesse tipo de função, acesse o nosso texto: Função sobrejetora.

Função injetiva

Uma função f: A → B será injetiva ou injetora se, e somente se, elementos distintos do domínio possuírem imagens distintas no contradomínio, isto é, imagens iguais são geradas por elementos iguais do domínio.

Como Calcular Funções Lineares: 8 Passos (com Imagens)

Veja que a condição é que elementos distintos do domínio relacionem-se com elementos distintos do contradomínio, não havendo problema em sobrar elementos no contradomínio. Para compreender melhor esse conceito, você pode ler o texto: Função injetora.

Função bijetora

  • Uma função f: A → B será bijetora se, e somente se, ela for injetora e sobrejetora simultaneamente, ou seja, elementos distintos do domínio possuem imagens distintas, e a imagem coincide com o contradomínio.
  • Em cada um dos casos, justifique se a função f(x) = x2 é injetora, sobrejetora ou bijetora.
  • a) f: ℝ+ → ℝ

Observe que o domínio da função são todos os reais positivos e que o contradomínio são todos os números reais. Sabemos que a função f é dada por f(x) = x2, agora imagine todos os números reais positivos sendo elevados ao quadrado, todas as imagens serão também positivas.

Assim podemos concluir que a função é injetora e não sobrejetora, pois os números reais negativos não vão receber flechas.

Ela é injetora, pois cada elemento do domínio (ℝ+) relaciona-se apenas com um elemento do contradomínio (ℝ).

b) f: ℝ → ℝ+

A função, nesse caso, possui o domínio como sendo todos os reais e o contradomínio como sendo os reais positivos.

Sabemos que qualquer número real elevado ao quadrado é positivo, logo, todos os elementos do contradomínio receberam flechas e, assim, a função é sobrejetora.

Ela não será injetora pelo fato de elementos do domínio relacionarem-se com dois elementos do contradomínio, por exemplo:

  1. f(–2) = (–2)2 = 4
  2. f(2) = (2)2 = 4
  3. c) f:ℝ+ → ℝ+

Nesse exemplo a função possui domínio e contradomínio como sendo os números reais positivos, logo, a função é bijetora, pois cada número real positivo relaciona-se com um único número real positivo do contradomínio, nesse caso o quadrado do número. Além disso, todos os números do contradomínio receberam flechas.

Função composta

A função composta está associada com a ideia de atalho. Considere três conjuntos não vazios A, B e C. Considere também duas funções f e g, em que a função f leva elementos x do conjunto A para elementos y = f(x) do conjunto B, e a função g leva os elementos y = f(x) para elementos z do conjunto C.

A função composta recebe esse nome por ser uma aplicação que leva elementos do conjunto A direto para elementos do conjunto C, sem passar pelo conjunto B, por meio da composição das funções f e g. Veja:

Como Calcular Funções Lineares: 8 Passos (com Imagens)

A função denotada por (f o g) leva os elementos do conjunto A diretamente para o conjunto C. Ela é chamada de função composta.

Considere a função f (x) = x2 e a função g(x) = x + 1. Determine as funções compostas (f o g)(x) e (g o f)(x).

  • A função f o g é dada pela função g aplicada na f, ou seja:
  • (f o g)(x) = f(g(x))
  • Para determinar essa função composta, devemos considerar a função f,e, no lugar da variável x, devemos escrever a função g. Veja:
  • x2
  • (x+1)2
  • (f o g)(x) = f(g(x)) = x2 + 2x + 1
  • De maneira análoga, para determinar a função composta (g o f)(x), devemos aplicar a função f na função g, ou seja, considerar a função g e escrever a função f no lugar da variável. Veja:
  • (x + 1)
  • x2 + 1
  • Portanto, a função composta (g o f)(x) = g (f(x)) = x2 + 1.

Função par

Considere uma função f: A → ℝ, em que A é um subconjunto dos reais não vazio. Uma função f será par somente para todo x real.

Como Calcular Funções Lineares: 8 Passos (com Imagens)

  1. Considere a função f: ℝ → ℝ, dada por f(x) = x2.
  2. Veja que para qualquer valor de x real, se elevado ao quadrado, o resultado é sempre positivo, ou seja:
  3. f(x) = x2
  4. e
  5. f(–x) = (–x)2 = x2  
  6. Portanto, f(x) = f(–x) para qualquer valor de x real, assim, a função f é par.
  7. Leia também: Propriedades das potências – quais são e como as utilizar?

Função ímpar

Considere uma função f: A → ℝ, em que A é um subconjunto dos reais não vazio. Uma função f será ímpar somente para todo x real.

Como Calcular Funções Lineares: 8 Passos (com Imagens)

  • Considere a função f: ℝ → ℝ, dada por f(x) = x3.
  • Veja que para qualquer valor de x podemos escrever que (–x)3 = –x3. Confira alguns exemplos:
  • (–2)3 = –23 = –8
  • (–3)3 = –33 = –27
  • Assim podemos afirmar que:
  • f(–x) = (–x)3 = –x3
  • f(–x) = (–x)3 = –f(x)
  • Portanto, para qualquer x real f(–x) = –f(x), e assim a função f(x) = x3 é ímpar.

Função crescente

Uma função f é crescente em um intervalo se, e somente se, à medida que os elementos do domínio crescem, suas imagens também crescem. Veja:

Como Calcular Funções Lineares: 8 Passos (com Imagens)

Observe que x1 > x2 e o mesmo ocorre com a imagem, assim, podemos estabelecer uma condição algébrica para que a função f seja crescente.

Função decrescente

Uma função f é decrescente em um intervalo se, e somente se, à medida que os elementos do domínio crescem, suas imagens decrescem. Veja:

Veja que, no domínio da função, temos que x1 > x2, entretanto isso não ocorre na imagem da função, em que f(x1) < f(x2). Assim podemos estabelecer uma condição algébrica para funções decrescentes. Veja:

Leia também:  Como apoiar um amigo que tentou cometer suicídio

Função constante

Como o próprio nome diz, uma função é constante quando, para qualquer valor do domínio, o valor da imagem é sempre o mesmo.

Função afim

A função afim ou polinomial do primeiro grau é escrita na forma:

f(x) = ax + b

Em que a e b são números reais, a é diferente de zero, e o seu gráfico é uma reta. A função possui domínio real e contradomínio também real.

Função quadrática

A função quadrática ou função polinomial do segundo grau é dada por um polinômio de grau dois, assim:

f(x) = ax2 + bx + c

Em que a, b e c são números reais com a diferente de zero, e seu gráfico é uma parábola. A função também possui domínio e contradomínio reais.

Função modular

  1. A função modular com variável x encontra-se dentro do módulo e algebricamente é expressa por:
  2. f(x) = |x|
  3. A função também possui domínio e contradomínio reais, ou seja, podemos calcular o valor absoluto de qualquer número real.

Função exponencial

  • A função exponencial apresenta a variável x no expoente. Ela também possui domínio real e contradomínio real e é descrita algebricamente por:
  • f(x) = ax
  • Em que a é um número real maior que zero.

Função logarítmica

  1. A função logarítmica possui a variável no logaritmando e o domínio formado por números reais maiores que zero.

Funções trigonométricas

  • As funções trigonométricas possuem a variável x envolvendo as razões trigonométricas, as principais são:
  • f(x) = sen(x)
  • f(x) = cos(x)
  • f(x) = tg(x)

Função raiz

  1. A função raiz é caracterizada por ter a variável no interior da raiz, com isso, se o índice da raiz for par, o domínio da função passa a ser somente os números reais positivos.

  2. Por Robson Luiz Professor de Matemática
  • Questão 1
  • Em uma indústria metalúrgica o custo de produção de uma peça automotiva corresponde a um custo fixo mensal de R$ 5 000,00 acrescido de um custo variável de R$ 55,00 por unidade produzida mais 25% de impostos sobre o custo variável. Considerando que o preço de venda dessa peça pela indústria aos comerciantes é de R$ 102,00, determine:
  • a) a função custo da produção de x peças.
  • b) a função receita referente a venda de x peças.
  • c) a função lucro na venda de x peças.
  • d) o lucro obtido com a venda de 500 unidades. 

O IMC (índice de massa corpórea) é uma função matemática que determina se uma pessoa adulta é considerada gorda, obesa, normal ou está abaixo do peso, relacionando a massa da pessoa em quilogramas com o quadrado da medida da altura em metros. De acordo com a tabela a seguir determine a massa de uma pessoa com 1,90 metros de altura, para que seu IMC seja considerado normal. 

Ver resposta

Função Linear: definição, gráficos, exemplo e exercícios resolvidos

Rosimar Gouveia

Professora de Matemática e Física

A Função Linear é uma função f : ℝ→ℝ definida como f(x) = a.x, sendo a um número real e diferente de zero. Esta função é um caso particular da função afim f(x) = a.x + b, quando b = 0.

O número a que acompanha o x da função, é chamado de coeficiente. Quando seu valor for igual a 1, a função linear será também chamada de função identidade.

Exemplo

Em uma loja são vendidos relógios, cujo preço de venda é igual a R$ 40,00. O valor da receita total da venda desses relógios é obtida multiplicando-se o preço de cada unidade pela quantidade vendida. Considerando x a quantidade vendida, determine:

a) uma função que represente a situação descrita.
b) o tipo de função encontrada.

c) o valor da receita quando forem vendidos 350 relógios.

Solução

a) O valor da receita total em função da quantidade vendida pode ser representada por: f(x) = 40.x
b) A função encontrada é uma função do 1º grau, sendo o valor de b = 0. Desta forma, é uma função linear.

  • c) Para encontrar a receita correspondente a venda de 350 relógios, basta substituir este valor na expressão encontrada. Assim:
  • f(x) = 40 . 350 = 14 000
  • Portanto, ao vender 350 relógios, a receita bruta da loja será igual a R$ 14 000,00.

O gráfico da função linear é uma reta, que passa pela origem, ou seja, pelo ponto (0,0). O coeficiente a da função, corresponde a inclinação desta reta.

Abaixo, representamos a função f(x) = 1/2 x, g(x) = x (função identidade) e h(x) = 2x. Note que quanto maior o valor do a, maior é a inclinação da reta.

Como Calcular Funções Lineares: 8 Passos (com Imagens)

Função Crescente e Decrescente

As funções lineares serão crescentes quando ao aumentarmos o valor do x, o valor da função também aumenta. Por outro lado, serão decrescentes quando aumentado o x a função diminuirá.

Para sabermos se uma função linear é crescente ou decrescente, basta identificar o sinal do coeficiente. Se a for positivo, a função será crescente, se for negativo será decrescente.

Abaixo, apresentamos o gráfico da função f(x) = 3/2.x e g(x) = – 3/2.x:

Como Calcular Funções Lineares: 8 Passos (com Imagens)

Exercícios Resolvidos

  1. 1. (Fuvest) A função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria é:
  2. a) f(x) = x – 3
    b) f(x) = 0,97x
    c) f(x) = 1,3x
    d) f(x) = -3x
  3. e) f(x) = 1,03x

2.(Fatec) Na figura a seguir tem-se o gráfico da função f, onde f(x) representa o preço pago em reais por x cópias de um mesmo original, na Copiadora Reprodux.

Como Calcular Funções Lineares: 8 Passos (com Imagens)

De acordo com o gráfico, é verdade que o preço pago nessa Copiadora por

a) 228 cópias de um mesmo original é R$22,50.
b) 193 cópias de um mesmo original é R$9,65.
c) 120 cópias de um mesmo original é R$7,50.
d) 100 cópias de um mesmo original é R$5,00

  • e) 75 cópias de um mesmo original é R$8,00.
  • Para saber mais, leia também:

Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.

Como Calcular Funções Lineares

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  1. 1

    Saiba reconhecer a forma padrão de uma função linear. Funções lineares são tipicamente escritas na forma f(x) = ax + b. O “a” representa o gradiente da linha, que dá a taxa de mudança da variável dependente. O “b” representa a intersecção do eixo-y. É o valor da variável dependente de y ou, em outras palavras, f(x) quando x = 0.

  2. 2

    Encontre ao menos dois pontos. Você sabe que seu gráfico dará em uma linha reta porque você tem uma função linear. Portanto, você só precisa de dois pontos. Em geral, no entanto, é recomendável ter três pontos para ter mais precisão.

  3. 3

    Coloque os pontos no gráfico. Os pontos devem seguir o sistema coordenado, usando os valores que você obteu ao resolver as três equações.

  4. 4

    Conecte os pontos. Para quaisquer dois pontos, há apenas uma forma de conectá-los em linha reta. Note que se você colocar três pontos no gráfico e eles não estão todos na mesma linha, então você cometeu algum erro em algum ponto. Volte e refaça os cálculos.

  1. 1

    Mude a função de forma que o y seja a variável. Se você tem uma função linear que não está na forma padrão, será preciso reescrevê-la antes de fazer o gráfico.

    • Digamos que você tem a função 6x – 2y = 4. Mova tudo para a esquerda, menos o y, como mostrado a seguir.
    • Divida os dois lados por -2. Agora, você terá uma função linear padrão: y = 3x – 2.
  2. 2

    Encontre pelo menos dois pontos. Seu gráfico terá uma linha reta, pois a sua função é linear. Portanto, você só precisará de dois pontos. No entanto, é recomendável ter três para aumentar a precisão.

  3. 3

    Coloque os pontos no gráfico. Coloque seus pontos no sistema coordenado, usando os valores que você obteve ao resolver as três equações.

  4. 4

    Conecte os pontos. Para quaisquer dois pontos, só há um jeito de ligá-los com uma linha reta. Note que se você colocar três pontos no gráfico e eles não estão todos na mesma linha, então você cometeu algum erro em algum ponto. Volte e refaça os cálculos.

  • As funções tem uma variável independente x e uma y. O gradiente da linha passando pelos pontos (x1, y1) e (x2, y2) é calculado como na demonstração.
  • Funções lineares são usadas em várias áreas, especialmente na economia.

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